Лекция
Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про вектор, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое вектор , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
вектор (лат. vector — везущий, несущий).Вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом .
Определение Упорядоченную совокупность ( x1, x2, ... , x n ) n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа xi ( i = 
) - компонентами, или координатами, вектора.
Пример. Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.
Обозначения. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, a или 
. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.
Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) и (2, 3, 5, 0, 1) разные вектора.
Операции над векторами. Произведением вектора x = (x1, x2 , ... ,xn) на действительное число λ называется вектор λ x = (λ x1, λ x2, ... , λ xn).
Суммой векторов x = (x1, x2, ... ,xn) и y = (y1, y2 , ... ,yn) называется вектор x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ... , x n+ + yn).
Пространство векторов. N-мерное векторное пространство Rn определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.
Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров
x = (x1, x2, ..., xn),
где через xi обозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров C = { x = (x1, x2, ... , xn) xi ≥ 0, i = }.
Линейная независимость. Система e1, e2, ... , em n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа λ1, λ2, ... , λm, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство λ1 e1 + λ2 e2 +... + λm em = 0; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все 
. Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R3, интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.
Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны (параллельны).
Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны (лежали в одной плоскости).
Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Базис и координаты. Тройка e1, e2, e3 некомпланарных векторов в R3 называется базисом, а сами векторы e1, e2, e3 - базисными. Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде
а = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3, (1.1)
числа x1, x2, x3 в разложении (1.1) называются координатами вектора a в базисе e1, e2, e3 и обозначаются a(x1, x2, x3).
Ортонормированный базис. Если векторы e1, e2, e3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.
Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.
Векторное произведение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:
1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е.
c = |a||b| sin (a^b).
2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.
3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.
Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или
c = a × b.
Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j.
Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), то
Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.
Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то
.
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c - левая, то a b c<0 и V = - a b c, следовательно V = |a b c| .
Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом ао. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или |а| , |АВ| обозначаются модули векторов а и АВ.
Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120о.
Решение. Имеем: cos φ = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m2 - 4n2 +2mn =
= 2 - 4+2cos120o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = 
; a2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4 m2 +16mn+16 n2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = 
. b = 
; b2 =
= (m-n)(m-n) = m2 -2mn+ n2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = 
. Окончательно имеем: cos φ =
= -1/2, φ = 120o.
Пример 1.3. Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.
Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC= 
=
= 6,
S = 1/2| AB × AC|. AC=AB+BC, значит, вектор AC имеет координаты
.
= -16(2 
+ 
). |AB×AC| = 
= 16
; S = 8,откуда
AD = 
=
.
Пример 1.4. Даны два вектора a(11,10,2) и b(4,0,3). Найдите единичный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.
Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного правого ортонормированного базиса через x, y, z.
Поскольку c ⊥ a, c ⊥ b, то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется, чтобы c = 1 и a b c >0.
Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x2 + y2 + z2 = 0.
Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x2 = 36/125, откуда
x = ± 
. Используя условие a b c >0, получим неравенство
С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = -
, z =-
.
Зачем нам линейная алгебра?
Одним из направлений в линейной алгебре является изучение векторов. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если в вашей игре применяется позиционирование экранных кнопок, работа с камерой и ее направлением, скоростями объектов, то вам придется иметь дело с векторами. Чем лучше вы понимаете линейную алгебру, тем больший контроль вы получаете над поведением векторов и, следовательно, над вашей игрой.
Что такое вектор?
В играх вектора используются для хранения местоположений, направлений и скоростей. Ниже приведен пример двухмерного вектора:
Вектор местоположения (также называемый «радиус-вектором») показывает, что человек стоит в двух метрах восточнее и в одном метре к северу от исходной точки. Вектор скорости показывает, что за единицу времени самолет перемещается на три километра вверх и на два — влево. Вектор направления говорит нам о том, что пистолет направлен вправо.
Как вы можете заметить, вектор сам по себе всего лишь набор цифр, который обретает тот или иной смысл в зависимости от контекста. К примеру, вектор (1, 0) может быть как направлением для оружия, как показано на картинке, так и координатами строения в одну милю к востоку от вашей текущей позиции. Или скоростью улитки, которая двигается вправо со скоростью в 1 милю в час (прим. переводчика: довольно быстро для улитки, 44 сантиметра в секунду).
