Лекция
Это окончание невероятной информации про комплексные числа.
...
аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств[62].
Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) ее аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел[63].
Стандартная модель
Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара 
будет соответствовать комплексному числу 
[64]
Далее определим[63]:
и 
считаются равными, если 
и { 
. и определяется как пара 
. и определяется как пара 
.Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения 
:
Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведенному перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами 
, образующими подполе 
, причем операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары 
и 
соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.
Мнимая единица — это пара 
. Квадрат ее равен 
, то есть 
Любое комплексное число можно записать в виде 
Описанная модель доказывает, что приведенная аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой[63].
Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида
с обычным матричным сложением и умножением . Вещественной единице будет соответствовать
,
мнимой единице —
.
Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число 
является линейным оператором. В базисе 
линейный оператор A умножения на представляется указанной выше матрицей, так как :
Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определенного типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число[65].
Модель факторкольца многочленов
Рассмотрим кольцо многочленов 
с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена 
(или, что то же, по идеалу, порожденному указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен они дают одинаковые остатки. Например, многочлен 
будет эквивалентен константе 
, многочлен 
будет эквивалентен 
и т. д.[66]
Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен 
, поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида 
(от деления на ), который в силу сказанного можно записать как Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел[66].
Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда[67].
Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел 
). Кроме того, любой базис трансцендентности 
над имеет мощность континуум[K 3]. Этих трех свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей[68][69][K 4].
При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание 
поля 
-адических чисел также удовлетворяет трем указанным свойствам. Однако -адическая норма не является архимедовой[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма[70]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в -адическом[70].
Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые 
Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трех возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»[71].
Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют[71].
График кватернионов Кэли Q8, показывающий циклы умножения на i , j и k
Процесс расширения поля R вещественных чисел до C известен как конструкция Кэли – Диксона . Он может быть перенесен в более высокие измерения, давая кватернионы H и октонионы O, которые (как реальное векторное пространство) имеют размерность 4 и 8 соответственно. В этом контексте комплексные числа были названы бинарионами . [58]
Подобно тому, как при применении конструкции к вещественным числам теряется свойство упорядочения , свойства, известные по действительным и комплексным числам, исчезают с каждым расширением. В кватернионы проигрывают коммутативности, то есть х · у ≠ у · х для некоторых кватернионов х , у , а умножение октонионов , дополнительно не является коммутативной, не может быть ассоциативно: ( х · у ) · г ≠ х · ( y · z ) для некоторых октонионов x , у , з .
Реалы, комплексные числа, кватернионы и октонионы все нормированные алгебры с делением над R . По теореме Гурвица они единственные; в sedenions , следующий шаг в строительстве Кэли-Диксона, не иметь эту структуру.
Конструкция Кэли-Диксона тесно связана с регулярным представлением о С , мыслится как R - алгебра (с R -векторных пространства с умножением), по отношению к основе (1, я ) . Это означает следующее: R -линейное отображение
для некоторого фиксированного комплексного числа w может быть представлена матрицей 2 × 2 (после выбора базиса). Относительно базиса (1, i ) эта матрица имеет вид
,
то есть тот, который упомянут в разделе о матричном представлении комплексных чисел выше. В то время как это линейное представление о С в 2 × 2 вещественных матриц , это не только один. Любая матрица
обладает тем свойством , что его квадрат является отрицательной единичной матрицы: J 2 = - я . затем
Также изоморфно поле C , и дает альтернативную комплексную структуру на R 2 . Это обобщается понятием линейной комплексной структуры .
Гиперкомплексные числа также обобщают R , C , H и O . Например, это понятие содержит расщепляемые комплексные числа , которые являются элементами кольца R [ x ] / ( x 2 - 1) (в отличие от R [ x ] / ( x 2 + 1) ). В этом кольце уравнение a 2 = 1 имеет четыре решения.
Поле R является дополнением Q , поля рациональных чисел , относительно обычной метрики абсолютного значения . Другие выборы метрик на Q приводит к полю Q р о р -адических чисел (для любого простого числа р ), которые , таким образом , аналогичны R . Там нет других нетривиальных способов завершения Q , чем R и Q р , по теореме Островского . Алгебраические замыкания 
из Q p по- прежнему несут норму, но (в отличие от C ) не полны относительно нее. Завершение 
из оказывается алгебраически замкнутым. Это поле по аналогии называется p -адическими комплексными числами.
Поля R и Q p и их конечные расширения полей, включая C , являются локальными полями .
Комментарии
(поля рациональных функций для набора переменных 
мощности континуум) на алгебраическое расширениеА как ты думаешь, при улучшении комплексные числа, будет лучше нам? Надеюсь, что теперь ты понял что такое комплексные числа, комплексное число, комплексного числа, мнимая единица и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгебра
Часть 1 Комплексные числа, определение и применение, операции над ними, физический смысл
Часть 2 Формы представления комплексного числа - Комплексные числа, определение и применение,
Часть 3 Место в общей алгебре, топологии и теории множеств - Комплексные
Часть 4 Вариации Обобщения и связанные с ними понятия - Комплексные числа,
Комментарии
Оставить комментарий
Алгебра
Термины: Алгебра