Тензорное исчисление, тензор

Привет, Вы узнаете о том , что такое тензорное исчисление, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое тензорное исчисление, тензор , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

тензор ное исчисление — раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля, подразделяется на тензорную алгебру, входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру, и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей. Векторный анализ и матричная алгебра могут быть рассмотрены как частные разделы тензорного исчисления (в связи с обобщением в понятии тензора понятий вектора и матрицы).

Является одним из основных инструментов дифференциальной геометрии. В этом направлении тензорное исчисление было развито Туллио Леви-Чивитой и Грегорио Риччи (ранее тензорное исчисление также называли «исчислением Риччи»). Особое развитие исчисление получило в начале XX века в связи с его широким применением в релятивистской физике.

Является основным математическим языком, с помощью которого формулируются фундаментальные законы таких наук, как механика сплошной среды, физика твердого тела, электродинамика, теория относительности и ее приложения. С точки зрения этих приложений важными направлениями в исчислении являются теория инвариантов тензоров и теория тензорных функций.

В математике тензор — это алгебраический объект , описывающий полилинейную связь между множествами алгебраических объектов, связанных с векторным пространством . Тензоры могут отображаться между различными объектами, такими как векторы , скаляры и даже другие тензоры. Существует много типов тензоров, включая скаляры и векторы (которые являются простейшими тензорами), дуальные векторы , полилинейные отображения между векторными пространствами и даже некоторые операции, такие как скалярное произведение . Тензоры определяются независимо от какого-либо базиса , хотя их часто называют по их компонентам в базисе, связанном с определенной системой координат; эти компоненты образуют массив, который можно рассматривать как многомерную матрицу .

Тензоры стали важными в физике , поскольку они обеспечивают краткую математическую основу для формулирования и решения физических задач в таких областях, как механика ( напряжение , упругость , квантовая механика , механика жидкости , момент инерции , ...), электродинамика ( электромагнитный тензор , тензор Максвелла , диэлектрическая проницаемость , магнитная восприимчивость , ...) и общая теория относительности ( тензор энергии-импульса , тензор кривизны , ...). В приложениях часто изучают ситуации, в которых в каждой точке объекта может возникать другой тензор; например, напряжение внутри объекта может меняться от одного места к другому. Это приводит к концепции тензорного поля . В некоторых областях тензорные поля настолько вездесущи, что их часто просто называют «тензорами».

Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро популяризировали тензоры в 1900 году — продолжая ранние работы Бернхарда Римана , Элвина Бруно Кристоффеля и других — как часть абсолютного дифференциального исчисления . Эта концепция позволила альтернативную формулировку внутренней дифференциальной геометрии многообразия в форме тензора кривизны Римана .

Несмотря на кажущуюся разницу, различные подходы к определению тензоров описывают одну и ту же геометрическую концепцию, используя разный язык и на разных уровнях абстракции.

Тензор может быть представлен как (потенциально многомерный) массив. Так же, как вектор в n - мерном пространстве представлен одномерным массивом с n компонентами относительно заданного базиса , любой тензор относительно базиса представлен многомерным массивом. Например, линейный оператор представлен в базисе как двумерный квадратный массив n × n . Числа в многомерном массиве известны как компоненты тензора . Они обозначаются индексами, указывающими их положение в массиве, как нижние и верхние индексы , следующие за символическим именем тензора. Например, компоненты тензора 2- го порядка T могут быть обозначены как T _ij  , где i и j — индексы, пробегающие от 1 до n , или также как T я
дж. Отображение индекса в виде надстрочного или подстрочного индекса зависит от свойств преобразования тензора, описанных ниже. Таким образом, в то время как T _ij и T я
джобе могут быть выражены как матрицы n на n и численно связаны посредством жонглирования индексами , однако разница в их законах преобразования указывает на то, что было бы неправильно складывать их вместе.

Общее число индексов ( m ), необходимое для уникальной идентификации каждого компонента, равно размерности или числу путей массива, поэтому тензор иногда называют m -мерным массивом или m -путевым массивом. Общее число индексов также называется порядком , степенью или рангом тензора, хотя термин «ранг» обычно имеет другое значение в контексте матриц и тензоров.

