4.7. Отражение и туннелирование частиц - 4. Уравнение Шредингера

Это продолжение увлекательной статьи про уравнение шредингера.

...

Шредингера" > получаем отсюда квантовую частоту перехода между соседними уровнями

Выражая квантовое число n через энергию уровня, находим

Подставляя это выражение в формулу для квантовой частоты перехода между соседними высоколежащими уровнями, приходим к окончательному результату

На этой частоте должен излучать сильно возбужденный атом Бора.

Сравнивая классическую частоту (4.29) с квантовой (4.30), убеждаемся, что при одной и той же энергии электрона они совпадают. Это свойственно не только водородоподобному атому. Аналогичный результат получается для бесконечно глубокой потенциальной ямы, этот же вывод можно сделать и для прочих систем. Следовательно, соблюдается принцип соответствия Бора:

Пример. Используя формулы и данные примера из предыдущего раздела, покажем справедливость принципа соответствия Бора для поступательного движения молекул азота в сосуде.

При переходе молекул между уровнями с разностью энергий излучается квант света с энергией

откуда находим

Кроме того, классическая скорость молекул азота равна

и они пролетают сосуд от стенки до стенки и обратно за время

(период классического движения). Обратная величина есть классическая частота

Именно на этой частоте классическая физика предсказывает электромагнитное излучение. Таким образом, принцип соответствия Бора проявляется в том, что совпадают обе частоты — квантовая (при переходах между высоковозбужденными состояниями) и классическая. То же самое справедливо, как мы видели, для атома Бора. Если подставить численные значения, то для частоты излучения в данном примере получится величина

что соответствует длине волны

— сверхдлинные радиоволны.

4.7. Отражение и туннелирование частиц

До сих пор мы имели дело с задачами на связанные состояния. Рассмотрим теперь примеры инфинитного движения частиц, когда они могут уходить на бесконечно большие расстояния. В простейшем случае движения вдоль одной из координатных осей задача рассеяния частиц сводится к задаче взаимодействия частицы с неким потенциальным барьером. Мы рассмотрим несколько типов барьеров простой прямоугольной формы, чтобы выделить характерные особенности этого типа квантовых явлений.

Низкий бесконечный барьер

Потенциальная энергия имеет вид

Слово «низкий» означает, что высота барьера меньше энергии частицы (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Низкий потенциальный барьер: пунктиром показаны энергия налетающей слева частицы,
цифрами — номера областей с различной потенциальной энергией

Решим уравнение Шредингера отдельно для каждой из областей. В области 1 потенциальная энергия равна нулю, и мы получаем то же самое уравнение (4.22), что и для свободной частицы, и его общее решение в уже известном виде

где и — амплитуды падающей и отраженной волн соответственно.

В области 2 уравнение Шредингера имеет вид

В этой области меняется кинетическая энергия (и импульс) частицы, и мы должны ввести другой волновой вектор (обозначим его в отличие от прежнего )

Тогда очевидно, что решение уравнения Шредингера в области 2 будет иметь тот же вид, что и для области 1 с заменой на . Однако из физических соображений ясно, что в области 2 не может быть волны, распространяющейся справа налево (в бесконечно удаленной точке ей не от чего отражаться). Поэтому волновая функция в этой области соответствует прямой волне

По сути дела, здесь мы снова использовали некое граничное условие, хотя и иное, нежели для задачи о связанном состоянии. Нам осталось определить только амплитуды волн .

Рис. 4.13. Схематический характер волновой функции частицы для случая низкого потенциального барьера

Для этого мы должны вспомнить, что и — значения одной волновой функции в разных пространственных областях. Эта волновая функция должна быть непрерывна вместе со своей первой производной по переменной x. Непрерывность функции в точке x=0 означает, что должно выполняться условие

откуда

Непрерывность первой производной волновой функции означает выполнение равенства

откуда

Решение двух полученных уравнений дает

Амплитуда падающей волны остается неопределенной: ясно, что она зависит от интенсивности потока частиц! Важны не сами амплитуды, а отношение R квадратов их модулей, то есть интенсивностей отраженной и падающей волн:

Величина R называется коэффициентом отражения частицы от низкого барьера. По физическому смыслу это вероятность отражения частицы от барьера. Соответственно, величина

,

называемая коэффициентом прохождения, определяет вероятность проникновения частицы в правую область. Удивительно, что частица имеет шанс отразиться от низкого барьера и повернуть назад. В классической физике частица всегда (R = 0) проникает за барьер, если ей хватает на это энергии. Например, с точки зрения классической физики электрон с энергией 10 эВ, влетевший в конденсатор с тормозящим полем В 5 эВ, безусловно, преодолеет торможение и продолжит свой путь с уменьшенной энергией равной 5 эВ. В квантовой же теории не равна нулю вероятность того, что электрон отразится от поля конденсатора и повернет назад. Коэффициент отражения можно измерить, направляя поток частиц на барьер и измеряя долю отраженных от него частиц.

