Дополнения - 1. Электрическое поле в вакууме

Ввиду поверхностного характера распределения заряда (см. подробнее предыдущий расчет) на самой заряженной поверхности, то есть при радиальная компонента поля терпит разрыв.

Рис. 1.50. Напряженность электрического поля равномерно заряженной цилиндрической поверхности

Интегрирование (1.51) (см. также (1.49)), требование непрерывности потенциала при , и нормировка , приводят к следующей зависимости потенциала от расстояния до оси цилиндрической поверхности:

В данном случае, когда бесконечно большой по модулю заряд распределен по бесконечно длинному цилиндру, относится к тем случаям, когда нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла. Как видно из (1.52), зависимость потенциала от расстояния до оси логарифмическая, нормировка на нуль на бесконечности, на языке формул (1.52), означает, что , но, тогда потенциал будет бесконечно большим по модулю на любом конечном расстоянии от оси заряженной поверхности, что лишено смысла. Выбор того конечного расстояния от оси симметрии, на котором удобно потенциал считать равным нулю трудностей не вызывает и обусловлен спецификой задачи. Например, ничто не мешает положить , тогда потенциал всюду внутри и на самой заряженной поверхности будет равен нулю.

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть поверхностная плотность заряда равна . Такое распределение заряда по бесконечной плоскости характеризуется тем, что его вид не зависит от: а) поворота на любой угол вокруг любой оси перпендикулярной плоскости, б) сдвига на любое расстояние вдоль прямой лежащей в плоскости и любого направления. Наконец, в) отражение данного распределения заряда в зеркале, совпадающем с самой плоскостью, оставит его неизменным.

Из анализа симметрии достаточно очевидно, что потенциал в любой точке вне плоскости может зависеть только от расстояния от этой точки до плоскости. Направим ось декартовой системы координат перпендикулярно плоскости, а оси и пусть принадлежат самой плоскости, тогда

Причем, в силу зеркальной симметрии, поле «перед» плоскостью отличается от поля «за» плоскостью только направлением вектора . Это означает, что зависимость от должна быть нечетной, а зависимость потенциала от должна быть четной.

В силу этих соображений возьмем замкнутую поверхность — ту, для которой будем писать теорему Гаусса, — следующего вида (рис 1.51).

Рис. 1.51. Электрическое поле заряженной плоскости

Это цилиндр с боковой поверхностью перпендикулярной плоскости и с основаниями параллельными плоскости. Высота цилиндра , площадь оснований . Учитывая нечетность зависимости , основания цилиндра удобно расположить на одинаковом расстоянии от плоскости, тогда вклад оснований в поток будет одинаков. Напряженность поля на основаниях, во-первых, им перпендикулярна, во-вторых, сонаправлена с внешней нормалью, в-третьих, она одинакова во всех их точках по абсолютной величине

Вклад в поток вектора от боковой поверхности равен нулю, так как на боковой поверхности .

Поэтому полный поток через всю замкнутую цилиндрическую поверхность равен

Внутри рассматриваемой цилиндрической поверхности находится заряд

где — плотность заряда на плоскости. По теореме Гаусса

,

следовательно, модуль напряженности поля заряженной плоскости равен

Подчеркнем, что результат очевидным образом не зависит от того, на каком расстоянии от плоскости расположены основания рассмотренного цилиндра. Отсюда следует, что с каждой стороны от плоскости создаваемое ею электрическое поле однородно.

Используя введенную ранее ось перпендикулярную заряженной плоскости, поле с обеих сторон от плоскости можно описать одной формулой, пригодной при любом знаке заряда на плоскости

Здесь — орт оси .

Интегрируя с учетом

,

для зависимости от потенциала поля плоскости нетрудно получить:

Потенциал в нормирован условием . Здесь, как и в примере с бесконечно длинной заряженной цилиндрической поверхностью, потенциал растет при удалении на бесконечность, поэтому нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла.

Силовые линии поля заряженной плоскости показаны на рис. 1.52 и 1.53.