Так же, как компоненты вектора изменяются при изменении базиса векторного пространства, компоненты тензора также изменяются при таком преобразовании. Каждый тип тензора снабжен законом преобразования , который подробно описывает, как компоненты тензора реагируют на изменение базиса . Компоненты вектора могут реагировать на изменение базиса двумя различными способами (см. Ковариантность и контравариантность векторов ), где новые базисные векторы выражаются через старые базисные векторы как,

Здесь R ^j _i — элементы матрицы изменения базиса, а в крайнем правом выражении знак суммы был опущен: это соглашение Эйнштейна о суммировании , которое будет использоваться на протяжении всей статьи. ^{[ Примечание 1 ]} Компоненты v ⁱ вектора-столбца v преобразуются с помощью обратной матрицы R ,

где шляпа обозначает компоненты в новом базисе. Это называется контравариантным законом преобразования, поскольку компоненты вектора преобразуются путем обратного изменения базиса. Напротив, компоненты w _i ковектора (или вектора-строки), w , преобразуются с помощью самой матрицы R ,

Это называется ковариантным законом преобразования, потому что компоненты ковектора преобразуются той же матрицей , что и изменение базисной матрицы. Компоненты более общего тензора преобразуются некоторой комбинацией ковариантных и контравариантных преобразований, с одним законом преобразования для каждого индекса. Если матрица преобразования индекса является обратной матрицей базисного преобразования, то индекс называется контравариантным и условно обозначается верхним индексом (надстрочным индексом). Если матрица преобразования индекса является самим базисным преобразованием, то индекс называется ковариантным и обозначается нижним индексом (подстрочным индексом).

В качестве простого примера, матрица линейного оператора относительно базиса представляет собой прямоугольный массивТ который преобразуется при изменении базовой матрицы к . Для отдельных элементов матрицы этот закон преобразования имеет вид поэтому тензор, соответствующий матрице линейного оператора, имеет один ковариантный и один контравариантный индекс: он имеет тип (1,1).

Комбинации ковариантных и контравариантных компонентов с одинаковым индексом позволяют нам выражать геометрические инварианты. Например, тот факт, что вектор является одним и тем же объектом в разных системах координат, может быть зафиксирован следующими уравнениями, используя формулы, определенные выше:

,

гдеδджкявляется символом Кронекера , который функционирует аналогично матрице тождественности и имеет эффект переименования индексов ( в этом примере j в k ). Это показывает несколько особенностей компонентной нотации: возможность переупорядочивать термины по желанию ( коммутативность ), необходимость использования разных индексов при работе с несколькими объектами в одном выражении, возможность переименовывать индексы и способ, которым контравариантные и ковариантные тензоры объединяются таким образом, что все экземпляры матрицы преобразования и ее обратной матрицы отменяются, так что выражения типа можно сразу увидеть, что они геометрически идентичны во всех системах координат.

Аналогично, линейный оператор, рассматриваемый как геометрический объект, на самом деле не зависит от базиса: это просто линейное отображение, которое принимает вектор в качестве аргумента и производит другой вектор. Закон преобразования того, как матрица компонентов линейного оператора изменяется с базисом, согласуется с законом преобразования для контравариантного вектора, так что действие линейного оператора на контравариантный вектор представлено в координатах как матричное произведение их соответствующих координатных представлений. То есть компоненты даются . Эти компоненты преобразуются контравариантно, так как

(

Закон преобразования для тензора порядка p + q с p контравариантными индексами и q ковариантными индексами, таким образом, задается как,

Здесь индексы со штрихом обозначают компоненты в новых координатах, а индексы без штриха обозначают компоненты в старых координатах. Говорят, что такой тензор имеет порядок или тип ( p , q ) . Термины «порядок», «тип», «ранг», «валентность» и «степень» иногда используются для одного и того же понятия. Здесь термин «порядок» или «общий порядок» будет использоваться для общей размерности массива (или его обобщения в других определениях), p + q в предыдущем примере, а термин «тип» для пары, дающей число контравариантных и ковариантных индексов. Тензор типа ( p , q ) также называется ( p , q ) -тензором для краткости.

Это обсуждение мотивирует следующее формальное определение:

Определение. Тензор типа ( p , q ) — это присвоение многомерного массива

к каждому базису f = ( e ₁ , ..., e _n ) n -мерного векторного пространства, такому, что если мы применим замену базиса

тогда многомерный массив подчиняется закону преобразования

Определение тензора как многомерного массива, удовлетворяющего закону преобразования, восходит к работам Риччи.

