Многомерный комплексный анализ

Привет, сегодня поговорим про многомерный комплексный анализ, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое многомерный комплексный анализ , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного).

многомерный комплексный анализ — раздел математики, изучающий голоморфные функции нескольких комплексных переменных, определенные в многомерном комплексном пространстве, голоморфные отображения и подмногоообразия комплексного пространства. Начало систематическому изучению многомерных комплексных функций было положено К. Вейерштрассом и А. Пуанкаре в конце XIX века. А. Пуанкаре распространил на функции нескольких переменных основную теорему Коши и заложил основы многомерной теории вычетов. Методы многомерного комплексного анализа в настоящее время широко применяются в квантовой теории поля, математической физике, дифференциальной и алгебраической геометрии.

В комплексном анализе, теории функций нескольких комплексных переменных является филиалом математики , связанной с комплексными значениями функций в пространстве С ^п о п -наборов комплексных чисел.

Как и при комплексном анализе функций одной переменной , который имеет место при n = 1 , исследуемые функции являются голоморфными или комплексно-аналитическими, так что локально они являются степенными рядами по переменным z _i . Эквивалентно, они локально равномерные пределы из многочленов ; или локальные решения n -мерных уравнений Коши – Римана. Для одной комплексной переменной область any была областью голоморфности, но для нескольких комплексных переменных область any не является областью голоморфности, поэтому область голоморфности является одной из тем в этой области. Локальные данные мероморфных функций, т.е. проблема создания глобальной мероморфной функции из нулей и полюсов называется проблемой Кузена. Кроме того, интересные явления, которые происходят с несколькими комплексными переменными, фундаментально важны для изучения компактных комплексных многообразий и проективных комплексных многообразий и имеют иной оттенок, чем комплексная аналитическая геометрия в или на многообразиях Штейна.

Исторический обзор

Многие примеры таких функций были известны в математике девятнадцатого века: абелевы функции , тета-функции и некоторые гипергеометрические ряды . Естественно также любая функция одной переменной, которая зависит от некоторого комплексных параметра, является кандидатом. Однако теория за долгие годы не стала полноценной областью математического анализа , так как не были раскрыты ее характерные явления. Теорема Вейерштрасса препарат теперь будет классифицироваться как коммутативной алгебры ; это действительно оправдывает местную картину, ветвление , что адресует обобщение точек ветвления вТеория римановой поверхности .

Благодаря работам Фридриха Хартогса и Киеси Ока в 1930-х годах начала появляться общая теория; в то время в этом районе работали Генрих Бенке , Петер Таллен и Карл Штайн . Гартогс доказал некоторые основные результаты, такие , как любой изолированной особенности является съемным , для любой аналитической функции

всякий раз, когда n > 1 . Естественно, с аналогами контурных интегралов будет труднее справиться: когда n = 2 , интеграл, окружающий точку, должен быть над трехмерным многообразием (поскольку мы находимся в четырех реальных измерениях), в то время как итерации контурных (линейных) интегралов над двумя отдельными комплексными переменные должны прийти к двойному интегралу по двумерной поверхности. Это означает, что исчисление остатков должно будет принять совсем другой характер.

После 1945 года важная работа во Франции, на семинаре Анри Картана , и в Германии с Гансом Грауэртом и Райнхольдом Реммертом , быстро изменила картину теории. Был прояснен ряд вопросов, в частности аналитического продолжения . Здесь основное различие очевидно из теории одной переменной: в то время как для любого открытого связного множества D в C мы можем найти функцию, которая нигде не будет аналитически продолжаться через границу, этого нельзя сказать для n > 1 . На самом деле D такого типа довольно специфичны по своей природе (удовлетворяют условию псевдовыпуклости).). Естественные области определения функций, продолженные до предела, называются многообразиями Штейна, и их природа заключалась в том, чтобы обращать в нуль группы когомологий пучков . Фактически, именно необходимость поставить (в частности) работу Оки на более ясную основу, быстро привела к последовательному использованию пучков для формулировки теории (с большими последствиями для алгебраической геометрии , в частности, из работ Грауэрта).

