Лекция
Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про прямая в пространстве, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое прямая в пространстве, скрещивающие прямые, параллельные прямые, каноническое уравнение прямой , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Прямая, проходящая через точку 
в направлении вектора 
задается либо каноническим уравнением прямой
либо параметрическим уравнением прямой
где t - параметр.
Вектор s называется вектором прямой.
Общее уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей
каноническое уравнение прямой
Общее уравнение прямой совместная неопределеннная система линейных неоднородных алгебраических уравнений с рангом r = 2
Уравнение прямой проходящей через две заданные точки
В разделе прямая на плоскости мы дали представление о точке и прямой на плоскости. Прямую линию в пространстве следует представлять абсолютно аналогично: мысленно отмечаем две точки в пространстве и проводим с помощью линейки линию от одной точки до другой и за пределы точек в бесконечность.
Все обозначения точек, прямых и отрезков в пространстве аналогичны случаю на плоскости.
Вообще, прямая линия целиком принадлежит некоторой плоскости в пространстве. Это утверждение вытекает из аксиом:
Существует еще одна аксиома, которая позволяет рассматривать прямую в пространстве как пересечение двух плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.
Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).
Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.
В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые , параллельность прямых.
После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать о направляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.
Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.
Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).
Существует несколько способов, позволяющих однозначно определить прямую линию в пространстве. Перечислим основные из них.
Мы знаем из аксиомы, что через две точки проходит прямая, причем только одна. Таким образом, если мы отметим две точки в пространстве, то это позволит однозначно определить прямую линию, проходящую через них.
Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и задана прямая с помощью указания координат двух ее точек, то мы имеем возможность составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Второй способ задания прямой в пространстве основан на теореме: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем только одна.
Таким образом, если задать прямую (или отрезок этой прямой) и не лежащую на ней точку, то мы однозначно определим прямую, параллельную заданной и проходящей через данную точку.
Рекомендуем также ознакомиться со статьей уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.
Можно указать точку, через которую проходит прямая и ее направляющий вектор. Это также позволит однозначно определить прямую.
Если прямая задана таким способом относительно зафиксированной прямоугольной системы координат, то мы можем сразу записать ее канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве.
Следующий способ задания прямой в пространстве основан на аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Таким образом, задав две пересекающиеся плоскости, мы однозначно определим прямую в пространстве.
Смотрите также статью уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей.
Еще один способ задания прямой в пространстве следует из теоремы (ее доказательство Вы можете найти в книгах, указанных в конце этой статьи): если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости.
Таким образом, чтобы определить прямую, можно задать плоскость, которой искомая прямая перпендикулярна, и точку, через которую эта прямая проходит.
Если прямая задана таким способом относительно введенной прямоугольной системы координат, то будет полезно владеть материалом статьи уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости.
Продолжим изучать уравнения прямой в пространстве. В этой статье рассмотрим канонические уравнения прямой в пространстве. Этот вид уравнений прямой удобен при решении многих задач, поэтому канонические уравнения прямой в пространстве заслуживают детального и всестороннего изучения.
Сначала мы выведем канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве и приведем примеры. Далее научимся определять координаты направляющего вектора прямой по известным каноническим уравнениям прямой, а также составлять канонические уравнения прямой при известном направляющем векторе и заданной точке прямой. После этого остановимся на частных случаях канонических уравнений прямой в пространстве и получим уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства. В заключении рассмотрим связь канонических уравнений прямой с другими видами уравнений этой прямой в пространстве и подробно разберем решения характерных задач.
Получим канонические уравнения прямой a в трехмерном пространстве. Аналогичные действия мы проводили, когда рассматривали каноническое уравнение прямой на плоскости.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка 
лежит на прямой а и 
- направляющий вектор прямой а.
Очевидно, что множество точек 
трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы 
и 
коллинеарны.
Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов 
и 
в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора 
нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора 
- они равны разности соответствующих координат точек 
и 
, то есть, 
(при необходимости смотрите нахождение координат вектора по координатам точек). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Теперь записываем условие коллинеарности векторов и 
:
, где λ - произвольное действительное число (при 
точки и совпадают, что нас тоже устраивает).