Высокий бесконечный барьер

Потенциальная энергия имеет тот же вид, но энергия частицы меньше высоты барьера: <(рис. 4.14).

Рис. 4.14. Высокий потенциальный барьер

Решение в области 1 остается прежним: суперпозиция прямой и отраженной волн. В области же 2 из-за обратного соотношения между энергией частицы и высотой барьера волновой вектор становится мнимым:

где

При подстановке мнимого волнового вектора

в выражение (4.32) для коэффициента отражения R получаем, что R = 1. Как и в классике, частица с энергией, меньшей высоты бесконечного барьера, наверняка отразится от него. Правда, в классической физике частица вовсе не может проникнуть под барьер. Наше же решение уравнения Шредингера для области 2 в случае высокого барьера становится равным

Это уже не волна, а экспоненциально затухающая функция. Как и в случае низкого барьера, отброшено нефизическое решение — экспоненциально растущая функция вида

Рис. 4.15. Схематический характер волновой функции частицы для случая высокого потенциального барьера

Под глубиной проникновения частицы под барьер принято понимать расстояние, на котором интенсивность потока (вероятность) ослабевает в e раз. Из выражения для следует, что

Потенциальный барьер конечной ширины

Потенциальная энергия имеет вид

Ясно, что происходит при > с некой вероятностью частица может отразиться от барьера. Наиболее интересен случай < (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Потенциальный барьер конечной ширины

Мы видели, что интенсивность (квадрат модуля амплитуды) волны убывает под барьером и на расстоянии становится меньше в раз. Но в этой точке барьер кончается, так что волна выйдет на свободу справа от барьера с уменьшенной амплитудой.

Отношение интенсивностей выходящей и падающей волн называется коэффициентом прозрачности (он же равен вероятности прохождения через барьер). Из приведенных выше рассуждений следует приближенное выражение для :

Получая мы опустили некие множители перед экспонентой, что по физическому смыслу означает пренебрежение процессами, когда частица, прежде чем выйти из-под барьера, испытает многократное отражение от его стенок. При высоком и широком барьере вклад таких процессов невелик и сделанное приближение оправдано.

Проникновение частицы сквозь конечный потенциальный барьер возможно в квантовой механике, но категорически запрещено в классической. В самом деле, формально величина играет роль импульса (мнимого), так что кинетическая энергия

становится отрицательной. Дело спасают соотношения неопределенностей. Модуль (мнимой) скорости частицы имеет порядок

так что время туннелирования

Неопределенность в кинетической энергии

Из полученных результатов для коэффициента прозрачности видно, что эффект туннелирования заметен, если

Но тогда

Получается, что неопределенность в кинетической энергии частицы под барьером больше самого значения кинетической энергии. Поэтому нельзя утверждать, что под барьером кинетическая энергия отрицательна. Скорее, она «размыта» настолько, что частица может как бы перепрыгнуть не слишком большой барьер. В случае же высокого и широкого барьера «размытость» кинетической энергии должна быть очень велика, что возможно лишь на очень короткое время, за которое частица не успевает проскочить за барьер. Поэтому в этом случае коэффициент прозрачности становится экспоненциально малым. По-другому: туннелирование заметно при ширине барьера порядка длины волны де Бройля.

Рис. 4.17. Волновая функция частицы для случая потенциального барьера конечной

Барьер произвольной формы можно представить в виде последовательности прямоугольных барьеров; теорема об умножении вероятностей ведет к появлению суммы (интеграла) в экспоненте, так что вместо (4.34) имеем

Интеграл берется между точками поворота

в которых классическая частица должна изменить направление движения.

Пример 1. Электрон находится в одномерной потенциальной яме шириной (рис. 4.18) и имеет энергию . С одной стороны ямы потенциальная энергия бесконечна, а с другой стороны выйти из ямы электрону мешает потенциальный барьер высотой и шириной . Оценим время жизни электрона в яме.

Рис. 4.18. Частица в потенциальной яме, образованной непроницаемым препятствием и конечным барьером

Скорость электрона в яме

и за промежуток времени t он подойдет к барьеру

При каждом подходе вероятность туннелирования равна D, так что вероятность туннелирования за время t равна

Вероятность увеличивается с ростом промежутка времени t. При некотором значении вероятность туннелирования станет равной единице, и электрон вырвется из ямы. Отсюда получаем для времени жизни электрона в яме оценку:

Теперь остается подставить численные данные. Для упрощения вычислений имеет смысл отдельно рассчитать коэффициент прозрачности и предэкспоненциальный множитель. Имеем

Теперь осталось рассчитать коэффициент прозрачности:

Получаем окончательно

Даже по масштабам микромира это время мало: прежде чем электрон просочится сквозь барьер, свет успеет пройти расстояние всего лишь в 0,7 мкм.