Важно отслеживать единицы измерения. Допустим у нас есть вектор V (3,5,2). Это мало что говорит нам. Три чего, пять чего? В нашей игре Overgrowth расстояния указываются в метрах, а скорости в метрах в секунду. Первое число в этом векторе — это направление на восток, второе — направление вверх, третье — направление на север. Отрицательные числа обозначают противоположные направления, на запад, вниз и на юг. Местоположение, определяемое вектором V (3,5,2), находится в трех метрах к востоку, в пяти метрах вверху и в двух метрах к северу, как показано на картинке ниже.
Итак, мы изучили основы работы с векторами. Теперь узнаем как вектора использовать.
Сложение векторов
Чтобы сложить вектора, нам надо просто сложить каждую их составляющую друг с другом. Например:
(0, 1, 4) + (3, -2, 5) = (0+3, 1-2, 4+5) = (3, -1, 9)
Зачем нам нужно складывать вектора? Наиболее часто сложение векторов в играх применяется для физического интегрирования. Любой физический объект будет иметь вектора для местоположения, скорости и ускорения. Для каждого кадра (обычно это одна шестидесятая часть секунды), мы должны интегрировать два вектора: добавить скорость к местоположению и ускорение к скорости.
Давайте рассмотрим пример с прыжками Марио. Он начинает с позиции (0, 0). В момент начала прыжка его скорость (1, 3), он быстро двигается вверх и вправо. Его ускорение равно (0, -1), так как гравитация тянет его вниз. На картинке показано, как выглядит его прыжок, разбитый на семь кадров. Черным текстом показана его скорость в каждом фрейме.
Давайте рассмотрим первые кадры поподробнее, чтобы понять как все происходит.
Для первого кадра, мы добавляем скорость Марио (1, 3) к его местоположению (0, 0) и получаем его новые координаты (1, 3). Затем мы складываем ускорение (0, -1) с его скоростью (1, 3) и получаем новое значение скорости Марио (1, 2).
Делаем то-же самое для второго кадра. Добавляем скорость (1, 2) к местоположению (1, 3) и получаем координаты (2, 5). Затем добавляем ускорение (0, -1) к его скорости (1, 2) и получаем новую скорость (1, 1).
Обычно игрок контролирует ускорение игрового персонажа с помощью клавиатуры или геймпада, а игра, в свою очередь, рассчитывает новые значения для скоростей и местоположения, используя физическое сложение (через сложение векторов). Это та-же задача, которая решается в интегральном исчислении, просто мы его сильно упрощаем для нашей игры. Я заметил, что мне намного проще внимательно слушать лекции по интегральному исчислению, думая о практическом его применении, которое мы только что описали.
Вычитание векторов
Вычитание рассчитывается по тому-же принципу что и сложение — вычитаем соответствующие компоненты векторов. Вычитание векторов удобно для получения вектора, который показывает из одного местоположения на другое. Например, пусть игрок находится по координатам (1, 2) с лазерным ружьем, а вражеский робот находится по координатам (4, 3). Чтобы определить вектор движения лазерного луча, который поразит робота, нам надо вычесть местоположение игрока из местоположения робота. Получаем:
(4, 3) — (1, 2) = (4-1, 3-2) = (3, 1).
Умножение вектора на скаляр
Когда мы говорим о векторах, мы называем отдельные числа скалярами. Например (3, 4) — вектор, а 5 — это скаляр. В играх, часто бывает нужно умножить вектор на число (скаляр). Например, моделируя простое сопротивление воздуха путем умножения скорости игрока на 0.9 в каждом кадре. Чтобы сделать это, нам надо умножить каждый компонент вектора на скаляр. Если скорость игрока (10, 20), то новая скорость будет:
0.9*(10, 20) = (0.9 * 10, 0.9 * 20) = (9, 18).
Длина вектора
Если у нас есть корабль с вектором скорости V (4, 3), нам также понадобится узнать как быстро он двигается, чтобы посчитать потребность в экранном пространстве или сколько потребуется топлива. Чтобы сделать это, нам понадобится найти длину (модуль) вектора V. Длина вектора обозначается вертикальными линиями, в нашем случае длина вектора V будет обозначаться как |V|.