Если 
, то каждое уравнение системы 
можно разрешить относительно параметра 
и приравнять правые части:
Полученные уравнения вида 
в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.
Запись вида очень удобна, поэтому ее используют даже когда одно или два из чисел 
равны нулю (все три числа одновременно не могут быть равными нулю, так как направляющий вектор всегда ненулевой по определению). В этих случаях запись считается условной (так как содержатся нули в знаменателях) и ее следует понимать как 
, где 
. На этих частных случаях канонических уравнений прямой подробно остановимся в третьем пункте этой статьи (перейти к частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве).
Обратите внимание на следующие важные факты:
, так и через точку 
, то канонические уравнения этой прямой можно записать как , так и 
; - направляющий вектор прямой, то любой из векторов 
также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, эта прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть определена как каноническими уравнениями прямой вида 
, так каноническими уравнениями прямой вида 
.Приведем пару примеров канонических уравнений прямой в пространстве:
, здесь 
;
, здесь 
.
Итак, канонические уравнения прямой в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве вида соответствуют прямой линии, которая проходит через точку , а направляющим вектором этой прямой является вектор . Таким образом, если нам известен вид канонических уравнений прямой в пространстве, то мы можем сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой, а если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой, то мы сразу можем записать ее канонические уравнения.
Покажем решения таких задач.
Пример.
Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве задана каноническими уравнениями прямой вида 
. Напишите координаты всех направляющих векторов этой прямой.
Решение.
Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой, то есть, 
- один из направляющих векторов исходной прямой. Тогда множество всех направляющих векторов прямой можно задать как 
, где 
- параметр, принимающий любые действительные значения, кроме нуля.
Ответ:
Пример.
Напишите канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве проходит через точку 
, а направляющий вектор прямой имеет координаты 
.
Решение.
Из условия имеем 
. То есть, у нас есть все данные, чтобы написать требуемые канонические уравнения прямой в пространстве. В нашем случае
.
Ответ:
Мы рассмотрели простейшую задачу на составление канонических уравнений прямой в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки прямой. Однако намного чаще встречаются задачи, в которых сначала требуется найти координаты направляющего вектора прямой, а уже потом записывать канонические уравнения прямой. В качестве примера можно привести задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой и задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости.
Мы уже отмечали, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой в пространстве вида 
могут быть равны нулю. Тогда запись считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как , где .
Давайте рассмотрим подробнее все эти частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
Пусть 
, или 
, или 
, тогда канонические уравнения прямых имеют вид
или
или
В этих случаях в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые лежат в плоскостях 
, 
или 
соответственно, которые параллельны координатным плоскостям Oyz, Oxz или Oxy соответственно (или совпадают с этими координатными плоскостями при 
, 
или 
). На рисунке представлены примеры таких прямых.
При 
, или 
, или 
канонические уравнения прямых запишутся как
или
или
соответственно.
В этих случаях прямые параллельны координатным осям Oz, Oy или Ox соответственно (или совпадают с этими осями при 
, 
или 
). Действительно, направляющие векторы рассматриваемых прямых имеют координаты 
, или 
, или 
, очевидно, что они коллинеарны векторам 
, или 
, или 
соответственно, где 
- направляющие векторы координатных прямых. Посмотрите иллюстрации к этим частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве.
Осталось для закрепления материала этого пункта рассмотреть решения примеров.
Пример.
Напишите канонические уравнения координатных прямых Ox, Oy и Oz.
Решение.
Направляющими векторами координатных прямых Ox, Oy и Oz являются координатные векторы 
и 
соответственно. Кроме этого, координатные прямые проходят через начало координат – через точку 
. Теперь мы можем записать канонические уравнения координатных прямых Ox, Oy и Oz, они имеют вид 
и 
соответственно.
Ответ:
- канонические уравнения координатной прямой Ox, 
- канонические уравнения оси ординат Oy, - канонические уравнения оси аппликат.
Пример.
Составьте канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве проходит через точку 
и параллельна оси ординат Oy.
Решение.
Так как прямая, канонические уравнения которой нам требуется составить, параллельна координатной оси Oy, то ее направляющим вектором является вектор 
. Тогда канонические уравнения этой прямой в пространстве имеют вид 
.
Ответ:
Поставим себе задачу: написать канонические уравнения прямой, проходящей в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве через две несовпадающие точки и .