С этого момента существовала основополагающая теория, которую можно было применять к аналитической геометрии , автоморфных форм нескольких переменных и уравнений в частных производных . Теория деформации комплексных структур и комплексных многообразий была описана в общих чертах Кунихико Кодаира и Д.К. Спенсером . Знаменитая статья GAGA из Серры скованы точками кроссовера от Geometrie Аналитического до Geometrie algébrique .

Было слышно, как К.Л. Сигель жаловался, что новая теория функций нескольких комплексных переменных содержит мало функций, а это означает, что специальная функциональная сторона теории подчинена пучкам. Интерес для теории чисел , конечно же, вызывают конкретные обобщения модулярных форм . Классические кандидаты являются модульными формами Гильберта и Siegel модульных форм . В эти дни они связаны с алгебраических групп (соответственно с ограничением Weil из вполне вещественного числового поля из GL (2) , исимплектическая группа ), для которых случается, что автоморфные представления могут быть получены из аналитических функций. В каком-то смысле это не противоречит Зигелю; современная теория имеет свои, разные направления.

Последующие разработки включали теорию гиперфункций и теорему о краю клина , обе из которых были в некоторой степени вдохновлены квантовой теорией поля . Есть ряд других областей, таких как теория банаховой алгебры , которые используют несколько комплексных переменных.

С ^п пространство

определяется как декартово произведение n комплексных плоскостей , и когда - область голоморфности, можно рассматривать как многообразие Штейна . Его можно рассматривать как п - мерное векторное пространство над комплексными числами , что дает ее размерность 2 п над R . Следовательно, как множество и как топологическое пространство , C ⁿ идентично R ^{2 n,} и его топологическая размерность равна 2 n .

На безкоординатном языке любое векторное пространство над комплексными числами можно рассматривать как реальное векторное пространство с вдвое большим числом измерений, где комплексная структура задается линейным оператором J (таким, что J ² = - I ), который определяет умножение на мнимую единицу I .

Любое такое пространство, как реальное, ориентировано . На комплексной плоскости, рассматриваемой как декартова плоскость , умножение на комплексное число w = u + iv имеет вещественную матрицу

2 × 2 вещественная матрица , которая имеет определитель

Аналогичным образом, если выразить любой конечномерный комплексный линейный оператор как вещественную матрицу (которая будет составлена ​​из блоков 2 × 2 вышеупомянутой формы), то его определитель равен квадрату модуля соответствующего комплексного определителя. Это неотрицательное число, которое означает, что (реальная) ориентация пространства никогда не меняется на противоположную с помощью комплексного оператора. То же самое относится к якобианам из голоморфных функций из С ^п до С ^н .

Подключенное пространство

Каждое произведение семейства связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно).

Сжатие

По теореме Тихонова пространство, отображаемое декартовым произведением, состоящим из любой комбинации компактных пространств, является компактным пространством.

Голоморфные функции

Функция определено в домене называется голоморфным, если удовлетворяет одному из следующих двух условий.

(i) Если непрерывно ^] на D

(ii) Для каждой переменной , голоморфна, а именно,

( 1 )

которая является обобщением уравнений Коши – Римана (с использованием частной производной Виртингера ) и берет начало в методах дифференциальных уравнений Римана.

Уравнения Коши – Римана

Пусть для каждого индекса λ

и обобщив обычное уравнение Коши – Римана для одной переменной для каждого индекса λ, получим

( 2 )

Позволять

через

приведенные выше уравнения (1) и (2) оказываются эквивалентными.

Интегральная формула Коши

е это удовлетворяет условие непрерывного и отдельно homorphic на области D . Каждый диск имеет исправляемую кривую, кусочная гладкость, класс Замкнутая кривая Жордана. () Позволять быть областью, окруженной каждым . Замыкание декартова произведения является . Также возьмите полидиск так что становится . ( и разреши - центр каждого диска.) Повторно используя интегральную формулу Коши для одной переменной,

Потому что - спрямляемая жорданова замкнутая кривая ^, а f непрерывна, поэтому порядок произведений и сумм можно поменять местами, чтобы повторный интеграл можно было вычислить как кратный интеграл . Следовательно,

( 3 )

Если в случае одной переменной интегральная формула Коши представляет собой интеграл по окружности диска с некоторым радиусом r , то в случае нескольких переменных по поверхности полидиска с радиусамикак в (3).

