Плюрисубгармоническая функция кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое плюрисубгармоническая функция , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое плюрисубгармоническая функция , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного).

плюрисубгармоническая функция — вещественнозначная функция , от комплексных переменных в области комплексного пространства , , удовлетворяющая следующим условиям:

1. полунепрерывна сверху всюду в ;
2. есть субгармоническая функция переменного в каждой связной компоненте открытого множества для любых фиксированных точек , .

Связанные определения

Функция называется плюрисупергармонической функцией, если есть плюрисубгармноническая функция.

Свойства

Плюрисубгармонические функции являются субгармоническими, но при обратное не верно.

Помимо общих свойств субгармонических функций, для плюрисубгармонических функций справедливы следующие:

• есть плюрисубгармоническая функция в области тогда и только тогда, когда — плюрисубгармоническая функция в окрестности каждой точки ;
• линейная комбинация плюрисубгармонических функций с положительными коэффициентами есть плюрисубгармоническая функция;
• пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей плюрисубгармонических функций суть плюрисубгармоническиe;
• для любой точки среднее значение

по сфере радиуса , есть возрастающая функция по , выпуклая относительно на отрезке , если шар расположен в ;

• при голоморфных отображениях плюрисубгармоническая функция переходит в плюрисубгармоническую;
• если — непрерывная плюрисубгармоническая функция в области , — замкнутое связное аналитическое подмножество и сужение достигает максимума на , то на .

Примеры

, при , где — голоморфная функция в .

Связь с кэлеровым многообразием: о n-мерном комплексном евклидовом пространстве , является плюрисубгармоническим. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Фактически, равна стандартной кэлеровской форме надо постоянных кратных. В более общем смысле, если удовлетворяет

для некоторой кэлеровой формы , тогда является плюрисубгармоническим, что называется кэлеровым потенциалом.

Связь с дельтой Дирака: на одномерном комплексном евклидовом пространстве , является плюрисубгармоническим. Еслиявляется функцией класса C ^∞ с компактным носителем , то интегральная формула Коши говорит

который можно изменить на

.

Это не что иное, как мера Дирака в начале координат 0.

Больше примеров

• Если является аналитической функцией на открытом множестве, то плюрисубгармонична на этом открытом множестве.
• Выпуклые функции плюрисубгармоничны
• Если является областью голоморфности, то плюрисубгармонический
• Гармонические функции не обязательно являются плюрисубгармоническими

Применение

В комплексном анализе плюрисубгармонические функции используются для описания псевдовыпуклых областей , областей голоморфности и многообразий Штейна .

Хотя понятие плюрисубгармонической функции может быть сложным для понимания, оно нашло применение в разных областях математики и физики. Вот несколько примеров:

Теория потенциала: Плюрисубгармонические функции используются для изучения потенциальных полей, возникающих в различных физических задачах, таких как электростатика, гравитация и теплопроводность.

Комплексный анализ: Плюрисубгармонические функции важны в исследовании аналитических функций, особенно в теории гармонических функций. Они помогают учить характеристики границ и интегралов аналитических функций.

Теория вероятностей: Плюрисубгармонические функции нашли применение в изучении стохастических процессов и теории вероятностей. Они связаны с некоторыми классами мартингалов и могут использоваться для моделирования различных случайных явлений.

Геометрия: Плюрисубгармонические функции используются для изучения свойств разных классов геометрических объектов, таких как конформные отображения, гармонические меры и гармонические функции на разных уровнях комплексной плоскости.

Это лишь несколько примеров применения плюрисубгармонических функций. В целом они являются важными инструментами в различных областях математики, физики, вероятностного моделирования и геометрии, позволяя изучать и анализировать различные математические структуры и физические явления.

Теорема Ока

Основное геометрическое приложение теории плюрисубгармонических функций - знаменитая теорема, доказанная Киеси Ока в 1942 году ^.

Непрерывная функция называется исчерпывающим, если прообраз компактна для всех . Плюрисубгармоническая функция f называется сильно плюрисубгармонической, если форма является положительным для некоторой кэлеровой формы на M .

Теорема Ока: Пусть M - комплексное многообразие, допускающее гладкую, исчерпывающую, сильно плюрисубгармоническую функцию. Тогда М - Штейн . Наоборот, любое многообразие Штейна допускает такую ​​функцию.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Плюригармоническая функция
• Гессе функции

Представленные результаты и исследования подтверждают, что применение искусственного интеллекта в области плюрисубгармоническая функция имеет потенциал для революции в различных связанных с данной темой сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое плюрисубгармоническая функция и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)