Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое тождество эйлера, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое тождество эйлера , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного).
тождество эйлера — частный случай формулы Эйлера при 
[⇨], известное тождество, связывающее пять фундаментальных математических констант - уравнение пяти констант:
где
— число е, или основание натурального логарифма,
— мнимая единица,
— пи, отношение длины окружности к длине ее диаметра,
— единица, нейтральный элемент по операции умножения,
— ноль, нейтральный элемент по операции сложения.
Тождество Эйлера названо в честь швейцарского, немецкого и российского математика Леонарда Эйлера[⇨]. Тождество считается образцом математической красоты[⇨], поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.
Экспоненциальная функция ez может быть определена как предел последовательности (1 + z/N)N, при N стремящемуся к бесконечности, и поэтому eiπ есть предел (1 + iπ/N)N. На каждом кадре этой анимации изображены числа (1 + iπ/N)k, где k пробегает от 0 до N, а N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100.
Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа:
для любого вещественного {\displaystyle x}
. (Заметим, что аргументы тригонометрических функций 
и 
взяты в радианах). В частности
А из того, что
и
следует
что дает тождество:
-ой степени при 
равна :
Тождество Эйлера — это случай, когда 
.
В другой области математики, используя возведение в степень кватерниона, можно показать, что подобное тождество также применимо к кватернионам. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пусть {i, j, k} — базисные элементы; тогда
В общем случае, если даны вещественные a1, a2, и a3 такие, что a12 + a22 + a32 = 1, то
Для октонионов, с вещественным an таким, что a12 + a22 + ... + a72 = 1, и с базисными элементами октонионов {i1, i2, ..., i7},
Тождество Эйлера, объединяющее три основные математические операции (сложение, умножение и возведение в степень) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырем классическим областям математики (числа и относятся к арифметике, мнимая единица — к алгебре, число — к геометрии, а число — к математическому анализу), произвело глубокое впечатление на научный мир, мистически истолковывалось как символ единства математики, и часто приводится как пример глубокой математической красоты.
Тождество Эйлера вызвало множество восторженных отзывов.
Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная орбитофронтальная кора, реагирующая на прекрасную музыку, поэзию, картины и т. д.) активировался более последовательно в случае тождества Эйлера, чем в отношении любой другой формулы[9].
Формула Эйлера, из которой сразу следует тождество Эйлера, впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году (когда Эйлеру было 7 лет), и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum) в 1722 году.
Эйлер опубликовал формулу Эйлера в ее привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748).
По мнению Робина Уилсона (англ.) :
Мы видели, как оно [тождество Эйлера] может быть легко выведено из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котса, но, похоже, ни один из них этого не сделал. Даже Эйлер, кажется, не записал этого в явном виде — и, конечно, оно не фигурирует ни в одной из его публикаций — хотя он, несомненно, понял, что это немедленно следует из его тождества [в данном случае — формулы Эйлера], eix = cos x + i sin x. Более того, кажется, неизвестно, кто первым сформулировал результат явно…
Комментарии
Оставить комментарий
Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)
Термины: Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)