5. Дифракция света и волн

Привет, Вы узнаете о том , что такое дифракция света, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое дифракция света, дифракционная решетка , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Колебания и волны (Оптика, акустика и радиофизика).

В более широком современном понимании дифракция – любое отклонение при распространении волн от законов геометрической оптики (физический энциклопедический словарь), Москва, Советская энциклопедия, 1983, стр. 170).

Дифракция наблюдается для волн любой природы. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени: звук слышен за углом дома, радиоволны могут распространяться далеко за пределы прямой видимости антенны передатчика, а в центре тени от освещенного диска наблюдается светлое пятно.

При дифракции (как и при интерференции) происходит перераспределение интенсивности в результате суперпозиции волн. В сущности, между дифракцией и интерференцией нет принципиальных различий: по историческим причинам суперпозицию конечного числа волн называют интерференцией, а суперпозицию бесконечного числа волн — дифракцией.

Вследствие обширности технических применений особое значение имеет дифракция света . Наблюдения дифракционных явлений привели волновую оптику в первой половине XIX в. к победе над корпускулярной теорией. В пределе малых длин волн законы волновой оптики переходят в законы геометрической оптики. Следовательно, отклонения от законов геометрической оптики наиболее ярко проявляются, когда размеры препятствий (различных неоднородностей) сопоставимы с длиной световой волны.

5.1. Принцип Гюйгенса — Френеля

Изложенный ранее принцип Гюйгенса имеет характер геометрического правила. Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку волнового фронта можно рассматривать как самостоятельный источник колебаний, а результат действия вторичных волн может быть найден построением поверхности, огибающей эти вторичные волны. Французский физик О. Френель дополнил этот принцип, предложив рассматривать волновое возмущение в любой точке пространства как результат интерференции вторичных волн от фиктивных источников, расположенных на волновом фронте. Эти фиктивные источники когерентны, и поэтому могут создавать интерференционную картину в любой точке пространства, в результате чего элементарные волны могут гасить или усиливать друг друга.

Способ Френеля вкладывает более глубокое физическое содержание в принцип Гюйгенса, а также позволяет решить ряд задач, представлявших трудности в рамках первоначального принципа Гюйгенса.

Рассмотрим поверхность волнового фронта S (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Применение принципа Гюйгенса — Френеля к сферической волне

В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля

Для сферической волны амплитуда убывает с расстоянием r от источника как 1/r. Следовательно, от каждого элемента dS волновой поверхности в точку наблюдения Р приходит колебание

где — амплитуда светового колебания в точке волновой поверхности, где расположен элемент dS, пропорциональная его площади; — коэффициент, который уменьшается с ростом угла между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке наблюдения Р. Результирующее колебание в точке Р представляет суперпозицию элементарных колебаний dE, причем интеграл берется по всей волновой поверхности S:

Это соотношение представляет аналитическое выражение принципа Гюйгенса — Френеля.

В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложен и громоздок, однако для ряда задач нахождение амплитуды результирующего колебания оказывается возможным с помощью алгебраического или геометрического суммирования.

5.2. Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса — Френеля в рамках волновой теории позволяет объяснить прямолинейное распространение света. Определим амплитуду световой волны в произвольной точке Р, используя метод зон Френеля. Рассмотрим сначала случай падающей плоской волны (рис. 5.2).

Пусть плоский фронт волны F, распространяющейся от расположенного в бесконечности источника света, в некоторый момент времени находится на расстоянии ОР – r₀ от точки наблюдения Р.

Рис. 5.2. Применение принципа Гюйгенса — Френеля к плоской волне: зоны Френеля на поверхности
плоского волнового фронта F представляют собой концентрические кольца
(для наглядности изображение зон Френеля развернуто на 90°, такими они выглядят из точки Р)

Все точки фронта волны, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, испускают элементарные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн.

Колебания во всех точках волнового фронта F имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе. С другой стороны, все точки фронта F находятся от точки Р на различных расстояниях. Для определения результирующей амплитуды всех вторичных волн в точке наблюдения Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля.

