2. Проводники в электрическом поле

Если к проводнику добавить (отнять) часть электронов, то он заряжается отрицательно (положительно). Рассмотрим условия равновесия зарядов на проводнике. При равновесии зарядов их направленное движение внутри проводника отсутствует. Это означает, что поле внутри проводника равно нулю: . В противном случае заряды должны были бы двигаться. Поскольку внутри проводника , то по теореме Остроградского-Гаусса в каждой точке объема образца , поэтому объемная плотность зарядов внутри проводника также равна нулю , а избыточные заряды могут быть расположены только на поверхности проводника. Это происходит потому, что одноименные заряды отталкиваются и стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Ответим на вопрос: что будет, если в толще заряженного проводника имеется замкнутая внутренняя полость? Будут ли располагаться заряды также и на ее стенках? Исходя из качественных соображений, мы должны ответить отрицательно: заряды, отталкиваясь друг от друга, расположатся только на внешней поверхности проводника. К такому же выводу приводит теорема Остроградского — Гаусса. Если взять такую воображаемую поверхность, чтобы она целиком лежала в толще проводника и была бесконечно близка к стенкам полости, то во всех точках этой поверхности поле равно нулю, и, следовательно, равен нулю поток вектора электрической напряженности. Следовательно, на стенках полости зарядов нет.

Отсутствие поля внутри заряженного проводника означает постоянство потенциала внутри него: поскольку , то . Таким образом, потенциал на поверхности проводника также постоянен и равен по величине потенциалу в объеме проводника. Следовательно, поверхность проводника эквипотенциальная (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Потенциалы двух проводников: левый проводник имеет заряд +1 (в условных единицах), правый проводник не заряжен. Потенциалы постоянны по объему каждого проводника

Электрические заряды, располагающиеся на поверхности проводника с некоторой плотностью , создают вне проводника электрическое поле. Вблизи поверхности проводника напряженность поля направлена по нормали в каждой точке поверхности, т. е. так как эквипотенциальная поверхность перпендикулярна силовым линиям. Для вычисления поля вблизи проводника снова используем теорему Остроградского — Гаусса. В качестве воображаемой поверхности возьмем поверхность бесконечно малого цилиндра, расположенного перпендикулярно проводнику так, что одно из его оснований находится вне проводника, а другое — внутри (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Электрическое поле вблизи поверхности изолированного заряженного проводника

В этом случае поток через основание внутри проводника равен нулю, так как внутри проводника нет поля. Далее, поток через боковые стенки также равен нулю, поскольку они параллельны вектору напряженности поля. Остается поток через основание площадью вне проводника.

Тогда полный поток вектора электрической напряженности через поверхность цилиндра будет равен:

Согласно теореме Остроградского — Гаусса,

откуда

Таким образом, напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника (с его внешней стороны) пропорциональна поверхностной плотности зарядов. Внутри проводника, напомним, поле равно нулю.

cм.

Распределение зарядов по поверхности проводника в условиях равновесия.

Электрический ветер.

«Плазменный двигатель» Франклина.

Задача. Исследования атмосферного электричества показали, что у земной поверхности существует стационарное электрическое поле со средней напряженностью . Поле это направлено вниз. Отметим, что во время грозы распределение атмосферного электричества имеет более сложный характер (рис. 2.4).

При внесении незаряженного проводника во внешнее электрическое поле свободные заряды начинают двигаться и через небольшое время приходят в равновесие. Создается стационарное распределение зарядов, при котором на одной стороне проводника образуется избыток отрицательных зарядов, а на другой — избыток положительных. Это явление называется электростатической индукцией (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Электростатическая индукция

Поле индуцированных (появившихся на поверхности проводника) зарядов полностью компенсирует внутри проводника внешнее поле. В противном случае внутри проводника происходило бы движение электрических зарядов, и распределение не было бы стационарным. Итак, при равновесном состоянии суммарное поле (внешнее и индуцированных зарядов) внутри проводника равно нулю. Поэтому в отношении суммарного поля справедливы выводы, сделанные нами ранее для заряженных проводников в отсутствии внешнего поля.