Эквивалентное определение тензора использует представления общей линейной группы . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Существует действие общей линейной группы на множестве всех упорядоченных базисов n -мерного векторного пространства. Если является упорядоченной основой, и является обратимым матрица, то действие задается как

Пусть F — множество всех упорядоченных базисов. Тогда F — главное однородное пространство для GL( n ). Пусть W — векторное пространство и пустьρбыть представлением GL( n ) на W (то есть гомоморфизмом групп ). Тогда тензор типаρявляется эквивариантным отображением . Эквивариантность здесь означает, что

Когда ρ является тензорным представлением общей линейной группы, это дает обычное определение тензоров как многомерных массивов. Это определение часто используется для описания тензоров на многообразиях, и легко обобщается на другие группы.

Недостатком определения тензора с использованием подхода многомерного массива является то, что из определения не очевидно, что определяемый объект действительно независим от базиса, как ожидается от внутренне геометрического объекта. Хотя можно показать, что законы преобразования действительно обеспечивают независимость от базиса, иногда предпочтительнее более внутреннее определение. Один из подходов, который распространен в дифференциальной геометрии, заключается в определении тензоров относительно фиксированного (конечномерного) векторного пространства V , которое обычно принимается за определенное векторное пространство некоторого геометрического значения, например, касательное пространство к многообразию. ^{[ 8 ]} В этом подходе тензор типа ( p , q ) T определяется как полилинейное отображение ,

где V ^∗ — соответствующее дуальное пространство ковекторов, линейное по каждому из своих аргументов. Вышеизложенное предполагает, что V — векторное пространство над действительными числами ,⁠ . В более общем смысле, V можно взять из любого поля F (например, комплексных чисел ), заменив F ⁠ как область значений полилинейных отображений.

Применяя полилинейное отображение T типа ( p , q ) к базису { e _j } для V и каноническому кобазису { ε ⁱ } для V ^∗ ,

Можно получить ( p + q ) -мерный массив компонентов. Другой выбор базиса даст другие компоненты. Но поскольку T линеен по всем своим аргументам, компоненты удовлетворяют закону преобразования тензора, используемому в определении многолинейного массива. Многомерный массив компонентов T , таким образом, образует тензор согласно этому определению. Более того, такой массив может быть реализован как компоненты некоторого многолинейного отображения T. Это мотивирует рассматривать многолинейные отображения как внутренние объекты, лежащие в основе тензоров.

При рассмотрении тензора как полилинейного отображения принято отождествлять двойное дуальное V ^∗∗ векторного пространства V , т. е. пространство линейных функционалов на дуальном векторном пространстве V ^∗ , с векторным пространством V . Всегда существует естественное линейное отображение из V в его двойное дуальное, заданное вычислением линейной формы в V ^∗ по вектору в V . Это линейное отображение является изоморфизмом в конечных измерениях, и часто тогда целесообразно отождествлять V с его двойным дуальным.

Для некоторых математических приложений иногда полезен более абстрактный подход. Этого можно достичь, определив тензоры в терминах элементов тензорных произведений векторных пространств, которые в свою очередь определяются через универсальное свойство, как объяснено здесь и здесь .

Тензор типа ( p , q ) определяется в этом контексте как элемент тензорного произведения векторных пространств ,

Базис v _i для V и базис w _j для W естественным образом индуцируют базис v _i ⊗ w _j тензорного произведения V ⊗ W. Компонентами тензора T являются коэффициенты тензора относительно базиса, полученного из базиса { ei } для V и его двойственного базиса _{ ε ^j } , т.е.

Используя свойства тензорного произведения, можно показать, что эти компоненты удовлетворяют закону преобразования для тензора типа ( p , q ) . Более того, универсальное свойство тензорного произведения дает взаимно-однозначное соответствие между тензорами, определенными таким образом, и тензорами, определенными как полилинейные отображения.

Это соответствие 1 к 1 может быть достигнуто следующим образом, поскольку в конечномерном случае существует канонический изоморфизм между векторным пространством и его двойным сопряженным пространством:

Последняя строка использует универсальное свойство тензорного произведения, а именно, что между отображениями из и.