Взяв точку Р в качестве центра, построим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с и увеличиваются каждый раз на половину длины волны . При пересечении с плоским фронтом волны F эти сферы дадут концентрические окружности. Таким образом, на фронте волны появятся кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами и т. д.

Определим радиусы зон Френеля, имея ввиду, что , 0А² = АР² – 0Р², то есть

Аналогично находим

Для оценки амплитуд колебаний определим площади зон Френеля. Первая зона (круг):

вторая зона (кольцо):

третья и последующие зоны (кольца):

Таким образом, площади зон Френеля примерно одинаковы, поэтому, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, каждая зона Френеля служит источником вторичных сферических волн, амплитуды которых приблизительно одинаковы. Кроме того, колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна . Поэтому при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга, то есть амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть представлена в виде знакопеременного ряда

где А₁ — амплитуда колебаний в точке Р возбуждаемых действием центральной (первой) зоны Френеля, А₂ — амплитуда колебаний, возбуждаемых второй зоной, и т. д.

Расстояние от m-й зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m. Угол между нормалью к элементам зоны и направлением в точку Р также растет с m, следовательно, амплитуда А_m колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m. Другими словами, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

Вследствие монотонного и медленного убывания А_т можно приближенно положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером m равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних зон Френеля:

В выражении для амплитуды результирующего колебания все амплитуды от четных зон входят с одним знаком, а от нечетных — с другим. Запишем это выражение в следующем виде:

Выражения в скобках на основании (5.10) будут равны нулю, так что

то есть результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей поверхностью волнового фронта, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной (первой) зоной Френеля. Таким образом, колебания, вызываемые в точке Р волновой поверхностью F, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина первой (центральной) зоны. Следовательно, свет распространяется как бы в узком канале, сечение которого равно половине первой (центральной) зоны Френеля - мы снова пришли к прямолинейному распространению плоской волны.

Если же на пути волны поставить диафрагму с отверстием, оставляющим открытой только центральную (первую) зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна А₁, то есть в два раза превзойдет амплитуду, создаваемую всем волновым фронтом. Соответственно, интенсивность света в точке Р будет в четыре раза больше, чем при отсутствии преграды между источником света и точкой Р. Удивительно, не так ли? Но чудес в природе не бывает: в других точках экрана интенсивность света будет ослаблена, а средняя освещенность всего экрана при использовании диафрагмы, как и следовало ожидать, уменьшится.

Правомерность такого подхода, заключающегося в делении волнового фронта на зоны Френеля, подтверждена экспериментально. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывает все четные или нечетные зоны Френеля, то можно убедиться, что интенсивность света в точке Р резко возрастет. Такая пластинка, называемая зонной, действует подобно собирающей линзе. Подчеркнем еще раз: зоны Френеля — это мысленно выделенные участки поверхности волнового фронта, положение которых зависит от выбранной точки наблюдения Р. При другой точке наблюдения расположение зон Френеля будет иным. Метод зон Френеля — удобный способ решения задач о дифракции волн на тех или иных препятствиях.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения Р находятся далеко от препятствия, лучи, падающие на препятствие и идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки. В таком случае говорят о дифракции в параллельных лучах, или дифракции Фраунгофера. Если же рассматривается дифракционная картина на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, то говорят о дифракции сферических волн, или дифракции Френеля.

5.3. Дифракция на круглом отверстии и диске

Схожие дифракционные явления можно наблюдать при прохождении света через малое отверстие или, как принято говорить, от дополнительного экрана — диска, размером в это отверстие. Пусть плоская световая волна падает на малое круглое отверстие радиусом а (рис. 5.3).

Рис. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 5.3. Дифракция света на круглом отверстии

Плоский фронт, совпадающий с отверстием, можно рассматривать как совокупность фиктивных источников, испускающих когерентные волны, которые в точке наблюдения Р будут интерферировать. Разобьем площадь отверстия на ряд кольцевых зон Френеля, для чего из точки Р проведем ряд сфер с радиусами:

и т. д.