Формула оценки Коши

Поскольку порядок произведений и сумм взаимозаменяем, из (3) получаем

( 4 )

f дифференцируема любое количество раз, а производная непрерывна.

Из (4), если голоморфна, на полидиске и , получается следующее уравнение оценки.

Следовательно, теорема Лиувилля верна .

Разложение голоморфных функций в степенной ряд

Если голоморфна, на полидиске , из интегральной формулы Коши видно, что ее можно однозначно разложить до следующего степенного ряда.

( 5 )

Кроме того, , удовлетворяющая следующим условиям, называется аналитической функцией.

Для каждой точки , выражается как разложение в степенной ряд, сходящийся на D :

Мы уже объясняли, что голоморфные функции аналитичны. Кроме того, из теоремы, полученной Вейерштрассом, мы можем видеть, что аналитическая функция (сходящийся степенной ряд) голоморфна.

Если последовательность функций которая сходится равномерно на компактах внутри области D , предельная функция ф изтакже равномерно на компактах внутри области D . Кроме того, соответствующая частная производная оттакже компактно сходится в области D к соответствующей производной f .

Радиус сходимости степенного ряда

Можно определить комбинацию положительных действительных чисел так что степенной ряд сходится равномерно в и не сходится равномерно в .

Таким образом, можно получить аналогичный радиус сходимости для одной комплексной переменной, но есть точка, в которой она сходится за пределами круга сходимости.

Теорема идентичности

Когда функция F, G голоморфна в каскадной области D , даже для нескольких комплексных переменных теорема идентичности выполнено на области D , поскольку он имеет разложение в степенной ряд окрестностью голоморфному точки. Следовательно, выполняется принцип максимума . Кроме того , теорема об обратной функции и теорема о неявной функции удержания.

Аналитическое продолжение

Пусть U, V - открытые подмножества в , и . Предположить, что и является компонентой связности из . Еслитогда говорят, что f связана с V , а g называется аналитическим продолжением f . Из теоремы тождества, если g существует, для каждого способа выбора w он единственен. Является ли определение этого аналитического продолжения хорошо определена следует рассматривать ли домены U, V и W могут быть определены хорошо. Несколько комплексных переменных имеют ограничения на эту область, и в зависимости от формы области все голоморфные функции f, принадлежащие U , связаны с V , и может не существовать функция f скак урочище. Другими словами, U нельзя определить. Это называется феноменом Хартогов. Таким образом, исследование того, когда границы домена становятся естественными границами, стало одной из основных тем исследования нескольких комплексных переменных. Кроме того, в общем измерении между U и V может быть несколько пересечений . То есть f связна не как одновалентная голоморфная функция, а как многозначная голоморфная функция. Это означает, что W не уникален и имеет другие свойства в окрестности точки ветвления, чем в случае одной переменной.

Райнхардт домен

Расширение степенного ряда для нескольких комплексных переменных есть некоторые точки сходимости за пределами круга сходимости, но можно определить радиус сходимости, аналогичный радиусу сходимости одной комплексной переменной. Область Рейнхардта рассматривается для того, чтобы исследовать характеристики области сходимости степенного ряда, но при рассмотрении области Рейнхардта можно видеть, что область сходимости степенного ряда удовлетворяет выпуклости, называемой логарифмически-выпуклой. Существуют различные выпуклости области сходимости нескольких комплексных переменных.

Область D в комплексном пространстве, , с центром в точке , со следующим свойством: Вместе с любой точкой , домен также содержит множество

Область Рейнхардта D с инвариантна относительно преобразований , , . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Домены Рейнхардта составляют подкласс доменов Хартогса (см. Домен Хартогса ) и подкласс круговых доменов, которые определяются следующим условием: вместе с любыми, домен содержит множество

т.е. все точки окружности с центром и радиус которые лежат на комплексной прямой через и .