Рис. 1.52. Поле положительно заряженной плоскости

Рис. 1.53. Поле отрицательно заряженной плоскости

Поле плоского конденсатора

Определим напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными однородно и разноименно. Плотности заряда на плоскостях по модулю одинаковы и равны, соответственно: и (идеальный плоский конденсатор). С помощью рис. 1.54 нетрудно сообразить, что в зазоре между плоскостями, создаваемые ими поля направлены в одну сторону, поэтому внутри суммарное поле в два раза больше поля от каждой из плоскостей. Снаружи от плоскостей создаваемые ими поля направлены в противоположные стороны, соответственно, суммарное поле от обеих плоскостей равно нулю (рис. 1.55).

Рис. 1.54. Электрическое поле плоского конденсатора

Рис. 1.55. Электрическое поле разноименно заряженных плоскостей

Рис. 1.56. Напряженность электрического поля разноименно заряженных плоскостей

В Дополнении 6 разобран пример с движением заряженной частицы в постоянном электрическом поле.

Потенциал поля заряженного диска

Как уже не раз отмечалось, зная потенциал поля точечного заряда и используя принцип суперпозиции, в принципе всегда, можно вычислить потенциал поля, создаваемого любым распределением зарядов.

Найдем для примера потенциал электрического поля, создаваемого на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью заряда (рис. 1.57). В силу осевой симметрии в точках на оси две перпендикулярных к оси составляющих напряженности поля равны нулю: , остается найти — составляющую поля, направленную вдоль оси.

Рис. 1.57. Вычисление потенциала на оси заряженного диска

Выделим на диске кольцо радиусом s и шириной ds (заштриховано на рис. 1.57). Площадь кольца равна и потому на нем сосредоточен заряд

Поскольку все элементы кольца находятся на одинаковом расстоянии

от точки наблюдения А, то потенциал , создаваемый кольцом в точке А, дается все той же формулой с заменой в ней на :

Полный же потенциал поля, создаваемый всем диском в точке A, равен сумме потенциалов от всех возможных колец с радиусами s, где 0 < s < R

При больших расстояниях от центра диска квадратный корень можно разложить в ряд, ограничившись первыми двумя членами разложения

тогда формула упрощается и, как и должно быть, превращается в формулу для потенциала точечного заряда

где — полный заряд диска

Используя связь напряженности поля с потенциалом , можно найти напряженность поля на оси диска

Закон Кулона и размерность пространства

Пространство, в котором мы живем, имеет три измерения. Иными словами, нужны три координаты (например, в декартовой или в сферической системах) для задания положения точки А (рис. 1.58). Оказывается, число 3 тесно связано с формой закона Кулона. Мы видели, что теорема Остроградского — Гаусса следует из закона Кулона. Верно и обратное, закон Кулона можно вывести из теоремы Остроградского — Гаусса. Но эта теорема носит более общий характер, чем закон Кулона. В частности, она применима к пространствам с размерностью , где не обязательно должно быть равно трем.

Рис. 1.58. Декартовая и сферическая системы координат

В самом деле, теорема в сущности утверждает, что силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность. Размерность пространства не играет здесь роли. Поэтому давайте предположим, что мы живем в пространстве с какой-то размерностью и посмотрим, какой будет физика в этом странном мире. Возьмем точечный заряд и мысленно окружим его сферой радиусом Прежде чем продолжать знакомство с мерной физикой, условимся о терминологии.

Дополнение 1. Сила взаимодействия систем точечных зарядов

Начнем с простого случая, когда одна из двух взаимодействующих систем представляет собой один единственный заряд . Заряды другой системы обозначим , где — номер заряда в системе. Тогда силу их взаимодействия, а именно: силу, действующую на заряд , согласно принципу суперпозиции, можно записать в виде

Здесь и — радиус-векторы точек, в которых находятся соответствующие заряды. Второе соотношение в есть просто констатация третьего закона Ньютона для данного случая. Необходимо подчеркнуть, что речь все время идет о силе взаимодействия.

Если две системы зарядов, первая: ,