Если число зон, которые укладываются в отверстии, четно, то в точке Р будет темное пятно. Действительно, результирующая амплитуда колебаний при 2-х, 4-х, ... 2m зонах равна соответственно

При небольших отверстиях (небольших m) амплитуды А₁ и А_m2+1 мало отличаются друг от друга, поэтому результирующая амплитуда будет мала, и в точке наблюдения будет темное пятно.

При нечетном числе зон k = 2m-1 (m=1, 2, 3, ...) аналогичные рассуждения приводят к выражению

то есть в точке наблюдения будет светлое пятно.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от расстояния и длины волны :

откуда число открытых зон получается равным

Таким образом, при данном радиусе отверстия а и длине волны падающего света число зон Френеля к является функцией расстояния между отверстием и точкой наблюдения.

Расчет амплитуды результирующих колебаний, пришедших в другие точки экрана, более сложен. Из соображений симметрии следует, что интерференционная картина на экране вокруг центрального светлого (или темного) пятна (в зависимости от четности числа k) должна иметь вид чередующихся светлых и темных колец с центрами в точке Р. Интенсивность максимумов должна убывать при удалении от точки Р.

Если источник света расположен перед отверстием на конечном расстоянии r до него, то расчет зон Френеля слегка усложняется: зоны проводятся не на плоском, а на сферическом фронте. Приведем без вывода выражение для радиусов зон Френеля в этом случае:

При

приходим к формуле (5.4) для плоской волны.

Поместим теперь между падающей плоской волной и точкой наблюдения Р непрозрачный диск того же радиусом а — дополнительный экран (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Дифракция света на непрозрачном диске: справа показано распределение освещенности экрана в зависимости от расстояния х от центра экрана.
Светлое пятно в центре (максимальное значение интенсивности света I) сменяется чередующимися минимумами и максимумами, образующими светлые и темные кольца

Если диск закроет k первых зон Френеля, то амплитуда в точке Р будет равна

Выражения в скобках, как и в формуле (5.13), можно положить равными нулю, то есть

Таким образом, за небольшим непрозрачным диском

в центре экрана будет светлое пятно. Чем больше диск, тем, очевидно, амплитуда А_k+1 меньше, и освещенность пятна слабее, то есть дифракция менее существенна. Для точки Р', смещенной относительно точки Р в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать часть (k + 1)-й зоны Френеля, одновременно откроется часть зоны k. Это вызовет уменьшение интенсивности. При некотором положении точки Р' интенсивность достигает минимума. Следовательно, в случае непрозрачного круглого диска дифракционная картина имеет вид светлого центрального пятна и чередующихся темных и светлых концентрических колец (см. рис. 5.4). Светлое пятно в центре геометрической тени, предсказанное С. Пуассоном в 1818 г., выдвигалось в качестве опровержения волновой теории света. Однако Д. Араго на опыте доказал, что выводы Пуассона соответствуют действительности и лишь подтверждают волновую теорию и ее предсказания, вытекающие из метода зон Френеля.

Пример 1. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d = 4 мм падает по нормали плоская волна света ( мкм). Точка наблюдения находится на расстоянии b = 1 м на оси отверстия. Определим, сколько зон Френеля укладывается в отверстии.

Используем (5.16) при а = d/2 и r₀ = b:

В центре картины будет темное пятно.

Пример 2. Точечный источник света ( мкм) расположен на расстоянии l = 1 м на оси диафрагмы с отверстием радиусом а = 1 мм. За отверстием помещают экран. Найдем, при каком расстоянии от отверстия до экрана для центра дифракционной картины будут открыты 3 зоны Френеля.

Используем формулу (5.17):

Отсюда находим

В центре дифракционной картины при k = 3 будет светлое пятно, и в соответствии с формулой (5.14) амплитуда колебаний в этой точке будет равна

Если диафрагму убрать, то амплитуда станет равной A₁/2, то есть освещенность (интенсивность света) уменьшится в четыре раза.