Область Рейнхардта D называется полной областью Рейнхардта, если вместе с любой точкой он также содержит полидиск

Полная область Рейнхардта имеет звездообразную форму относительно своего центра a . Следовательно, полная область Рейнхардта односвязна , даже если полная область Рейнхардта является граничной линией, есть способ доказать интегральную теорему Коши без использования теоремы Жордана .

Логарифмически-выпуклый

Область Рейнхардта D называется логарифмически выпуклой, если изображение из набора

под отображением

это множество выпукло в реальном пространстве. Важным свойством логарифмически выпуклых областей Рейнхардта является следующее: каждая такая область в является внутренностью множества точек абсолютной сходимости (т.е. области сходимости) некоторого степенного ряда в , и наоборот: область сходимости любого степенного ряда по является логарифмически выпуклой областью Рейнхардта с центром .

Некоторые результаты

Классические результаты Таллена

Туллен «s классический результат говорит о том , что 2-мерной ограниченная область Рейнхарда , содержащее начало является биголоморфна к одному из следующих доменов при условии , что орбита начала координаты группы автоморфизмов имеет положительную размерность:

(1) (полидиск);

(2) (единичный шар);

(3) (Домен Таллен).

Феномен Хартогса [

Давайте посмотрим на пример на странице теоремы Хартогса о расширении в терминах области Рейнхардта.

На полидиске, состоящем из двух дисков когда .

Внутренний домен

Теорема Гартогс (1906) ^{[ссылка 5]} Пусть F будет голоморфная функцией на множестве G \ K , где G представляет собой открытое подмножество C ^п ( п ≥ 2 ) и K представляет собой компактное подмножество G . Если дополнение G \ K связно, то F может быть расширен до уникальной голоморфной функции на G .

По теореме Хартогса о расширении область сходимости продолжается от к . Глядя на это с точки зрения области Рейнхардта, - область Рейнхардта, содержащая центр z = 0, а область сходимости был расширен до наименьшего полного домена Рейнхардта содержащий .

Результаты Сунады

Тошиказу Сунада (1978) ^{[ссылка 6]} обобщил результат Таллена:

Две n -мерные ограниченные области Рейнхардта и взаимно биголоморфны тогда и только тогда, когда существует преобразование данный , перестановка индексов), такая что .

Область голоморфности

Когда мы увеличиваем одну комплексную переменную, которая была до нескольких комплексных переменных, в зависимости от диапазона области, может оказаться невозможным определить голоморфную функцию так, чтобы граница области стала естественной границей. Поэтому мы рассматриваем область, где границы области являются естественными границами, т.е. областью голоморфности, первым результатом в области голоморфности была голоморфная выпуклость Х. Картана и Таллена. Проблема Леви показывает, что псевдовыпуклая область была областью голоморфности. Также Картан интерпретирует idéal de domaines indéterminés ^{[ref 10]} Киеси Ока . В пачке В теории область голоморфности стала интерпретироваться как теория многообразий Штейна.

Определение

Функция f голоморфна в области, когда f не может напрямую подключиться к домену за пределами D, включая точку границы домена, область D называется областью голоморфности f, а граница называется естественной границей f . Другими словами, область голоморфности D - это верхняя грань области, в которой голоморфная функция f голоморфна, а область D , которая является голоморфной, больше не может быть расширена. Для нескольких комплексных переменных, т.е. домена, границы не могут быть естественными границами. Теорема Хартогса о расширении дает пример области, где границы не являются естественными границами.

Формально открытое множество D в n -мерном комплексном пространственазывается областью голоморфности, если не существует непустых открытых множеств и где V связан, и такие , что для каждой голоморфной функции F на D существует голоморфная функция г на V сна U .

в В этом случае каждое открытое множество является областью голоморфности: мы можем определить голоморфную функцию с нулями, накапливающимися всюду на границе области, которая в таком случае должна быть естественной границей для области определения ее взаимности.

Голоморфно выпуклая оболочка

Первым результатом о свойствах области голоморфности является регулярная выпуклость Анри Картана и Питера Таллена (1932). ^{[ref 13]}

Голоморфно выпуклая оболочка данного компакта в п - мерном комплексном пространстве определяется следующим образом.