Тензорные произведения могут быть определены в большой общности – например, с использованием произвольных модулей над кольцом. В принципе, можно было бы определить «тензор» просто как элемент любого тензорного произведения. Однако в математической литературе термин « тензор » обычно резервируется для элемента тензорного произведения любого числа копий одного векторного пространства V и его двойственного, как указано выше.

Это обсуждение тензоров до сих пор предполагает конечную размерность вовлеченных пространств, где пространства тензоров, полученные каждой из этих конструкций, естественно изоморфны . ^{[ Примечание 2 ]} Конструкции пространств тензоров, основанные на тензорном произведении и полилинейных отображениях, могут быть обобщены, по существу, без изменений, на векторные расслоения или когерентные пучки . Для бесконечномерных векторных пространств неэквивалентные топологии приводят к неэквивалентным понятиям тензора, и эти различные изоморфизмы могут выполняться или не выполняться в зависимости от того, что именно подразумевается под тензором (см. топологическое тензорное произведение ). В некоторых приложениях подразумевается тензорное произведение гильбертовых пространств , свойства которого наиболее близки к конечномерному случаю. Более современная точка зрения состоит в том, что именно структура тензоров как симметричной моноидальной категории кодирует их наиболее важные свойства, а не конкретные модели этих категорий.

Во многих приложениях, особенно в дифференциальной геометрии и физике, естественно рассматривать тензор с компонентами, которые являются функциями точки в пространстве. Это было постановкой оригинальной работы Риччи. В современной математической терминологии такой объект называется тензорным полем , часто называемым просто тензором.

В этом контексте координатный базис часто выбирается для касательного векторного пространства . Закон преобразования может быть тогда выражен в терминах частных производных координатных функций,

определение преобразования координат,

Концепции более позднего тензорного анализа возникли из работы Карла Фридриха Гаусса по дифференциальной геометрии , а формулировка во многом была под влиянием теории алгебраических форм и инвариантов, разработанной в середине девятнадцатого века. Само слово «тензор» было введено в 1846 году Уильямом Роуэном Гамильтоном [для описания чего-то отличного от того, что сейчас подразумевается под тензором. [ Примечание 3 ] Гиббс ввел диадическую и полиадическую алгебру , которые также являются тензорами в современном смысле. Современное использование было введено Вольдемаром Фойгтом в 1898 году.

Тензорное исчисление было разработано около 1890 года Грегорио Риччи-Курбастро под названием «абсолютное дифференциальное исчисление» и первоначально представлено в 1892 году. Оно стало доступно многим математикам после публикации в 1900 году классического текста Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивиты «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» (Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications). В обозначениях Риччи он ссылается на «системы» с ковариантными и контравариантными компонентами, которые в современном смысле известны как тензорные поля. В 20 веке этот предмет стал известен как тензорный анализ и получил более широкое признание с введением общей теории относительности Альберта Эйнштейна около 1915 года. Общая теория относительности полностью сформулирована на языке тензоров. Эйнштейн узнал о них с большим трудом от геометра Марселя Гроссмана . Затем Леви-Чивита инициировал переписку с Эйнштейном, чтобы исправить ошибки, которые Эйнштейн допустил в использовании тензорного анализа. Переписка продолжалась с 1915 по 1917 год и характеризовалась взаимным уважением:

Я восхищаюсь элегантностью вашего метода вычислений; должно быть, приятно скакать по этим полям на коне истинной математики, в то время как нам, таким, как я, приходится с трудом пробираться пешком.

—  Альберт Эйнштейн

Тензоры и тензорные поля также оказались полезными в других областях, таких как механика сплошной среды . Некоторые известные примеры тензоров в дифференциальной геометрии — это квадратичные формы , такие как метрические тензоры и тензор кривизны Римана . Внешняя алгебра Германа Грассмана середины девятнадцатого века сама по себе является тензорной теорией, и в высшей степени геометрической, но прошло некоторое время, прежде чем она была замечена, с теорией дифференциальных форм , как естественно объединенная с тензорным исчислением. Работа Эли Картана сделала дифференциальные формы одним из основных видов тензоров, используемых в математике, а Хасслер Уитни популяризировал тензорное произведение .