В частности, электрическое поле будет отсутствовать во внутренней полости в материале проводника (рис. 2.6). На свойстве проводников экранировать внешние поля (не пропускать их внутрь области, окруженной проводником) основывается электростатическая защита от действия внешних электростатических полей (рис. 2.7).

Рис. 2.6. Появление индуцированных зарядов на поверхности проводника
при воздействии на него внешнего электрического поля

Рис. 2.7. Электростатическая защита. Поле в металлической полости равно нулю

Так, автомобиль является безопасным убежищем во время грозы, и не потому, что резина на колесах изолирует его от земли. Здесь мы должны быть благодарны теореме Остроградского — Гаусса. Однако следует подчеркнуть, что замкнутый полый проводник экранирует полость внутри себя только от внешних зарядов и полей. Если внести заряды внутрь полости, то там появится электрическое поле при том, что в самом проводнике поле, по-прежнему будет равно нулю.

Далее, суммарное поле вблизи проводника перпендикулярно его поверхности и равно

где — плотность индуцированных зарядов (мы предполагаем, что проводник в целом не заряжен).

На практике приходится решать следующую задачу. Дано некоторое внешнее поле. В него вносится проводник заданной формы. Надо найти распределение индуцированных на нем зарядов и те изменения суммарного поля вне проводника, к которым они приводят. Плотность зарядов при заданном потенциале проводника определяется кривизной поверхности: растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости) (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Электрическое поле (силовые линии и эквипотенциальные поверхности)
незаряженной сферы вблизи точечного электрического заряда

Задача. Дана сферическая металлическая оболочка с внутренним и внешним радиусами и соответственно. В центр полости помещен заряд . Найти электрическое поле и потенциал системы, а также распределение зарядов на поверхности оболочки (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Электрическое поле положительного заряда окруженного металлической оболочкой

Решение. Благодаря сферической симметрии заряды расположатся на поверхностях оболочки с постоянной поверхностной плотностью: — на внутренней и — на внешней сторонах. Рассмотрим сначала поле внутри оболочки. Проведем воображаемую сферическую поверхность радиусом Внутри нее находится только заряд . Следовательно, поле в полости оболочки будет таким же, как и для изолированного заряда . Возьмем теперь поверхность радиусом , где . Так как поле в металле отсутствует, равен нулю поток через нашу поверхность. Это значит, что полный заряд внутри нее равен нулю. Он складывается из заряда и полного заряда на внутренней поверхности, который, стало быть, равен . С другой стороны, заряд на внутренней поверхности можно определить как , откуда следует . Металлическая оболочка в целом была незаряженной, поэтому полный заряд , появившийся на ее внутренней поверхности, должен быть скомпенсирован полным зарядом , возникшим на внешней поверхности оболочки (сохранение электрического заряда). Поэтому плотность заряда . Проведем наконец воображаемую поверхность вне металлической оболочки . Полный заряд внутри поверхности складывается из 1) заряда , 2) заряда на внутренней поверхности оболочки и 3) заряда на ее внешней стороне. Поэтому внутри воображаемой поверхности находится заряд . Это значит, что электрическое поле вне оболочки снова совпадает с полем одиночного точечного заряда . Итак, мы установили, что электрическое поле направлено по радиус-вектору и по абсолютной величине равно

Нам осталось найти потенциал поля в различных точках системы. Вне оболочки потенциал совпадает с потенциалом точечного заряда: На внешней поверхности оболочки потенциал равен Поскольку внутри оболочки поля нет, потенциал сохраняет это значение во всех точках внутри металла. Внутри полости потенциал опять совпадает с потенциалом точечного заряда. Поскольку последний определен с точностью до константы, имеем Значение этого потенциала на внутренней поверхности оболочки должно совпасть со значением потенциала на внешней оболочке. Отсюда можно найти постоянную

Получаем в итоге:

Последовательное соединение

Во многих случаях для получения нужной электроемкости конденсаторы объединяют в группу, которая называется батареей. Емкость батареи конденсаторов зависит от схемы соединения составляющих ее конденсаторов. Различают два вида соединения: последовательное и параллельное. Возможен также и смешанный тип соединения конденсаторов в батарею.