Мы можем представить V как прямоугольный треугольник со сторонами 4 и 3 и, применяя теорему Пифагора, получить гипотенузу из выражения: x2 + y2 = h2
В нашем случае — длину вектора H с компонентами (x, y) мы получаем из квадратного корня: sqrt(x2 + y2).
Итак, скорость нашего корабля равна:
|V| = sqrt(42 + 32) = sqrt(25) = 5
Этот подход используется и для трехмерных векторов. Длина вектора с компонентами (x, y, z) рассчитывается как sqrt(x2 + y2 + z2)
Расстояние
Если игрок P находится в точке (3, 3), а взрыв произошел в точке E по координатам (1, 2), нам надо определить расстояние между игроком и взрывом, чтобы рассчитать степень ущерба, нанесенного игроку. Это легко сделать, комбинируя две вышеописанных операции: вычитание векторов и их длину.
Мы вычитаем P — E, чтобы получить вектор между ними. А затем определяем длину этого вектора, что и дает нам искомое расстояние. Порядок следования операндов тут не имеет значения, |E — P| даст тот-же самый результат.
Расстояние = |P — E| = |(3, 3) — (1, 2)| = |(2, 1)| = sqrt(22+12) = sqrt(5) = 2.23
Нормализация
Когда мы имеем дело с направлениями (в отличие от местоположений и скоростей), важно, чтобы вектор направления имел длину, равную единице. Это сильно упрощает нам жизнь. Например, допустим орудие развернуто в направлении (1, 0) и выстреливает снаряд со скоростью 20 метров в секунду. Каков в данном случае вектор скорости для выпущенного снаряда?
Так как вектор направления имеет длину равную единице, мы умножаем направление на скорость снаряда и получаем вектор скорости (20, 0). Если-же вектор направления имеет отличную от единицы длину, мы не сможем сделать этого. Снаряд будет либо слишком быстрым, либо слишком медленным.
Вектор с длиной равной единице называется «нормализованным». Как сделать вектор нормализованным? Довольно просто. Мы делим каждый компонент вектора на его длину. Если, к примеру, мы хотим нормализовать вектор V с компонентами (3, 4), мы просто делим каждый компонент на его длину, то есть на 5, и получаем (3/5, 4/5). Теперь, с помощью теоремы Пифагора, мы убедимся в том, что его длина равна единице:
(3/5)2 + (4/5)2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1
Скалярное произведение векторов
Что такое скалярное произведение (записывается как •)? Чтобы рассчитать скалярное произведение двух векторов, мы должны умножить их компоненты, а затем сложить полученные результаты вместе
(a1, a2) • (b1, b2) = a1b1 + a2b2
Например: (3, 2) • (1, 4) = 3*1 + 2*4 = 11. На первый взгляд это кажется бесполезным, но посмотрим внимательнее на это:
Здесь мы можем увидеть, что если вектора указывают в одном направлении, то их скалярное произведение больше нуля. Когда они перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение равно нулю. И когда они указывают в противоположных направлениях, их скалярное произведение меньше нуля.
В основном, с помощью скалярного произведения векторов можно рассчитать, сколько их указывает в одном направлении. И хоть это лишь малая часть возможностей скалярного произведения, но уже очень для нас полезная.
Допустим у нас есть стражник, расположенный в G(1, 3) смотрящий в направлении D(1,1), с углом обзора 180 градусов. Главный герой игры подсматривает за ним с позиции H(3, 2). Как определить, находится-ли главный герой в поле зрения стражника или нет? Сделаем это путем скалярного произведения векторов D и V (вектора, направленного от стражника к главному герою). Мы получим следующее:
V = H — G = (3, 2) — (1, 3) = (3-1, 2-3) = (2, -1)
D•V = (1, 1) • (2, -1) = 1*2 + 1*-1 = 2-1 = 1
Так как единица больше нуля, то главный герой находится в поле зрения стражника.
Мы уже знаем, что скалярное произведение имеет отношение к определению направления векторов. А каково его более точное определение? Математическое выражение скалярного произведения векторов выглядит так:
A•B = |A||B|cosΘ
Где Θ (произносится как «theta») — угол между векторами A и B.
