Комплексная геометрия

Привет, Вы узнаете о том , что такое комплексная геометрия, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое комплексная геометрия , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного).

В математике , комплекснаня геометрия является изучение комплексных многообразий , комплексных алгебраических многообразий и функций многих комплексных переменных . Применение трансцендентных методов к алгебраической геометрии попадает в эту категорию вместе с более геометрическими аспектами комплексного анализа .

Идея

Типичный пример комплексногопространства - комплексная проективная линия . Его можно рассматривать либо как сферу , гладкое многообразие, возникающее из дифференциальной геометрии , либо как сферу Римана , как расширение комплексной плоскости путем добавления бесконечно удаленной точки .

В широком смысле, комплексная геометрия связана с пространствами и геометрическими объектами, которые в некотором смысле моделируются на комплексной плоскости . Особенности комплексной плоскости и комплексного анализа одной переменной, такие как внутреннее понятие ориентируемости (т. Е. Способность последовательно вращаться на 90 градусов против часовой стрелки в каждой точке комплексной плоскости) и жесткость голоморфных функций (т. Е. , существование единственной комплексной производной подразумевает комплексную дифференцируемость для всех порядков), как видно, проявляется во всех формах изучения комплекснойгеометрии. Например, каждое комплексное многообразие канонически ориентируемо, и форма теоремы Лиувиллявыполняется на компактных комплексных многообразиях или проективных комплексных алгебраических многообразиях.

комплексная геометрия отличается от того, что можно было бы назвать реальной геометрией, исследования пространств, основанного на геометрических и аналитических свойствах действительной числовой прямой . Например, в то время как гладкие многообразия допускают разбиения единицы , наборы гладких функций, которые могут быть тождественно равными единице на некотором открытом множестве и тождественно нулю где-либо еще, комплексные многообразия не допускают таких наборов голоморфных функций. Действительно, это проявление теоремы тождества , типичный результат комплексного анализа одной переменной. В некотором смысле новизна комплексной геометрии восходит к этому фундаментальному наблюдению.

Верно, что каждое комплексное многообразие, в частности, является гладким вещественным многообразием. Это потому, что комплексная плоскость после того, как забыл о своей комплексной структуре, изоморфен реальной плоскости . Однако комплексная геометрия обычно не рассматривается как отдельная область дифференциальной геометрии , исследования гладких многообразий. В частности, Серра «s GAGA теорема утверждает , что каждое проективное аналитическое многообразие на самом деле является алгебраическим многообразие , и изучение голоморфных данных на аналитическом многообразии эквивалентно изучения алгебраических данных.

Эта эквивалентность указывает на то, что комплексная геометрия в некотором смысле ближе к алгебраической геометрии, чем к дифференциальной геометрии . Другой пример этого, который связан с природой комплексной плоскости, состоит в том, что при комплексном анализе одной переменной легко поддаются описанию особенности мероморфных функций . Напротив, возможное сингулярное поведение непрерывной действительной функции охарактеризовать гораздо сложнее. В результате этого можно легко изучать особые пространства в комплексной геометрии, такой как особые комплексные аналитические многообразия или особые комплексные алгебраические многообразия, тогда как в дифференциальной геометрии изучение особых пространств часто избегается.

На практике комплексная геометрия сидит в пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализ в нескольких комплексных переменных , и комплексе геометр использует инструменты из всех трех полей для изучения комплексных пространств. Типичные направления интереса в комплексной геометрии включают классификацию комплексных пространств, изучение прикрепленных к ним голоморфных объектов (таких как голоморфные векторные пучки и когерентные пучки ), а также тесные отношения между комплексными геометрическими объектами и другими областями математики и физики.

Определения

Комплексная геометрия занимается изучением комплексных многообразий , а также комплексных алгебраических и комплексно аналитических многообразий . В этом разделе определены эти типы пространств и представлены отношения между ними.

Комплексное многообразие является топологическим пространством такой, что:

• является хаусдорфовым и вторым счетным .
• локально гомеоморфно открытому подмножеству для некоторых . То есть за каждую точку, есть открытый район из и гомеоморфизм к открытому подмножеству . Такие открытые множества называются графиками .
• Если и любые две пересекающиеся диаграммы, которые отображаются на открытых множествах из соответственно, то переходная функция является биголоморфизмом .