Рис. 2.14. Последовательное соединение двух конденсаторов

Параллельное соединение

Система заряженных тел обладает потенциальной энергией. Рассмотрим сначала два заряда и находящиеся на расстоянии (рис. 2.19). При удалении одного из зарядов на бесконечность сила взаимодействия между ними уменьшается до нуля.

Рис. 2.19. К определению энергии системы электрических зарядов

Для сближения зарядов на расстояние необходимо совершить работу, которая идет на изменение потенциальной энергии системы. Пусть заряд из бесконечности приближается к заряду на расстояние . Работа по его перемещению равна:

где — потенциал поля, создаваемого зарядом в той точке, в которую перемещается заряд , т. е.

Аналогично, можно считать, что из бесконечно удаленной точки приближался заряд :

Результаты оказались одинаковыми, поскольку одинаково конечное расположение зарядов. Следовательно, потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов равна

или в симметричной форме

Теперь добавим к системе зарядов и третий заряд (рис. 2.19), переносимый из бесконечности в точку, находящуюся от заряда на расстоянии и от заряда на расстоянии . Соответствующая работа будет равна:

где — потенциал, создаваемый зарядами и в точке, где находится заряд .

Потенциальная энергия взаимодействия трех зарядов равна:

Перепишем полученное соотношение в виде:

или в симметричной форме

Ясно, что для произвольной системы зарядов имеем

где — потенциал в точке, где находится заряд , создаваемый всеми остальными зарядами, кроме .

Задача. Две одноименно заряженные частицы с зарядами и и массами и пущены с большого расстояния навстречу друг другу по соединяющей их прямой линии со скоростями и , соответственно. Определить наименьшее расстояние , на которое могут сблизиться частицы.

Решение. Сначала ответим на вопрос: почему вообще существует минимально возможное расстояние сближения частиц, почему они не могут столкнуться друг с другом? Ответ прост: частицы отталкиваются вследствие закона Кулона и потенциальная энергия взаимодействия при возрастает до бесконечности. Начальной кинетической энергии частиц просто не хватит, чтобы преодолеть бесконечно высокий потенциальный барьер между ними. Рассмотрим процесс сближения частиц. По мере уменьшения расстояния между ними растут силы отталкивания, тормозящие частицы. Скорость сближения — относительная скорость частиц — уменьшается и в какой-то момент становится равной нулю. В это мгновение частицы движутся как единое целое, их скорости одинаковы (мы обозначим их ). Это и есть момент наибольшего сближения. Далее под влиянием отталкивания частицы снова начнут расходиться и в конечном итоге удалятся друг от друга.

Проанализировав процесс, примемся за уравнения. В начальном состоянии полный импульс частиц равен (мы считаем, что первая частица движется в положительном направлении). В момент наибольшего сближения частицы движутся с одинаковой скоростью (скоростью их центра масс) и импульс системы равен . Поскольку полный импульс сохраняется, находим скорости частиц в момент наибольшего сближения:

Теперь применим закон сохранения энергии. В начальный момент, когда частицы находятся бесконечно далеко друг от друга, полная энергия складывается из их кинетических энергий:

В момент наибольшего сближения полная энергия равна сумме кинетических энергий частиц и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия между ними:

Приравнивая правые части равенств (2.43) и (2.44) и подставляя выражение (2.42) для скорости , получаем в итоге соотношение

Здесь приведенная масса сталкивающихся частиц, относительная скорость частиц, кинетическая энергия их относительного движения. Из (2.45) для получаем:

Система заряженных тел обладает потенциальной энергией. Рассмотрим сначала два заряда и находящиеся на расстоянии (рис. 2.19). При удалении одного из зарядов на бесконечность сила взаимодействия между ними уменьшается до нуля.