Начиная примерно с 1920-х годов, было осознано, что тензоры играют основную роль в алгебраической топологии (например, в теореме Кюннета ). Соответственно, существуют типы тензоров, работающих во многих разделах абстрактной алгебры , в частности, в гомологической алгебре и теории представлений . Полилинейная алгебра может быть разработана в большей общности, чем для скаляров, происходящих из поля . Например, скаляры могут происходить из кольца . Но тогда теория менее геометрична, а вычисления более техничны и менее алгоритмичны.Тензоры обобщаются в теории категорий с помощью концепции моноидальной категории с 1960-х годов.

Элементарным примером отображения, описываемого как тензор, является скалярное произведение , которое отображает два вектора в скаляр. Более сложным примером является тензор напряжений Коши T , который принимает направленный единичный вектор v в качестве входных данных и отображает его в вектор напряжения T ^{( v )} , который является силой (на единицу площади), оказываемой материалом на отрицательной стороне плоскости, ортогональной v, против материала на положительной стороне плоскости, таким образом выражая связь между этими двумя векторами, показанную на рисунке (справа). Векторно-симметричное произведение , где два вектора отображаются в третий, строго говоря, не является тензором, поскольку он меняет свой знак при тех преобразованиях, которые изменяют ориентацию системы координат. Полностью антисимметричный символ Тем не менее, позволяет удобно обрабатывать векторное произведение в одинаково ориентированных трехмерных системах координат.

В этой таблице приведены важные примеры тензоров на векторных пространствах и тензорных полей на многообразиях. Тензоры классифицируются в соответствии с их типом ( n , m ) , где n — число контравариантных индексов, m — число ковариантных индексов, а n + m дает общий порядок тензора. Например, билинейная форма — это то же самое, что и (0, 2) -тензор; скалярное произведение — это пример (0, 2) -тензора, но не все (0, 2) -тензоры являются скалярными произведениями. В (0, M ) -записи таблицы M обозначает размерность базового векторного пространства или многообразия, поскольку для каждого измерения пространства необходим отдельный индекс для выбора этого измерения, чтобы получить максимально ковариантный антисимметричный тензор.

Повышение индекса ( n , m ) -тензора производит ( n + 1, m − 1) -тензор; это соответствует перемещению по диагонали вниз и влево по таблице. Симметрично, понижение индекса соответствует перемещению по диагонали вверх и вправо по таблице. Сокращение верхнего с нижним индексом ( n , m ) -тензора производит ( n − 1, m − 1) -тензор; это соответствует перемещению по диагонали вверх и влево по таблице.

Предполагая базис действительного векторного пространства, например, координатную систему в окружающем пространстве, тензор может быть представлен как организованный многомерный массив числовых значений относительно этого конкретного базиса. Изменение базиса преобразует значения в массиве характерным образом, что позволяет определить тензоры как объекты, придерживающиеся этого трансформационного поведения. Например, существуют инварианты тензоров, которые должны сохраняться при любом изменении базиса, тем самым делая только определенные многомерные массивы чисел тензором. Сравните это с массивом, представляющимне являясь тензором, для изменения знака при преобразованиях, изменяющих ориентацию.

Поскольку компоненты векторов и их дуальные элементы преобразуются по-разному при изменении их дуальных базисов, существует ковариантный и/или контравариантный закон преобразования , который связывает массивы, представляющие тензор относительно одного базиса, и массивы относительно другого. Числа, соответственно, векторов: n ( контравариантные индексы) и дуальных векторов: m ( ковариантные индексы) на входе и выходе тензора определяют тип (или валентность ) тензора, пару натуральных чисел ( n , m ) , которые определяют точную форму закона преобразования.Порядок тензора равен сумме этих двух чисел.

Порядок (также степень илиrank ) тензора, таким образом, является суммой порядков его аргументов плюс порядок результирующего тензора. Это также размерность массива чисел, необходимых для представления тензора относительно определенного базиса, или, что эквивалентно, количество индексов, необходимых для маркировки каждого компонента в этом массиве. Например, в фиксированном базисе стандартное линейное отображение, которое отображает вектор в вектор, представлено матрицей (двумерным массивом) и, следовательно, является тензором 2-го порядка. Простой вектор может быть представлен как одномерный массив и, следовательно, является тензором 1-го порядка. Скаляры являются простыми числами и, таким образом, являются тензорами 0-го порядка. Таким образом, тензор, представляющий скалярное произведение, берущий два вектора и дающий в результате скаляр, имеет порядок2 + 0 = 2, такой же, как тензор напряжений, берущий один вектор и возвращающий другой-символ, отображающий два вектора в один вектор, имел бы порядок 2 + 1 = 3.

