Ковариантность и контравариантность (математика)

Пусть ${\displaystyle }$ — некоторое конечномерное векторное пространство, и в нем задан некоторый базис . Произвольный вектор ${\displaystyle x}$ можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: ${\displaystyle {\mathrm{<br>\; i}}_{}}$. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна: если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать:i. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования ${\displaystyle S}$. По тем же соображениям введем нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — ${\displaystyle S_i^j}$. Тогда ${\displaystyle {}_{}^{}}$
(предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу ${\displaystyle }$
, можно записать: ${\displaystyle {}_{}}$
. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: ${\displaystyle }$. Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными ${\displaystyle {}^{}}$
j, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или контравариантный, индекс.

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа, называют сопряженным пространством ${\displaystyle {}^{}}$. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом ${\displaystyle g^i}$. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда, применяя правило Эйнштейна, можем записать: ${\displaystyle }$
, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел ${\displaystyle f_i}$, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что ${\displaystyle g^i(x)=x^i}$, то есть эти функционалы находят ${\displaystyle i}$-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор ${\displaystyle e_i}$). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть ${\displaystyle A_{j^{\prime }}^{i^{\prime }}=T_{j^{\prime }}^q{S}_p^{i^{\prime }}{A}_q^p}$

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).

Если в линейном пространстве введено скалярное произведение ${\displaystyle g}$ — билинейная форма (или в тензорной терминологии — дважды ковариантный тензор), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определенности соответствующей квадратичной формы ${\displaystyle g(x,x)}$) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют метрическим тензором. Компоненты этого тензора в данном базисе ${\displaystyle {}_{}}$. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как ${\displaystyle g(x,y)=g_{ij}{x}^i{y}^j}$. В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства ${\displaystyle V}$ и сопряженного пространства ${\displaystyle V^{\ast }}$, то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать ${\displaystyle x_i=g_{ij}{x}^j}$. Эта операция называется опусканием или спуском индекса. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора ${\displaystyle x^j=g^{ij}{x}_i}$. Эта операция называется поднятием или подъемом индекса. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть ${\displaystyle g_{ik}{g}^{kj}={\delta }_i^j}$. Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: <span about="#mwt69" class="mwe-math-element mwe-math-element-inline" data-mw="{" id="mwlg" j="x_iy^i=x^iy_i=g^{ij}x_iy_j" }}"""="" style="white-space: nowrap;" typeof="mw:Extension/math">${\displaystyle g(x,y)=g_{ij}{x}^i{y}^j=x_i{y}^i=x^i{y}_i=g^{ij}{x}_i{y}_j}$.

В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные не является необходимым. Однако уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для квадрата длины вектора аналогично случаю евклидового пространства ${\displaystyle x_i{x}^i}$. В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто сверткой с метрическим тензором. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции ${\displaystyle \mathbf{}}$. Его свертка с контравариантным (обычным) вектором ${\displaystyle }$ дает инвариант — дифференциал функции ${\displaystyle }$. Таким образом, если мы принимаем ${\displaystyle }$ в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свертывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы ${\displaystyle }$
требуют при свертывании с такими же векторами использования метрического тензора ${\displaystyle }$.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свертывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения ${\displaystyle d{x}^i}$, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с ${\displaystyle d{x}^i}$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы, а те, что с участием метрики — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты настолько абстрактны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

В случае криволинейных координат или искривленных пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: ${\displaystyle x^{\mathrm{\prime }i}=x^{\mathrm{\prime }i}(x^1,x^2,...,x^n)}$. Для бесконечно малых изменений старых координат ${\displaystyle d{x}^j}$ можно определить изменения новых координат через матрицу Якоби указанных функций:

Любой вектор ${\displaystyle v}$, преобразующийся так же, как и ${\displaystyle d{x}^i}$, то есть

${\displaystyle v^{\mathrm{\prime }i}=\frac{\mathrm{\partial }{x}^{\mathrm{\prime }i}}{\mathrm{\partial }{x}^j}{v}^j}$

называется контравариантным вектором.

Для некоторой скалярной функции координат ${\displaystyle }$f(x) рассмотрим ее градиент . При переходе к другим координатам имеем:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f(x)}{\mathrm{\partial }{x}^{\mathrm{\prime }i}}=\frac{\mathrm{\partial }f(x)}{\mathrm{\partial }{x}^j}\frac{\mathrm{\partial }{x}^j}{\mathrm{\partial }{x}^{\mathrm{\prime }i}}}$

Любой вектор ${\displaystyle u}$, преобразующийся так же, как градиент, то есть

${\displaystyle {A^{\prime }}_{ij}=\frac{\mathrm{\partial }{x}^q}{\mathrm{\partial }{x}^{\mathrm{\prime }i}}\frac{\mathrm{\partial }{x}^p}{\mathrm{\partial }{x}^{\mathrm{\prime }j}}{A}_{pq}}$

А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:

Обычно для указания, что компоненты тензора преобразованы к новому базису со штрихом, штрих указывают у соответствующих индексов тензора, а не у его буквенного обозначения, в таком случае вышеуказанные формулы записывают так