Позволять быть областью (открытое множество и связное множество), или, альтернативно, для более общего определения, пусть быть размерное комплексное аналитическое многообразие . Далее пусть стенд для множества голоморфных функций на G . Для компактного набора , То голоморфно выпуклая оболочка из K является

Более узкое понятие полиномиально выпуклой оболочки получается, если взятьвместо того, чтобы быть множество комплекснозначными полиномиальных функций на G . Полиномиально выпуклая оболочка содержит голоморфно выпуклую оболочку.

Домен называется голоморфно выпуклым, если для любого компактного подмножестватакже компактно в G . Иногда это сокращенно называют голоморфно-выпуклым .

Когда , любой домен голоморфно выпукло, так как тогда это союз с относительно компактными компонентами .

Если удовлетворяет указанной выше голоморфно выпуклости, он обладает следующими свойствами. Радиус полидиска удовлетворяет условию также компакт удовлетворяет и это домен. В то время как любая голоморфная функция в области можно непосредственно аналитически продолжить до .

Леви выпуклый (выпуклый относительно аналитических поверхностей)

Для каждой последовательности аналитических компактных поверхностей таких, что для некоторого набора у нас есть . т.е. аппроксимировать изнутри аналитическими компактными поверхностями ( не может быть «тронут изнутри» последовательностью аналитических поверхностей).

Псевдовыпуклая

Псевдовыпуклый Хартогс показал, что субгармонична для радиуса сходимости в ряду Хартогса когда ряд Хартогса является одной переменной . Если такое соотношение выполняется в области голоморфности нескольких комплексных переменных, оно выглядит более управляемым условием, чем голоморфно выпуклое. В субгармонической функции выглядит как вид выпуклой функции , поэтому он был назван Леви как домен псевдовыпуклого. Псевдовыпуклые области важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфности.

Определение плюрисубгармонической функции

Функция

с доменом

называется плюрисубгармонической, если она полунепрерывна сверху , и для любой комплексной прямой

с

функция является субгармонической функцией на множестве

В полной общности это понятие может быть определено на произвольном комплексном многообразии или даже на комплексном аналитическом пространстве.следующее. Полунепрерывная сверху функция

называется плюрисубгармоническим тогда и только тогда, когда для любого голоморфного отображения

функция

субгармоническая, где обозначает единичный диск.

Строго плюрисубгармоническая функция

Необходимым и достаточным условием субгармоничности действительной функции u (z) , дифференцируемой вторым порядком по z по z комплексной функции с одной переменной, является. Когда эрмитова матрица из ц положительно определена и-класс, мы называем u субгармонической функцией строгого множественного числа.

(Слабо) псевдовыпуклый (p-псевдовыпуклый) [

Слабая псевдовыпуклая ^{[ссылка 14]} определяется как: Пустьбыть доменом, то есть открытым связным подмножеством . Один говорит , что X является псевдовыпукла (или Гартогс псевдовыпукла ) , если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция на X такое, что множествоявляется относительно компактным подмножеством X для всех действительных чисел x . т.е. существует гладкая плюрисубгармоническая функция исчерпания.

Сильно псевдовыпуклые

Сильно псевдовыпуклая, если существует гладкая строго плюрисубгармоническая функция исчерпания, т.е. положительно определен в каждой точке. Сильно псевдовыпуклый домен - это псевдовыпуклый домен. ^{[ref 14]}

Псевдовыпуклость Леви-Кшоски

Если граница (т. е. когда D является сильно псевдовыпуклой областью.), можно показать, что D имеет определяющую функцию; т.е. что существует который так что , и . Теперь D псевдовыпукло тогда и только тогда, когда для каждого и в комплексном касательном пространстве в точке p, т. е.

, у нас есть

Если D не имеет Граница, может быть полезен следующий результат аппроксимации.

Предложение 1 Если D псевдовыпукло, то существуют ограниченные сильно псевдовыпуклые области Леви с ( гладкая ) граница, относительно компактная в D , такая, что

Это потому, что как только у нас есть как и в определении, мы действительно можем найти функцию исчерпания C ^∞ .