Совокупность тензоров на векторном пространстве и его дуальное пространство образуют тензорную алгебру , которая допускает произведения произвольных тензоров. Простые приложения тензоров порядка 2 , которые можно представить в виде квадратной матрицы, можно решить с помощью хитрого расположения транспонированных векторов и применения правил умножения матриц, но не следует путать с этим тензорное произведение.

Существует несколько систем обозначений, которые используются для описания тензоров и выполнения вычислений с их участием.

Исчисление Риччи — это современный формализм и обозначение для индексов тензора: указание внутренних и внешних произведений , ковариантности и контравариантности , суммирования компонентов тензора, симметрии и антисимметрии , а также частных и ковариантных производных .

Соглашение Эйнштейна о суммировании обходится без записи знаков суммирования , оставляя суммирование неявным. Любой повторяющийся символ индекса суммируется: если индекс i используется дважды в данном члене тензорного выражения, это означает, что член должен быть суммирован для всех i . Несколько различных пар индексов могут быть суммированы таким образом.

Графическая нотация Пенроуза — это диаграммная нотация, которая заменяет символы тензоров на формы, а их индексы — на линии и кривые. Она не зависит от базисных элементов и не требует символов для индексов.

Абстрактная индексная нотация — это способ записи тензоров таким образом, что индексы больше не рассматриваются как числовые, а скорее как неопределенности . Эта нотация отражает выразительность индексов и независимость от базиса безиндексной нотации.

Бескомпонентная трактовка тензоров использует обозначения, которые подчеркивают, что тензоры не опираются ни на какую основу, и определяются в терминах тензорного произведения векторных пространств .

Есть несколько операций над тензорами, которые снова производят тензор. Линейная природа тензора подразумевает, что два тензора одного типа могут быть сложены вместе, и что тензоры могут быть умножены на скаляр с результатами, аналогичными масштабированию вектора . Над компонентами эти операции просто выполняются покомпонентно. Эти операции не изменяют тип тензора; но есть также операции, которые производят тензор другого типа.

Тензорное произведение берет два тензора, S и T , и производит новый тензор, S ⊗ T , порядок которого является суммой порядков исходных тензоров. При описании в виде полилинейных отображений тензорное произведение просто умножает два тензора, т.е.что снова производит карту, которая линейна по всем своим аргументам. На компонентах эффект заключается в том, чтобы умножить компоненты двух входных тензоров попарно, т.е. Если S имеет тип ( l , k ), а T имеет тип ( n , m ) , то тензорное произведение S ⊗ T имеет тип ( l + n , k + m ) .

Свертка тензора — это операция, которая редуцирует тензор типа ( n , m ) до тензора типа ( n − 1, m − 1) , частным случаем которого является след . Тем самым она уменьшает общий порядок тензора на два. Операция достигается путем суммирования компонентов, для которых один указанный контравариантный индекс совпадает с одним указанным ковариантным индексом, для получения нового компонента. Компоненты, для которых эти два индекса различны, отбрасываются. Например, (1, 1) -тензорможет быть свернута в скаляр через, где снова подразумевается суммирование. Когда (1, 1) -тензор интерпретируется как линейное отображение, эта операция известна как след .

Свертка часто используется совместно с тензорным произведением для свертки индекса из каждого тензора.

Свертку можно также понять, используя определение тензора как элемента тензорного произведения копий пространства V с пространством V ^∗, сначала разложив тензор в линейную комбинацию простых тензоров, а затем применив множитель из V ^∗ к множителю из V . Например, тензорможно записать в виде линейной комбинации

Сокращение T на первом и последнем слотах тогда является вектором

В векторном пространстве со скалярным произведением (также известным как метрика ) g термин контракция используется для удаления двух контравариантных или двух ковариантных индексов путем формирования следа с метрическим тензором или его обратным. Например, (2, 0) -тензорможет быть свернута в скаляр через(опять же, предполагая правило суммирования).