Рис. 2.19. К определению энергии системы электрических зарядов

Для сближения зарядов на расстояние необходимо совершить работу, которая идет на изменение потенциальной энергии системы. Пусть заряд из бесконечности приближается к заряду на расстояние . Работа по его перемещению равна:

где — потенциал поля, создаваемого зарядом в той точке, в которую перемещается заряд , т. е.

Аналогично, можно считать, что из бесконечно удаленной точки приближался заряд :

Результаты оказались одинаковыми, поскольку одинаково конечное расположение зарядов. Следовательно, потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов равна

или в симметричной форме

Теперь добавим к системе зарядов и третий заряд (рис. 2.19), переносимый из бесконечности в точку, находящуюся от заряда на расстоянии и от заряда на расстоянии . Соответствующая работа будет равна:

где — потенциал, создаваемый зарядами и в точке, где находится заряд .

Потенциальная энергия взаимодействия трех зарядов равна:

Перепишем полученное соотношение в виде:

или в симметричной форме

Ясно, что для произвольной системы зарядов имеем

где — потенциал в точке, где находится заряд , создаваемый всеми остальными зарядами, кроме .

Задача. Две одноименно заряженные частицы с зарядами и и массами и пущены с большого расстояния навстречу друг другу по соединяющей их прямой линии со скоростями и , соответственно. Определить наименьшее расстояние , на которое могут сблизиться частицы.

Решение. Сначала ответим на вопрос: почему вообще существует минимально возможное расстояние сближения частиц, почему они не могут столкнуться друг с другом? Ответ прост: частицы отталкиваются вследствие закона Кулона и потенциальная энергия взаимодействия при возрастает до бесконечности. Начальной кинетической энергии частиц просто не хватит, чтобы преодолеть бесконечно высокий потенциальный барьер между ними. Рассмотрим процесс сближения частиц. По мере уменьшения расстояния между ними растут силы отталкивания, тормозящие частицы. Скорость сближения — относительная скорость частиц — уменьшается и в какой-то момент становится равной нулю. В это мгновение частицы движутся как единое целое, их скорости одинаковы (мы обозначим их ). Это и есть момент наибольшего сближения. Далее под влиянием отталкивания частицы снова начнут расходиться и в конечном итоге удалятся друг от друга.

Проанализировав процесс, примемся за уравнения. В начальном состоянии полный импульс частиц равен (мы считаем, что первая частица движется в положительном направлении). В момент наибольшего сближения частицы движутся с одинаковой скоростью (скоростью их центра масс) и импульс системы равен . Поскольку полный импульс сохраняется, находим скорости частиц в момент наибольшего сближения:

Теперь применим закон сохранения энергии. В начальный момент, когда частицы находятся бесконечно далеко друг от друга, полная энергия складывается из их кинетических энергий:

В момент наибольшего сближения полная энергия равна сумме кинетических энергий частиц и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия между ними:

Приравнивая правые части равенств (2.43) и (2.44) и подставляя выражение (2.42) для скорости , получаем в итоге соотношение

Здесь приведенная масса сталкивающихся частиц, относительная скорость частиц, кинетическая энергия их относительного движения. Из (2.45) для получаем:

Эту формулу можно теперь применять к различным частным случаям. Например, если массы частиц одинаковы , то из (2.45) находим

Если же масса второй частицы гораздо больше массы первой , то минимальное расстояние получается в два раза меньшим, чем при равенстве масс:

2.9. Энергия заряженного конденсатора

Процесс возникновения зарядов на обкладках конденсатора можно представить так, что от одной обкладки последовательно отнимают очень малые порции заряда и перемещают на другую обкладку (рис. 2.20). В этом случае можно записать соотношения, аналогичные формулам предыдущего раздела:

Здесь разность потенциалов между обкладками, а заряд конденсатора в момент переноса . Чтобы зарядить незаряженный конденсатор некоторым конечным зарядом требуется затратить работу