5.4. Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля освещенную щель можно рассматривать как множество точечных когерентных источников волн. Поместим за щелью экран, расстояние до которого достаточно велико по сравнению с шириной щели. Это условие означает, что в данную точку Р экрана попадет параллельный пучок лучей, отклонившийся на угол (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Дифракция Фраунгофера от щели

Разность хода крайних лучей из этого пучка определяется из треугольника (угол ):

где а = АВ — ширина щели. Если при наблюдении из точки Р в щели помещается четное число зон Френеля (), то их вклады взаимно погасятся и в точке Р будет наблюдаться минимум интенсивности света. Таким образом, уравнение

дает условие дифракционных минимумов, где угол — направление на минимум с номером k.

Если разность хода крайних лучей равна нечетному числу полуволн

то при наблюдении из точки Р в щели помещается нечетное число зон Френеля. Каждая зона гасит соседнюю, а оставшаяся последняя посылает свет в направлении и образует максимум. Поэтому условие максимумов имеет вид

Соображения, приводящие к выражениям (5.21) и (5.22), имеют, вообще говоря, приближенный характер, поскольку мы применили метод зон Френеля для бесконечно удаленных точек наблюдения, рассматривая дифракцию в параллельных лучах, однако, как мы вскоре убедимся, условие минимумов (5.21) оказывается точным.

Что же касается центральной точки 0 экрана, расположенной против центра щели, то в нее попадает пучок неотклоненных лучей, ортогональных щели. Все они имеют одинаковую фазу, то есть должны усиливать друг друга. Поэтому в условии минимумов (5.21) исключено значение k = 0, соответствующее точке 0.

Значение k = 0 исключено и из условия максимумов (5.22), поскольку оно дает величину угла

так что этот максимум должен был бы расположиться между центральным максимумом и первым минимумом

что невозможно.

После этих качественных соображений изучим дифракционную картину более подробно и получим выражения, позволяющие сравнить интенсивности света в максимумах различных порядков. Результирующее колебание в некоторой точке Р экрана представляет собой суперпозицию колебаний, распространяющихся от всей поверхности щели. В случае дифракции Фраунгофера расстояние от точки наблюдения до щели можно считать приблизительно постоянным при малых углах . Коэффициент в формуле (5.2) также можно считать постоянным, если мы ограничимся рассмотрением не слишком больших углов дифракции . Обозначим А₀ суммарную амплитуду колебаний, возбуждаемых щелью в центральной точке 0 экрана. Поскольку щель бесконечно длинная, разобьем ее на полоски шириной dx так, чтобы вместо интегрирования по поверхности S (см. формулу (5.2)) перейти к интегрированию по координате х вдоль ширины щели. Тогда амплитуда колебаний, возбуждаемых элементом щели dx, будет равна

Такой же будет амплитуда колебаний, возбуждаемых этим же элементом в любой другой точке Р. Однако, если этот элемент находится в точке с координатой х (начало координат мы поместим в крайнюю точку А щели), то вторичная волна, дошедшая от него до точки Р, будет опережать по фазе колебание, дошедшее в Р от точки А. Разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути (см. рис. 3.5). Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке Р элементарной площадкой, расположенной в точке А, положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого площадкой с координатой х, будет равна

где — волновое число световой волны. Таким образом, учитывая (5.23) и (5.24), находим колебание, возбуждаемое в точке Р элементом щели с координатой х.

Проинтегрируем это соотношение по всей ширине щели (0<х<а) и получим результирующее колебание, возбуждаемое в точке Р.

Таким образом, амплитуда результирующего колебания имеет вид

Для точки 0, лежащей против центра щели, угол и А = А₀. Этот результат следует, как мы видели, и из физических рассуждений.

Получим положение других максимумов. Для этого представим результирующую амплитуду в виде

Амплитуда имеет максимум при выполнении условия:

или

Очевидное решение соответствует центральному максимуму. Следующий за ним корень уравнения (5.30), которое может быть решено только численно, равен . Отсюда находим условие первого максимума:

Из приближенного выражения (5.22) при k = 1 следует коэффициент 1.5 вместо правильного 1.43, что приводит к погрешности всего лишь в 5 %. Для других максимумов согласие с приближенной формулой становится еще лучше. Подозрительная же точка

соответствующая значению k = 0 в условии (5.22), не приводит к экстремуму амплитуды (5.27), как и следовало ожидать.