Когда векторное пространство снабжено невырожденной билинейной формой (или метрическим тензором , как его часто называют в этом контексте), можно определить операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный (нижний) индекс и наоборот. Метрический тензор является (симметричным) ( 0, 2) -тензором; таким образом, возможно свернуть верхний индекс тензора с одним из нижних индексов метрического тензора в произведении. Это создает новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий тензор, но с нижним индексом, обычно показанным в той же позиции свернутого верхнего индекса. Эта операция довольно наглядно известна как понижение индекса .

Наоборот, обратная операция может быть определена и называется повышением индекса . Это эквивалентно аналогичному сжатию на произведении с (2, 0) -тензором. Этот обратный метрический тензор имеет компоненты, которые являются матрицей, обратной компонентам метрического тензора.

Важные примеры дает механика сплошной среды . Напряжения внутри твердого тела или жидкости [ 28 ] описываются тензорным полем. Тензор напряжений и тензор деформаций являются тензорными полями второго порядка и связаны в общем линейном упругом материале тензорным полем упругости четвертого порядка . Подробно, тензор, количественно определяющий напряжение в трехмерном твердом объекте, имеет компоненты, которые можно удобно представить в виде массива 3 × 3. Три грани кубического бесконечно малого сегмента объема твердого тела подвергаются воздействию некоторой заданной силы. Векторных компонентов силы также три. Таким образом, для описания напряжения в этом кубическом бесконечно малом сегменте требуется 3 × 3, или 9 компонентов. В пределах этого твердого тела находится целая масса различных величин напряжения, каждая из которых требует 9 величин для описания. Таким образом, необходим тензор второго порядка.

Если выделить определенный элемент поверхности внутри материала, то материал с одной стороны поверхности будет прикладывать силу с другой стороны. В общем случае эта сила не будет ортогональна поверхности, но будет зависеть от ориентации поверхности линейно. Это описывается тензором типа ( 2, 0) в линейной упругости или, точнее, тензорным полем типа (2, 0) , поскольку напряжения могут меняться от точки к точке.

Распространенные области применения включают в себя:

• Электромагнитный тензор (или тензор Фарадея) в электромагнетизме
• Тензоры конечных деформаций для описания деформаций и тензор деформаций для деформаций в механике сплошной среды
• Диэлектрическая проницаемость и электрическая восприимчивость являются тензорами в анизотропных средах.
• Четырехтензорный тензор в общей теории относительности (например, тензор энергии-импульса ), используемый для представления потоков импульса
• Сферические тензорные операторы являются собственными функциями квантового оператора углового момента в сферических координатах.
• Тензоры диффузии, основа визуализации тензора диффузии , представляют скорости диффузии в биологических средах.
• Квантовая механика и квантовые вычисления используют тензорные произведения для комбинирования квантовых состояний.

Понятие тензора второго порядка часто смешивают с понятием матрицы. Тензоры более высокого порядка, однако, охватывают идеи, важные в науке и технике, как было последовательно показано в многочисленных областях по мере их развития. Это происходит, например, в области компьютерного зрения , где трифокальный тензор обобщает фундаментальную матрицу .

Область нелинейной оптики изучает изменения плотности поляризации материала под действием экстремальных электрических полей. Генерируемые волны поляризации связаны с генерирующими электрическими полями через тензор нелинейной восприимчивости. Если поляризация P не линейно пропорциональна электрическому полю E , среда называется нелинейной . В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, предполагая, что постоянные дипольные моменты отсутствуют) P задается рядом Тейлора по E, коэффициенты которого являются нелинейными восприимчивостями:

Здесьлинейная восприимчивость,дает эффект Поккельса и генерацию второй гармоники , идает эффект Керра . Это расширение показывает, как тензоры более высокого порядка естественным образом возникают в предмете.

Свойства тензоров , особенно тензорное разложение , позволили использовать их в машинном обучении для встраивания многомерных данных в искусственные нейронные сети . Это понятие тензора существенно отличается от такового в других областях математики и физики в том смысле, что тензор обычно рассматривается как числовая величина в фиксированном базисе, а размерность пространств вдоль различных осей тензора не обязательно должна быть одинаковой.