Это позволяет нам найти Θ (угол) с помощью выражения:
Θ = acos([AB] / [|A||B|])
Как я говорил ранее, нормализация векторов упрощает нашу жизнь. И если A и B нормализованы, то выражение упрощается следующим образом:
Θ = acos(AB)
Давайте опять рассмотрим сценарий со стражником. Пусть теперь угол обзора стражника будет равен 120 градусам. Получим нормализованные вектора для направления взгляда стражника (D') и для направления от стражника к главному герою (V'). Затем определим угол между ними. Если угол более 60 градусов (половина от угла обзора), то главный герой находится вне поля зрения стражника.
D' = D / |D| = (1, 1) / sqrt(12 + 12) = (1, 1) / sqrt(2) = (0.71, 0.71)
V' = V / |V| = (2, -1) / sqrt(22 + (-1)2) = (2,-1) / sqrt(5) = (0.89, -0.45)
Θ = acos(D'V') = acos(0.71*0.89 + 0.71*(-0.45)) = acos(0.31) = 72
Угол между центром поля зрения стражника и местоположением главного героя составляет 72 градуса, следовательно стражник его не видит.
Понимаю, что это выглядит довольно сложно, но это потому, что мы все делаем вручную. В программе это все довольно просто. Ниже показано как я сделал это в нашей игре Overgrowth с помощью написанных мной С++ библиотек для работы с векторами:
//Инициализируем вектора vec2 guard_pos = vec2(1,3); vec2 guard_facing = vec2(1,1); vec2 hero_pos = vec2(3,2); //Рассчитываем нормализованные вектора vec2 guard_facing_n = normalize(guard_facing); vec2 guard_to_hero = normalize(hero_pos - guard_pos); //Рассчитываем угол float angle = acos(dot(guard_facing_n, guard_to_hero));
Векторное произведение
Допустим у нас есть корабль с пушками, которые стреляют в правую и в левую стороны по курсу. Допустим, что лодка расположена вдоль вектора направления (2, 1). В каких направлениях теперь стреляют пушки?
Это довольно просто в двухмерной графике. Чтобы повернуть направление на 90 градусов по часовой стрелке, достаточно поменять местами компоненты вектора, а затем поменять знак второму компоненту.
(a, b) превращается в (b, -a). Следовательно у корабля, расположенного вдоль вектора (2, 1), пушки справа по борту будут стрелять в направлении (1, -2), а пушки с левого борта, будут стрелять в противоположном направлении. Меняем знаки у компонент вектора и получаем (-1, 2).
А что если мы хотим рассчитать это все для трехмерной графики? Рассмотрим пример с кораблем.
У нас есть вектор мачты M, направленной прямо вверх (0, 1, 0) и направление ветра: север-северо-восток W (1, 0, 2). И мы хотим вычислить вектор направления паруса S, чтобы наилучшим образом «поймать ветер».
Для решения этой задачи мы используем векторное произведение: S = M x W.
Векторное произведение A(a1,a2,a3) и B(b1,b2,b3) будет равно:
(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)
Подставим теперь нужные нам значения:
S = MxW = (0, 1, 0) x (1, 0, 2) = ([1*2 — 0*0], [0*1 — 0*2], [0*0 — 1*1]) = (2, 0, -1)
Для расчетов вручную довольно сложно, но для графических и игровых приложений я рекомендую написать функцию, подобную той, что указана ниже и не вдаваться более в детали подобных расчетов.
vec3 cross(vec3 a, vec3 b) {
vec3 result;
result = a * b - a * b ;
result = a * b - a * b ;
result = a * b - a * b ;
return result;
}
Векторное произведение часто используется в играх, чтобы рассчитать нормали к поверхностям. Направления, в которых «смотрит» та или иная поверхность. Например, рассмотрим треугольник с векторами вершин A, B и С. Как мы найдем направление в котором «смотрит» треугольник, то есть направление перпендикулярное его плоскости? Это кажется сложным, но у нас есть инструмент для решения этой задачи.
Используем вычитание, для определения направления из A в С (C — A), пусть это будет «грань 1» (Edge 1) и направление из A в B (B — A), пусть это будет «грань 2» (Edge 2). А затем применим векторное произведение, чтобы найти вектор, перпендикулярный им обоим, то есть перпендикулярный плоскости треугольника, также называемый «нормалью к плоскости».