Леви сильно псевдовыпуклый (Levi total pseudoconvex)

Если для каждой граничной точки группы D существует аналитическое многообразие прохождение который полностью лежит вне D в некоторой окрестности вокруг , кроме точки сам. Область D, которая удовлетворяет этим условиям, называется сильно псевдовыпуклой или тотальной псевдовыпуклой Леви. ^{[ref 15]}

Ока псевдовыпуклая

Семейство диска Оки

Пусть n -функции быть непрерывным на , голоморфный по когда параметр t фиксирован в [0, 1], и предположим, что не все равны нулю в любой точке . Тогда наборназывается аналитическим диском, зависящим от параметра t , аназывается его оболочкой. Если и , Q (t) называется семейством диска Оки. ^{[ref 15]}

Определение

Когда выполняется на любом семействе диска Оки, D называется псевдовыпуклой. ^{[ref 15]}

Псевдовыпуклая форма Картана (местное свойство Леви)

За каждую точку существует окрестность U от й и е голоморфен натакое, что f не может быть продолжена ни в какую окрестность x . Такое свойство называется локальным свойством Леви, а область, которая удовлетворяет этому свойству, называется псевдовыпуклой областью Картана. Псевдовыпуклая область Картана сама является псевдовыпуклой областью и является областью голоморфности. ^{[ref 15]}

Эквивалентные условия (в связи с проблемой Леви)

Для домена следующие условия эквивалентны. :

1. D - область голоморфности.
2. D голоморфно выпукло.
3. D - псевдовыпуклая.
4. D выпукло по Леви.
5. D - псевдовыпуклая по Картану.

Подразумеваемое стандартные результаты (для , см . лемму Оки ). Доказательство, т. е. построение глобальной голоморфной функции, которая не допускает расширения из нерасширяемых функций, определенных только локально. Это называется проблемой Леви (в честь Е.Е. Леви ) и сначала была решена Киеши Ока, а затем Ларсом Хермандером с использованием методов функционального анализа и уравнений в частных производных (следствие-проблема).

Свойства области голоморфности

• Если являются областями голоморфности, то их пересечение также является областью голоморфности.
• Если - возрастающая последовательность областей голоморфности, то их объединение также является областью голоморфности (см. теорему Бенке – Стейна ).
• Если и являются областями голоморфности, то является областью голоморфности.
• Первая проблема Кузена всегда разрешима в области голоморфности; это также верно, с дополнительными топологическими предположениями, для троюродной проблемы.

Сноп

Связная связка

Определение

Определение когерентного пучка следующее. ^{[ref 21]}

Когерентный пучок на кольчатое пространстве это связка удовлетворяющий следующим двум свойствам:

1. имеет конечный тип над, то есть каждая точка в имеет открытый район в такой, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ;
2. для любого открытого набора , любое натуральное число , и любой морфизм из -модули, ядро имеет конечный тип.

Морфизмы между (квази) когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков -модули.

Кроме того, Жан-Пьер Серр (1955) ^{[ссылка 21]} доказывает, что

Если в точной последовательности связок -модули два из трех пучков когерентны, то когерентен и третий.

Квази-когерентный пучок на кольчатое пространстве это связка из - модули, которые имеют локальное представление, то есть каждая точка в имеет открытый район в котором есть точная последовательность

для некоторых (возможно, бесконечных) множеств и .

Когерентная теорема Оки для пучка ростка голоморфной функции

Киеси Ока (1950) ^{[ссылка 10]} доказал следующее:

Пучок ростка голоморфной функции на аналитическом многообразии - когерентный пучок . Следовательно,также является когерентным пучком. Эта теорема также используется для доказательства теоремы Картана А и В .

Идеальная связка

Если замкнутая подсхема локально нетеровой схемы , связка всех регулярных функций, исчезающих на логично. Аналогично, если замкнутое аналитическое подпространство комплексного аналитического пространства , идеальная связка логично.

