Лекция
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про формула ито, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое формула ито , настоятельно рекомендую прочитать все из категории вероятностные процессы.
формула ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киеси — японский математик-статистик.
Дан случайный процесс 
, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве 
с потоком 
.
Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение 
, или, в интегральной форме
где 
— броуновское движение.
Пусть теперь 
— заданная на 
непрерывная функция из класса 
, то есть имеющая производные 
При этих предположениях:
Говоря более строго, при каждом 
для 
справедлива следующая формула Ито:
Говорят, что процесс S следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильностью σ и постоянным дрейфом μ, если он удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению 
, Для броуновского движения B . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Применяя лемму Ито с
дает
Следует, что
возведение в степень дает выражение для S ,
Срок коррекции -σ 2/2соответствует разнице между медианой и средним логнормальным распределением , или, что эквивалентно для этого распределения, средним геометрическим и средним арифметическим, при этом медиана (среднее геометрическое) ниже. Это связано с неравенством AM – GM и соответствует выпуклому вниз логарифму, поэтому поправочный член можно соответственно интерпретировать как поправку на выпуклость . Это бесконечно малая версия того факта, что годовая доходность меньше средней доходности, причем разница пропорциональна дисперсии. См. Геометрические моменты логнормального распределения для дальнейшего обсуждения.
Тот же фактор σ 2/2входит во вспомогательные переменные d 1 и d 2 формулы Блэка – Шоулза и может интерпретироваться как следствие леммы Ито.
Экспоненциальная Долеан-Дейд (или стохастические экспоненциальный) непрерывного семимартингал X может быть определен как решения СД д = Y йХ с начальным условием У 0 = 1 . Иногда его обозначают Ɛ ( X ) . Применение леммы Ито с f ( Y ) = log ( Y ) дает
Возведение в степень дает решение
Лемму Ито можно использовать для вывода уравнения Блэка – Шоулза для опциона . Предположим, что цена акции следует геометрическому броуновскому движению, заданному стохастическим дифференциальным уравнением dS = S ( σdB + μ dt ) . Тогда, если стоимость опциона в момент t равна f ( t , S t ), лемма Ито дает
Период, термин ∂ f/∂ S dS представляет собой изменение стоимости во времени dt торговой стратегии, состоящей в удержании суммы∂ f/∂ Sна складе. Если следовать этой торговой стратегии и предполагается, что любые имеющиеся денежные средства будут расти безрисковой скоростью r , то общая стоимость V этого портфеля удовлетворяет SDE.
Эта стратегия повторяет вариант, если V = f ( t , S ). Объединение этих уравнений дает знаменитое уравнение Блэка – Шоулза
Позволять 
быть двумерным процессом Ито с SDE:
Тогда мы можем использовать многомерную форму леммы Ито, чтобы найти выражение для 
.
У нас есть 
и 
.
Мы установили 
и обратите внимание, что 
и 
Подстановка этих значений в многомерную версию леммы дает нам:
Это обобщение правила произведения Лейбница на недифференцируемые процессы Ито.
Далее, использование второй формы многомерной версии выше дает нам
Итак, мы видим, что продукт 
сам по себе является дрейфово-диффузионным процессом Ито .
Я хотел бы услышать твое мнение про формула ито Надеюсь, что теперь ты понял что такое формула ито и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории вероятностные процессы
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про формула ито
Комментарии