Рис. 2.20. Процесс зарядки конденсатора

Это и есть энергия, запасенная в конденсаторе. Ее можно также записать в виде:

Выбор любой из этих эквивалентных формул диктуется условиями решаемой задачи. Заметим также, что применение общей формулы (2.41) для энергии системы зарядов также приводит к этим выражениям:

В случае плоского конденсатора напряженность поля внутри него не зависит от расстояния между пластинами. Это позволяет взглянуть на процесс зарядки конденсатора с другой стороны. Предположим, что заряды уже имеются на пластинах, которые расположены бесконечно близко друг от друга. Энергия в такой системе равна нулю, т. к. поверхностные заряды компенсируют друг друга. Станем отодвигать одну из обкладок. Со стороны другой обкладки на нее действует сила, равная произведению заряда обкладки на напряженность поля , создаваемого покоящейся обкладкой (это поле в два раза меньше полного поля в конденсаторе):

При раздвижении пластин друг от друга на расстояние совершается работа и такой же будет запасенная в конденсаторе энергия:

2.10. Энергия электрического поля

Где же сосредоточена энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе? Ответить на этот вопрос нам поможет только что проделанное умозрительное упражнение по зарядке плоского конденсатора «методом» раздвижения пластин. Мы совершали работу, энергия конденсатора увеличивалась, но что менялось в системе? Заряды на изолированных обкладках никуда не перетекали, напряженность электрического поля внутри конденсатора также не менялась. Единственное изменение — это увеличение объема пространства между обкладками. А в этом пространстве у нас ничего нет, кроме электрического поля. Значит, в каждом малом объеме пространства, пронизанного силовыми линиями поля, сосредоточена какая-то энергия. Чтобы ее найти, запишем энергию плоского конденсатора таким образом, чтобы объем пространства между обкладками присутствовал явно.

Напряженность поля плоского конденсатора связана с разностью потенциалов между обкладками и величиной зазора соотношением . Запишем энергию плоского конденсатора в виде

где объем пространства между пластинами.

Так как поле в плоском конденсаторе однородно, то энергия распределена в пространстве с плотностью

Мы получили формулу, значение которой выходит далеко за пределы задач о конденсаторах. В сущности, конденсаторы в этой формуле уже не видны: есть напряженность электрического поля (неважно, чем создаваемая), которая определяет плотность распределения энергии, в каждой точке пространства.

Продемонстрируем это на примере поля равномерно заряженной сферы радиусом . Как мы видели выше при вычислении электромагнитного радиуса электрона, энергия электростатического поля равна

Получим этот же результат другим путем.

Напряженность поля во внешнем пространстве как мы уже знаем, такая же, как и для точечного заряда. Поэтому плотность энергии поля равна

Возьмем точку в пространстве, задаваемую в сферической системе координатами и выделим малый объем Электростатическая энергия, сосредоточенная в этом малом объеме, равна Полную энергию можно найти, интегрируя по всему пространству вне сферы:

Полученная ранее энергия заряженной сферы теперь вычислена по ее распределению в окружающем пространстве! Это — очень сильный результат, демонстрирующий, что электрическое поле не есть некая фикция или искусственный математический метод. Оно реально, оно содержит в себе энергию, которую можно измерить и употребить с пользой для себя. И это все происходит в вакууме! Проводники нужны нам как удобное хранилище для электрических зарядов, а поле и его энергия сосредоточены вне них. Значит, несмотря на отсутствие вещества, вакуум не так пуст, как это можно было бы себе представить. По крайней мере, только что мы познакомились с одной из форм существования материи, отличной от обычного осязаемого вещества.

Задача. Получить выражение (2.51) для энергии электрона, исходя из формул (2.58).

Решение. Используя выражение для плотности электростатической энергии, получаем после простого интегрирования:

Естественно, мы получили тот же результат. Заметим, что из наших выкладок следует, что большая часть энергии равномерно заряженного шара приходится на окружающее его пространство: внутри шара сосредоточено лишь 16,7 % энергии.