При углах , удовлетворяющих условию

амплитуда , как видно из (5.28), равна нулю. Это условие определяет положение минимумов, как и было получено выше в (5.21).

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, из формулы (5.28) получаем

где I₀ — интенсивность в центре дифракционной картины, I - интенсивность в точке Р, положение которой определяется углом . Подставляя сюда , находим интенсивность I₁ в первом максимуме:

Иначе говоря, интенсивность в первом максимуме почти в 20 раз меньше, чем в центральном. Интенсивность в других максимумах будет еще меньшей.

Таким образом, центральный максимум дает главное изображение щели. В качестве меры его ширины можно принять расстояние между минимумами слева и справа от него. Используя условие первых минимумов

и учитывая, что при малых углах

получаем, что минимумы видны под углами

Поэтому угловой размер центрального максимума равен

Аналогичные формулы для отверстий другой формы отличаются лишь числовым коэффициентом. Отсюда следует общий вывод для любых оптических приборов. Если с помощью оптического прибора (микроскопа, подзорной трубы и т. п.) пытаются разглядеть два предмета, угловое расстояние между которыми равно , то это удастся сделать, если

Под α здесь надо понимать линейный размер отверстия прибора — его объектива (если объектив имеет диафрагму, то α — диаметр диафрагмы). Иначе изображения предметов (их центральные максимумы) попадут практически в одну и ту же точку, и предметы будет невозможно различить. Для повышения разрешающей способности прибора надо либо увеличить диаметр а объектива, либо использовать возможно более короткие волны. Последнее реализуется в электронных микроскопах.

5.5. дифракционная решетка

Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили дифракционные решетки, которые представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей.

Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей. (При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.)

Пусть а — ширина щели, a b — ширина непрозрачного промежутка (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Дифракция от двух щелей

Разность хода двух крайних лучей равна

Если разность хода равна нечетному числу полуволн

то свет, посылаемый двумя щелями, вследствие интерференции волн будет взаимно гаситься. Условие минимумов имеет вид

Эти минимумы называются дополнительными.

Если разность хода равна четному числу полуволн

то волны, посылаемые каждой щелью, будет взаимно усиливать друг друга. Условие интерференционных максимумов с учетом (5.36) имеет вид

Это формула для главных максимумов дифракционной решетки.

Кроме того, в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, то есть главные минимумы решетки будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (5.21) для одной щели:

Если дифракционная решетка состоит из N щелей (современные решетки, применяемые в приборах для спектрального анализа, имеют до 200 000 штрихов, и период d = 0.8 мкм, то есть порядка 12 000 штрихов на 1 см), то условием главных минимумов является, как и в случае двух щелей, соотношение (5.41), условием главных максимумов — соотношение (5.40), а условие дополнительных минимумов имеет вид

Здесь k' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, ... . Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается (N–1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими относительно слабый фон.

Положение главных максимумов зависит от длины волны l. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный — наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Заметим, что в то время как спектральная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, наоборот, сильнее отклоняет красные лучи.

Важной характеристикой всякого спектрального прибора является разрешающая способность.

где — минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Определим разрешающую способность дифракционной решетки. Положение середины k-го максимума для длины волны

определяется условием

Края k-го максимума (то есть ближайшие дополнительные минимумы) для длины волны l расположены под углами, удовлетворяющими соотношению:

Два близких максимума воспринимаются раздельно в том случае, если середина одного максимума совпадает с краем другого (критерий Рэлея).

Таким образом, середина максимума для длины волны

совпадает с краем максимума для длины волны l в том случае, если

Отсюда находим

Следовательно, разрешающая способность дифракционной решетки

пропорциональна порядку спектра k и числу щелей N.

Исследование, описанное в статье про дифракция света, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое дифракция света, дифракционная решетка и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Колебания и волны (Оптика, акустика и радиофизика)