В качестве направляющего вектора заданной прямой можно принять вектор 
(если больше нравиться вектор 
, то можно взять его). По известным координатам точек М1 и М2 можно вычислить координаты вектора : 
. Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой, так как знаем координаты точки прямой (в нашем случае даже координаты двух точек М1 и М2), и знаем координаты ее направляющего вектора. Таким образом, заданная прямая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется каноническими уравнениями вида 
или 
. Это и есть искомые канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства.
Пример.
Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через две точки трехмерного пространства 
и 
.
Решение.
Из условия имеем 
. Подставляем эти данные в канонические уравнения прямой, проходящей через две точки :
Если воспользоваться каноническими уравнениями прямой вида , то получаем
.
Ответ:
или 
Для решения некоторых задач канонические уравнения прямой в пространстве могут оказаться менее удобны, чем параметрические уравнения прямой в пространстве вида . А иногда предпочтительнее определить прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве через уравнения двух пересекающихся плоскостей как 
. Поэтому встает задача перехода от канонических уравнений прямой в пространстве к параметрическим уравнениям прямой или к уравнениям двух пересекающихся плоскостей.
От уравнений прямой в каноническом виде легко перейти к параметрическим уравнениям этой прямой. Для этого требуется каждую из дробей в канонических уравнениях прямой в пространстве принять равной параметру и разрешить полученные уравнения относительно переменных x, y и z:
При этом параметр может принимать любые действительные значения (так как переменные x, y и z могут принимать какие угодно действительные значения).
Пример.
Прямая в трехмерном пространстве в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определена каноническими уравнениями прямой вида 
. Напишите параметрические уравнения этой прямой.
Решение.
Примем каждую из дробей равной λ: 
. Разрешив первое уравнение системы относительно переменной x, второе – относительно y, третье – относительно z, получим требуемые параметрические уравнения прямой:
Ответ:
Теперь покажем, как из канонических уравнений прямой получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту же прямую.
Двойное равенство по сути представляет собой систему из трех уравнений вида 
(мы попарно приравняли дроби из канонических уравнений прямой). Так как пропорцию 
мы понимаем как 
, то
Итак, мы получили
.
Так как числа ax, ay и az одновременно не равны нулю, то ранг основной матрицы полученной системы равен двум, так как
а хотя бы один из определителей второго порядка
отличен от нуля.
Следовательно, из системы можно исключить уравнение, которое не участвует в образовании базисного минора. Таким образом, канонические уравнения прямой в пространстве будут эквивалентны системе из двух линейных уравнений с тремя неизвестными, которые и являются уравнениями пересекающихся плоскостей, причем линией пересечения этих плоскостей будет прямая, определяемая каноническими уравнениями прямой вида .
Для ясности приведем подробное решение примера, на практике все проще.
Пример.
Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве каноническими уравнениями прямой 
.
Решение.
Попарно приравняем дроби, составляющие канонические уравнения прямой в пространстве:
Последнее уравнение полученной системы можно исключить, так как оно верно для любых значений переменных x, y и z. Тогда 
. Уравнения системы представляют собой уравнения двух пересекающихся плоскостей, причем они пересекаются по прямой, канонические уравнения которой имеют вид .
Ответ:
Пример.
Прямая в прямоугольной системе координат в пространстве задана каноническими уравнениями вида 
. Напишите уравнения двух пересекающихся по этой прямой плоскостей.
Решение.
Приравняем попарно дроби, образующие канонические уравнения прямой:
Определитель основной матрицы полученной системы линейных уравнений равен нулю 
(при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы), а минор второго порядка 
отличен от нуля, примем его в качестве базисного минора. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений 
равен двум, причем третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, то есть, третье уравнение можно исключить из системы. Следовательно, 
. Так мы получили требуемые уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих исходную прямую линию.
Ответ:
Тебе нравиться прямая в пространстве? или у тебя есть полезные советы и дополнения? Напиши другим читателям ниже. Надеюсь, что теперь ты понял что такое прямая в пространстве, скрещивающие прямые, параллельные прямые, каноническое уравнение прямой и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Комментарии
Оставить комментарий
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Термины: Линейная алгебра и аналитическая геометрия