Прозрачность барьера сильно зависит от энергии частицы в яме и от ширины и высоты барьера. Например, при увеличении ширины барьера в два раза новый коэффициент прозрачности будет равен, как легко догадаться, квадрату старого. Для электрона тогда получится значение = 0,0013 и его время жизни в яме увеличится до . Это и объясняет отсутствие туннелирования в обычном мире с его высокими и широкими потенциальными барьерами.

Пример 2. Решим предыдущий пример, поместив вместо электрона в ту же потенциальную яму протон.

Чтобы не решать аналогичную задачу с самого начала, можно воспользоваться результатами предыдущего примера. Протон массивнее электрона в 1837 раз. В коэффициент прозрачности масса частицы входит под квадратным корнем в показателе экспоненты. При изменении массы в n раз в показателе экспоненты появится множитель

и новый коэффициент прозрачности будет равен старому, возведенному в степень

Используя данные предыдущего примера, получаем

Предэкспоненциальный множитель также умножится на

и время жизни протона в потенциальной яме будет равно

Получилась столь огромная величина, что протон будет жить в яме вечно: время существования Вселенной «всего» .

Эти две задачи демонстрируют сильную зависимость проницаемости барьера от массы частицы.

4.8. Оптическая аналогия прохождения частицы над барьером

В этом разделе мы покажем, что прохождение квантовой частицы через низкий потенциальный барьер аналогично отражению света на границе двух полубесконечных сред. Далее, прохождение частицы через потенциальный барьер конечной ширины может быть описано как множественное отражение классических волн, и в результате опять-таки мы придем к известным результатам оптики. Целью данного раздела является демонстрация тесной связи различных областей физики.

Ступенчатый потенциал

Этот потенциал мы снова изобразим на рис. 4.19.

Рис. 4.19. Прохождение частицы над ступенчатым барьером:
процесс эквивалентен нормальному падению света из вакуума (1)
на полубесконечную среду (2) с показателем преломления

Установление аналогии между квантовой механикой и светом означает, что мы хотим найти такие замены квантово-механических характеристик движения частицы на характеристики света, чтобы формулы квантовой механики перешли в соответствующие формулы для распространения света. Процедура замены будет изображена в формулах двойными стрелками, причем слева будут стоять квантово-механические величины, а справа — оптические. От этих формул следует отличать равенства, где по обе стороны стоят величины, относящиеся либо к частице, либо к световой волне.

Распространение квантовой частицы описывается в терминах ее волнового вектора

где

— кинетическая энергия частицы. Здесь и далее мы выписываем для частицы формулы, относящиеся к области барьера; соотношения для частицы вне барьера получаются при = 0. Скорость частицы дается соотношением

Введем прежде всего показатель преломления среды 2, соответствующий области барьера: его естественно определить, как отношение скоростей частицы в областях 1 и 2 (считаем, что в области 1 показатель преломления равен единице, как в вакууме, то есть )

При = 0 получаем n = 1 — показатель преломления вакуума.

Волновой вектор световой волны связан с круговой частотой соотношением

Мы предположим также, что волновой вектор частицы перейдет при искомой замене в волновой вектор света, то есть

Из соотношения

для среды без дисперсии следует групповая скорость света

в которую при искомой замене должна перейти скорость частицы . Тогда уравнение (4.36) дает

Разделив уравнение (4.38) на (4.39), находим еще одну замену

Конечно, «массу», стоящую здесь в левой части, нельзя отождествлять с массой фотона, которая равна нулю. Можно назвать ее «эффективной массой фотона». В вакууме, при n = 1, она равна

Эта величина соответствует известной релятивистской связи масса — энергия, и она возникает при изучении влияния гравитационного поля на распространение света.

Как бы то ни было, но суть в том, что указанные замены, как мы увидим, переводят формулы квантовой механики в формулы оптики.

Рассматривая прохождение частицы над низким потенциальным барьером (см. ступенчатый потенциал на рис. 4.19), мы уже вывели коэффициент прохождения, который здесь обозначим :

Коэффициент отражения (30.32), равный , переписываем в виде

продолжение следует...

Продолжение:

Часть 1 4. Уравнение Шредингера
Часть 2 4.5. Уравнение Шредингера для простейших систем - 4. Уравнение Шредингера
Часть 3 4.7. Отражение и туннелирование частиц - 4. Уравнение Шредингера
Часть 4 - 4. Уравнение Шредингера