Обратите внимание, что, поскольку каждый биголоморфизм является диффеоморфизмом , иявляется изоморфизмом как вещественное векторное пространство к, каждое комплексное многообразие размерности является, в частности, гладким многообразием размерности , которое всегда является четным числом.

В отличие от комплексных многообразий, которые всегда гладкие, комплексная геометрия также связана с возможно сингулярными пространствами. Аффинное комплексное аналитическое многообразие является подмножеством так что по каждому пункту , есть открытый район из и набор конечного числа голоморфных функций такой, что . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . По соглашению нам также потребуется наборбыть неприводимым . Точкаявляется сингулярным , если матрица Якоби вектора голоморфных функций не имеет полного звания в , и неособое в противном случае. Проективное комплексное аналитическое многообразие является подмножествомв комплексном проективном пространстве , которое, таким же образом, локально задается нулями конечного набора голоморфных функций на открытых подмножествах.

Аналогичным образом можно определить аффинное комплексное алгебраическое многообразие как подмножество который локально задается как нулевой набор конечного числа многочленов от комплексные переменные. Чтобы определить проективное комплексное алгебраическое многообразие , требуется подмножестволокально задаваться нулевым набором конечного числа однородных многочленов .

Чтобы определить общее комплексное алгебраическое или комплексно аналитическое многообразие, необходимо понятие локально окольцованного пространства . Комплексная алгебраическая / аналитическое многообразие локально окольцованное пространствокоторое локально изоморфно как локально окольцованное пространство аффинному комплексному алгебраическому / аналитическому многообразию. В аналитическом случае обычно допускается иметь топологию, локально эквивалентную топологии подпространства из-за отождествления с открытыми подмножествами , тогда как в алгебраическом случае часто используют топологию Зарисского . Снова мы также по соглашению требуем, чтобы это локально окольцованное пространство было неприводимым.

Поскольку определение особой точки является локальным, определение, данное для аффинного аналитического / алгебраического многообразия, применяется к точкам любого комплексного аналитического или алгебраического многообразия. Множество точек разнообразиякоторые являются сингулярными, называется сингулярным множеством и обозначается, а дополнение - это неособое или гладкое множество , обозначаемое. Мы говорим, что комплексное многообразие является гладким или неособым, если его сингулярное множество пусто. То есть, если он равен своему неособому локусу.

Согласно теореме о неявной функции для голоморфных функций, каждое комплексное многообразие является, в частности, неособым комплексным аналитическим многообразием, но не является в общем аффинным или проективным. По теореме Серра GAGA каждое проективное комплексное аналитическое многообразие на самом деле является проективным комплексным алгебраическим многообразием. Когда комплексное многообразие неособо, это комплексное многообразие. В более общем смысле, неособое множество любого комплексного многообразия является комплексным многообразием.

Типы комплексный пространств

Кэлеровы многообразия

Комплексные многообразия можно изучать с точки зрения дифференциальной геометрии, посредством чего они снабжены дополнительными геометрическими структурами, такими как риманова метрика или симплектическая форма . Чтобы эта дополнительная структура соответствовала комплексной геометрии, нужно попросить, чтобы она была совместима со комплексной структурой в подходящем смысле. Кэлерово многообразие является комплексным многообразием с римановой метрикой и симплектической структурой , совместимой со комплексной структурой. Каждое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия является кэлеровым, и поэтому, в частности, каждое неособое аффинное или проективное комплексное многообразие является кэлеровым после ограничения стандартной эрмитовой метрики наили метрика Фубини-Штуди на соответственно.

Другие важные примеры кэлеровых многообразий включают римановы поверхности, K3-поверхности и многообразия Калаби-Яу .

Многообразия Штейна

Теорема Серра GAGA утверждает, что проективные комплексно-аналитические многообразия на самом деле являются алгебраическими. Хотя это не совсем верно для аффинных многообразий, существует класс комплексных многообразий, которые действуют очень похоже на аффинные комплексные алгебраические многообразия, называемые многообразиями Штейна . Многообразиеявляется штейновым, если оно голоморфно выпукло и голоморфно отделимо (технические определения см. в статье о многообразиях Штейна). Однако можно показать, что это эквивалентно являясь комплексным подмногообразием для некоторых . Другой способ, которым многообразия Штейна похожи на аффинные комплексные алгебраические многообразия, состоит в том, что теоремы Картана A и B верны для многообразий Штейна.