Проблема кузена

В случае комплексных функций с одной переменной теорема Миттаг-Леффлера смогла создать глобальную мероморфную функцию из заданного полюса, а теорема факторизации Вейерштрасса смогла создать глобальную мероморфную функцию из заданного нуля. Теория римановой поверхности предполагает, что в многомерных комплексных функциях аналогичная теорема, которая верна для комплексных функций с одной переменной, не выполняется, если к открытому комплексному многообразию не добавлено несколько ограничений. Эта проблема называется проблемой Кузена и формулируется в терминах когомологий Шифа. В особых случаях они были введены Пьером Кузеном в 1895 году. Киеси Ока дал исчерпывающий ответ на этот вопрос.

Проблема двоюродного брата

Определение без слов-связок

Каждая разница является голоморфной функцией, где она определена. Он запрашивает мероморфную функцию f на M такую, чтоявляется голоморфной на U _I ; другими словами, f разделяет сингулярное поведение данной локальной функции.

Определение с использованием слов снопа

Пусть K пучок мероморфных функций и вывода пучка голоморфных функций на М . Если следующая карта сюръективна, проблема Кузена может быть решена.

По длинной точной последовательности когомологий ,

является точным, поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима, если первая группа когомологий H ¹ ( M , O ) обращается в нуль. В частности, по теореме Картана B проблема Кузена всегда разрешима, если M - многообразие Штейна.

Проблема троюродного брата

Определение без слов-связо

Каждое соотношение является ненулевой голоморфной функцией, где она определена. Он запрашивает мероморфную функцию f на M такую, что голоморфен и отличен от нуля.

Определение с использованием слов снопа

позволять - пучок голоморфных функций, которые никуда не обращаются, и пучок мероморфных функций, не равных тождественно нулю. Тогда это и пучки абелевых групп , и фактор-пучокчетко определено. Если следующая карта сюръективно, то проблема троюродного брата может быть решена.

Длинная последовательность когомологий точного пучка, связанная с фактором, есть

так что проблема троюродного брата разрешима во всех случаях при условии, что

Группа когомологий для мультипликативной структуры на можно сравнить с группой когомологий с его аддитивной структурой путем логарифмирования. То есть существует точная последовательность пучков

где крайний левый пучок - это локально постоянный пучок со слоем . Препятствие к определению логарифма на уровне H ¹ находится в, из длинной точной последовательности когомологий

Когда M - многообразие Штейна, средняя стрелка - изоморфизм, потому что за так что в этом случае необходимое и достаточное условие для всегда разрешимой проблемы троюродства состоит в том, что

Рассмотрение многообразий с несколькими комплексными переменными

Многообразие Штейна

Поскольку открытая риманова поверхность всегда имеет непостоянную моновалентную голоморфную функцию и удовлетворяет второй аксиоме счетности , рассматривалась риманова поверхность для вложения одномерной комплексной плоскости в аналитическое многообразие. Фактически, если взять одну бесконечно удаленную точку на одномерной комплексной плоскостираспространил его на сферу Римана. Теорема вложения Уитни говорит нам, что любое гладкое n -мерное многообразие может быть вложено как гладкое подмногообразие, в то время как комплексное многообразие «редко» имеет голоморфное вложение в . Рассмотрим, например, любое компактное связное комплексное многообразие X : любая голоморфная функция на нем постоянна по теореме Лиувилля. Теперь, когда мы знаем, что для нескольких комплексных переменных комплексные многообразия не всегда имеют голоморфные функции, не являющиеся константами, рассмотрим условия, которые имеют голоморфные функции. Если бы у нас было голоморфное вложение X в, то координатные функции ограничился бы непостоянными голоморфными функциями на X , что противоречит компактности, за исключением случая, когда X является просто точкой. Комплексные многообразия, вкладываемые в C ⁿ , называются многообразиями Штейна. Также многообразия Штейна удовлетворяют второй аксиоме счетности.

Многообразие Штейна является комплексным подмногообразием в векторном пространстве из п комплексных измерений. Они были введены и названы в честь Карла Штейна (1951). ^{[ссылка 22]} пространство Штейна похоже на многообразие Штейна , но разрешено иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии. Если унивалентный домен наявляется соединением с многообразием, может рассматриваться как комплексное многообразие и удовлетворяет условию отделимости, описанному ниже, условием превращения в многообразие Штейна является выполнение голоморфной выпуклости. Следовательно, многообразие Штейна - это свойства области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции.