Вот так это выглядит в коде:
vec3 GetTriangleNormal(vec3 a, vec3 b, vec3 c) {
vec3 edge1 = b-a;
vec3 edge2 = c-a;
vec3 normal = cross(edge1,edge2);
return normal;
}
В играх основное выражение освещенности записывается как N • L, где N — это нормаль к освещаемой поверхности, а L — это нормализованный вектор направления света. В результате поверхность выглядит яркой, когда на нее прямо падает свет, и темной, когда этого не происходит.
Теперь перейдем к рассмотрению такого важного для разработчиков игр понятия, как «матрица преобразований» (transformation matrix).
Для начала изучим «строительные блоки» матрицы преобразований.
Базисный вектор
Допустим мы пишем игру Asteroids на очень старом «железе» и нам нужен простой двухмерный космический корабль, который может свободно вращаться в своей плоскости. Модель корабля выглядит так:
Как нам рисовать корабль, когда игрок поворачивает его на произвольный градус, скажем 49 градусов против часовой стрелки. Используя тригонометрию, мы можем написать функцию двухмерного поворота, которая принимает координаты точки и угол поворота, и возвращает координаты смещенной точки:
vec2 rotate(vec2 point, float angle){
vec2 rotated_point;
rotated_point.x = point.x * cos(angle) - point.y * sin(angle);
rotated_point.y = point.x * sin(angle) + point.y * cos(angle);
return rotated_point;
}
Применяя эту функцию ко всем трем точкам, мы получим следующую картину:
Операции с синусами и косинусами работают довольно медленно, но так как мы делаем расчеты лишь для трех точек, это будет нормально работать даже на старом «железе» (прим. переводчика: в случаях, когда предполагается интенсивное использование тригонометрических функций, для ускорения вычислений, в памяти организуют таблицы значений для каждой функции и рассчитывают их во время запуска приложения. Затем при вычислении той или иной тригонометрической функции просто производится обращение к таблице).
Пусть теперь наш корабль выглядит вот так:
Теперь старый подход будет слишком медленным, так как надо будет поворачивать довольно большое количество точек. Одно из элегантных решений данной проблемы будет звучать так — «Что если вместо поворота каждой точки модели корабля, мы повернем координатную решетку нашей модели?»
Как это работает? Давайте посмотрим внимательнее, что собой представляют координаты.
Когда мы говорим о точке с координатами (3, 2), мы говорим, что ее местоположение находится в трех шагах от точки отсчета по координатной оси X, и двух шагах от точки отсчета по координатной оси Y.
По-умолчанию координатные оси расположены так: вектор координатной оси X (1, 0), вектор координатной оси Y (0, 1). И мы получим расположение: 3(1, 0) + 2(0, 1). Но координатные оси не обязательно должны быть в таком положении. Если мы повернем координатные оси, в это-же время мы повернем все точки в координатной решетке.
Чтобы получить повернутые оси X и Y мы применим тригонометрические функции, о которых говорили выше. Если мы поворачиваем на 49 градусов, то новая координатная ось X будет получена путем поворота вектора (0, 1) на 49 градусов, а новая координатная ось Y будет получена путем поворота вектора (0, 1) на 49 градусов. Итак вектор новой оси X у нас будет равен (0.66, 0.75), а вектор новой оси Y будет (-0.75, 0.66). Сделаем это вручную для нашей простой модели из трех точек, чтобы убедиться, что это работает так, как нужно:
Координаты верхней точки (0, 2), что означает, что ее новое местоположение находится в 0 на новой (повернутой) оси X и 2 на новой оси Y:
0*(0.66,0.75) + 2*(-0.75, 0.66) = (-1.5, 1.3)
Нижняя левая точка (-1, -1), что означает, что ее новое местоположение находится в -1 на повернутой оси X, и -1 на повернутой оси Y:
-1*(0.66,0.75) + -1*(-0.75, 0.66) = (0.1, -1.4)
Нижняя правая точка (1, -1), что означает ее новое местоположение находится в 1 на повернутой оси X, и -1 на повернутой оси Y
1*(0.66,0.75) + -1*(-0.75, 0.66) = (1.4, 0.1)
продолжение следует...
Часть 1 Векторы в линейной алгебре и программировании
Часть 2 Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря! - Векторы в линейной алгебре и программировании
А как ты думаешь, при улучшении вектор, будет лучше нам? Надеюсь, что теперь ты понял что такое вектор и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Комментарии
Оставить комментарий
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Термины: Линейная алгебра и аналитическая геометрия