Примеры многообразий Штейна включают некомпактные римановы поверхности и неособые аффинные комплексные алгебраические многообразия.

Гипер-кэлеровы многообразия

Особый класс комплексных многообразий - это гиперкэлеровы многообразия , которые представляют собой римановы многообразия, допускающие три различные совместимые интегрируемые почти комплексные структуры. которые удовлетворяют кватернионным соотношениям . Таким образом, гиперкэлеровы многообразия являются кэлеровыми многообразиями по трем различным причинам и, следовательно, имеют богатую геометрическую структуру.

Примеры гиперкэлеровых многообразий включают пространства ALE , K3-поверхности, пространства модулей расслоения Хиггса , колчанные многообразия и многие другие пространства модулей, возникающие из калибровочной теории и теории представлений .

Многообразия Калаби-Яу

Реальный двумерный срез пятого трехмерного многообразия Калаби-Яу

Как уже упоминалось, особый класс кэлеровых многообразий задается многообразиями Калаби-Яу. Они задаются кэлеровыми многообразиями с тривиальным каноническим расслоением. Обычно для определения многообразия Калаби-Яу также требуетсябыть компактным. В этом случае из доказательства гипотезы Калаби Яу следует, чтодопускает кэлерову метрику с нулевой кривизной Риччи , и это можно рассматривать как эквивалентное определение Калаби-Яу.

Многообразия Калаби-Яу нашли применение в теории струн и зеркальной симметрии , где они используются для моделирования дополнительных 6 измерений пространства-времени в 10-мерных моделях теории струн. Примерами многообразий Калаби-Яу являются эллиптические кривые , поверхности K3 и комплексные абелевы многообразия .

комплексные разновидности Фано

Комплексное многообразие Фано - это комплексное алгебраическое многообразие с обильным антиканоническим линейным расслоением (т. Е.достаточно). Многообразия Фано представляют значительный интерес в комплексной алгебраической геометрии и, в частности, в бирациональной геометрии , где они часто возникают в программе минимальных моделей . Фундаментальные примеры многообразий Фано даются проективным пространством куда , а гладкие гиперповерхности степени меньше чем .

Торические разновидности

Моментный многогранник, описывающий первую поверхность Хирцебруха .

Торические многообразия - это комплексные алгебраические многообразия размерностисодержащее открытое плотное подмножество, биголоморфное, оснащенный действием который продолжает действие на открытое плотное подмножество. Торическое многообразие может быть описано комбинаторно своим торическим веером и, по крайней мере, когда оно неособо, многогранником моментов . Это многоугольник вс тем свойством, что любая вершина может быть преобразована в стандартную форму вершины положительного ортанта действием. Торическое многообразие может быть получено как подходящее пространство, расслаивающееся над многогранником.

Многие конструкции, выполняемые на торических многообразиях, допускают альтернативное описание в терминах комбинаторики и геометрии многогранника моментов или связанного с ним торического веера. Это делает торические многообразия особенно привлекательными тестами для многих конструкций комплексной геометрии. Примеры торических многообразий включают комплексные проективные пространства и расслоения над ними.

Методы комплексной геометрии

Из-за жесткости голоморфных функций и комплексных многообразий методы, обычно используемые для изучения комплексных многообразий и комплексных многообразий, отличаются от методов, используемых в регулярной дифференциальной геометрии, и ближе к методам, используемым в алгебраической геометрии. Например, в дифференциальной геометрии многие проблемы решаются путем взятия локальных конструкций и их глобального соединения с помощью разбиений единицы. Разделы единства не существуют в комплексной геометрии, поэтому проблема того, когда локальные данные могут быть склеены в глобальные, является более тонкой. Когда локальные данные могут быть соединены вместе, это измеряется когомологиями пучков , а пучки и их группы когомологий являются основными инструментами.

Например, известные проблемы анализа нескольких комплексных переменных, предшествовавшие введению современных определений, - это проблемы Кузена , в которых спрашивается, когда именно локальные мероморфные данные могут быть склеены для получения глобальной мероморфной функции. Эти старые проблемы могут быть просто решены после введения пучков и групп когомологий.