Определение

Предположим, что X - паракомпактное комплексное многообразие комплексной размерности и разреши Обозначим кольцо голоморфных функций на X . Мы называем X многообразием Штейна , если выполняются следующие условия:

• X голоморфно выпукло, т. Е. Для любого компактного подмножества, так называемая голоморфно выпуклая оболочка ,

также компактное подмножество X .

• X голоморфно отделимо, т. Е. Еслидве точки в X , то существует такой, что
• Открытая окрестность любой точки на многообразии имеет голоморфную диаграмму к.

Некомпактные римановы поверхности - это Штейн Пусть X - связная некомпактная риманова поверхность . Глубокая теорема о Heinrich Behnke и Stein (1948) ^{[ссылка 23]} утверждает , что Х является многообразием Штейна.

Другой результат, приписанный Гансу Грауэрту и Гельмуту Рерлю (1956), утверждает, кроме того, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому. Последовательность экспоненциального пучка приводит к следующей точной последовательности:

Теперь теорема Картана B показывает, что, следовательно .

Это связано с решением второй (мультипликативной) проблемы кузена .

Свойства и примеры многообразий Штейна [

• Стандартное комплексное пространство - многообразие Штейна.
• Каждая область голоморфности в - многообразие Штейна.
• Достаточно легко показать, что всякое замкнутое комплексное подмногообразие в многообразии Штейна также является многообразием Штейна.
• Теорема вложения для многообразий Штейна утверждает следующее: каждое многообразие Штейна X комплексной размерности может быть встроен в по биголоморфной правильной карте .

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна является замкнутым комплексным подмногообразием комплексного пространства, комплексная структура которого является структурой объемлющего пространства (поскольку вложение биголоморфно).

• Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n -мерного CW-комплекса.
• В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная риманова поверхность является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда она некомпактна. Это можно доказать, используя версию теоремы Рунге для римановых поверхностей, принадлежащую Бенке и Стейну.
• Каждое многообразие Штейна голоморфно растекается, т.е. для каждой точки , Существуют голоморфные функции, определенные на всех которые образуют локальную систему координат при ограничении некоторой открытой окрестностью x .
• Первую проблему Кузена всегда можно решить на многообразии Штейна.
• Многообразие Штейна эквивалентно (комплексному) сильно псевдовыпуклому многообразию . Последнее означает, что он имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую ) исчерпывающую функцию, т.е. гладкую вещественную функцию на (которую можно считать функцией Морса ) с, такие что подмножества компактны в X для каждого действительного числа. Это решение так называемая проблема Леви , ^{[ссылка 24]} имя EE Леви (1911). Функцияпредлагает обобщение многообразия Штейна до идеи соответствующего класса компактных комплексных многообразий с краем, называемых областями Штейна . Домен Штейна - это прообраз. Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми многообразиями. ^{[ref 25]}
• В связи с предыдущим пунктом другое эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2 выглядит следующим образом: поверхность Штейна - это комплексная поверхность X с вещественной функцией Морса f на X, такая, что вдали от критических точек f поверхность поле комплексных касаний к прообразуявляется контактной структурой, которая индуцирует ориентацию на X _c, совпадающую с обычной ориентацией в качестве границы То есть, является Штейн заполнение из X _с .

Существуют многочисленные дополнительные характеристики таких многообразий, в частности, улавливающие свойство их наличия «многих» голоморфных функций, принимающих значения в комплексных числах. См., Например , теоремы Картана A и B , касающиеся когомологий пучков .

В GAGA множестве аналогий, многообразия Штейна соответствуют аффинным .

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптическим многообразиям в комплексном анализе, которые допускают "множество" голоморфных функций комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна эллиптическое тогда и только тогда, когда оно фибрантно в смысле так называемой «голоморфной теории гомотопий».

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Комплексная геометрия
• Комплексное проективное пространство
• Несколько реальных переменных
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Бесконечномерная голоморфность

На этом все! Теперь вы знаете все про многомерный комплексный анализ, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое многомерный комплексный анализ и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)