Специальные примеры пучков, используемых в комплексной геометрии, включают голоморфные линейные расслоения (и связанные с ними дивизоры ), голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки . Поскольку когомологии пучков измеряют препятствия в комплексной геометрии, один из используемых приемов - доказательство теорем об исчезновении. Примеры теорем об исчезновении в комплексной геометрии включают теорему об исчезновении Кодаиры для когомологий линейных расслоений на компактных кэлеровых многообразиях и теоремы Картана A и B для когомологий когерентных пучков на аффинных комплексных многообразиях.

комплексная геометрия также использует методы, вытекающие из дифференциальной геометрии и анализа. Например, теорема Хирцебруха-Римана-Роха , частный случай теоремы Атьи-Зингера об индексе , вычисляет голоморфную эйлерову характеристику голоморфного векторного расслоения в терминах характеристических классов лежащего в основе гладкого комплексного векторного расслоения.

Классификация в комплексной геометрии

Одна из основных тем комплексной геометрии - классификация . Из-за жесткости комплексных многообразий и многообразий проблема классификации этих пространств часто оказывается решаемой. Классификация в комплексной и алгебраической геометрии часто происходит путем изучения пространств модулей , которые сами по себе являются комплексными многообразиями или многообразиями, точки которых классифицируют другие геометрические объекты, возникающие в комплексной геометрии.

Римановы поверхности

Термин модули был введен Бернхардом Риманом во время его оригинальной работы над римановыми поверхностями. Теория классификации наиболее известна для компактных римановых поверхностей. По классификации замкнутых ориентированных поверхностей компактные римановы поверхности входят в счетное число дискретных типов, измеряемых их родом. , которое является неотрицательным целым числом, считающим количество дырок в данной компактной римановой поверхности.

Классификация по существу следует из теоремы униформизации и выглядит следующим образом:

• г = 0 :

• g = 1 : существует одномерное комплексное многообразие, классифицирующее возможные компактные римановы поверхности рода 1, так называемые эллиптические кривые , модулярную кривую . По теореме об униформизации любую эллиптическую кривую можно записать как фактор куда - комплексное число со строго положительной мнимой частью. Пространство модулей задается фактором группыдействующий на верхней полуплоскости с помощью преобразований Мебиуса .
• g> 1 : для каждого рода больше единицы существует пространство модулей компактных римановых поверхностей рода g размерности . Подобно случаю эллиптических кривых, это пространство может быть получено подходящим фактором верхнего полупространства Зигеля по действию группы.

Наборы голоморфных линий

Комплексная геометрия касается не только комплексных пространств, но и связанных с ними других голоморфных объектов. Классификация голоморфных линейных расслоений на комплексном многообразиидается многообразием Пикара из .

Разновидность пикара легко описывается в случае, когда является компактной римановой поверхностью рода g. А именно, в этом случае многообразие Пикара представляет собой несвязное объединение комплексных абелевых многообразий , каждое из которых изоморфно якобиевому многообразию кривой, классифицирующему дивизоры нулевой степени с точностью до линейной эквивалентности. В дифференциально-геометрической терминологии эти абелевы многообразия являются комплексными торами, комплексными многообразиями, диффеоморфными, возможно, с одной из множества различных комплексных структур.

По теореме Торелли компактная риманова поверхность определяется своим якобиевым многообразием, и это демонстрирует одну из причин, почему изучение структур на комплексных пространствах может быть полезным, поскольку оно может позволить решить классификацию самих пространств.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Бивектор (комплекс)
• Многообразие Калаби – Яу
• Теоремы Картана A и B
• Комплексное аналитическое пространство
• Комплексная группа Ли
• комплексный многогранник
• Комплексное проективное пространство
• Кузен проблемы
• Теория деформации # Деформации комплексных многообразий

• Классификация Энриквеса-Кодаира

• GAGA (Algebraic geometry and analytic geometry)

• Теорема Хартогса о продолжении
• Эрмитово симметричное пространство
• Разложение Ходжа
• Коллектор Хопфа
• Воображаемая линия ( математика )
• Кобаяши метрика
• Переписка Кобаяши – Хитчина
• Кэлерово многообразие
• Номер Лелонга
• Список комплексных и алгебраических поверхностей
• Зеркальная симметрия
• Множитель идеальный
• Проективное разнообразие
• Псевдовыпуклость
• многомерный комплексный анализ ,
• Многообразие Штейна

Представленные результаты и исследования подтверждают, что применение искусственного интеллекта в области комплексная геометрия имеет потенциал для революции в различных связанных с данной темой сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое комплексная геометрия и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)