Векторные пространства тензорного произведения не обязательно должны быть одинаковыми, и иногда элементы такого более общего тензорного произведения называются «тензорами». Например, элемент пространства тензорного произведения V ⊗ W является «тензором» второго порядка в этом более общем смысле, ^{[ 29 ]} и тензор порядка d может быть также определен как элемент тензорного произведения d различных векторных пространств. ^{[ 30 ]} Тензор типа ( n , m ) в смысле, определенном ранее, также является тензором порядка n + m в этом более общем смысле. Понятие тензорного произведения может быть распространено на произвольные модули над кольцом .

Понятие тензора может быть обобщено различными способами на бесконечные измерения . Например, один из них — через тензорное произведение гильбертовых пространств . ^{[ 31 ]} Другой способ обобщения идеи тензора, распространенный в нелинейном анализе , — через определение полилинейных отображений , где вместо использования конечномерных векторных пространств и их алгебраических сопряженных пространств используются бесконечномерные банаховы пространства и их непрерывные сопряженные пространства . ^{[ 32 ]} Таким образом, тензоры естественным образом существуют на банаховых многообразиях ^{[ 33 ]} и многообразиях Фреше .

Предположим, что однородная среда заполняет R ³ , так что плотность среды описывается одним скалярным значением ρ в кг⋅м ⁻³ . Масса в кг области Ω получается путем умножения ρ на объем области Ω , или, что эквивалентно, интегрирования постоянной ρ по области:

где декартовы координаты x , y , z измеряются в м . Если единицы длины изменить на см , то числовые значения функций координат должны быть перемасштабированы с коэффициентом 100:

Численное значение плотности ρ должно затем также преобразоваться на 100−3 м ³ /см ^{3 для} компенсации, так что численное значение массы в кг по-прежнему будет даваться интегралом от. Таким образомρ(в единицах кг⋅см ⁻³ ).

В более общем случае, если декартовы координаты x , y , z подвергаются линейному преобразованию, то численное значение плотности ρ должно измениться на множитель, обратный абсолютному значению определителя преобразования координат, так что интеграл останется инвариантным, по формуле замены переменных для интегрирования. Такая величина, которая масштабируется на обратную величину абсолютного значения определителя карты перехода координат, называется скалярной плотностью . Для моделирования непостоянной плотности ρ является функцией переменных x , y , z ( скалярное поле ), и при криволинейном изменении координат она преобразуется на обратную величину якобиана изменения координат. Для получения дополнительной информации о внутреннем смысле см. Плотность на многообразии .

Плотность тензора преобразуется подобно тензору при изменении координат, за исключением того, что она дополнительно приобретает множитель абсолютного значения определителя перехода координат: ^{[ 34 ]}

Здесь w называется весом. В общем случае любой тензор, умноженный на степень этой функции или ее абсолютное значение, называется плотностью тензора или взвешенным тензором. ^{Примером} плотности тензора является плотность тока электромагнетизма .

При аффинном преобразовании координат тензор преобразуется линейной частью самого преобразования (или его обратным) по каждому индексу. Они происходят из рациональных представлений общей линейной группы. Но это не совсем самый общий закон линейного преобразования, который может иметь такой объект: тензорные плотности являются нерациональными, но все еще являются полупростыми представлениями. Еще один класс преобразований происходит из логарифмического представления общей линейной группы, приводимого, но не полупростого представления, ^{[ 37 ],} состоящего из ( x , y ) ∈ R ² с законом преобразования

Закон преобразования для тензора ведет себя как функтор в категории допустимых систем координат при общих линейных преобразованиях (или других преобразованиях в пределах некоторого класса, таких как локальные диффеоморфизмы ). Это делает тензор особым случаем геометрического объекта в техническом смысле, что он является функцией системы координат, преобразующейся функториально при изменении координат. Примерами объектов, подчиняющихся более общим видам законов преобразования, являются струи и, еще более обще, натуральные расслоения .

При переходе от одного ортонормированного базиса (называемого фреймом ) к другому путем поворота компоненты тензора преобразуются тем же самым поворотом. Это преобразование не зависит от пути, пройденного через пространство фреймов. Однако пространство фреймов не является просто связным (см. запутывание ориентации и трюк с пластиной ): в пространстве фреймов существуют непрерывные пути с одинаковыми начальными и конечными конфигурациями, которые не деформируются друг в друга. Можно присоединить дополнительный дискретный инвариант к каждому фрейму, который включает эту зависимость от пути и который оказывается (локально) имеющим значения ±1. Спинор — это объект, который преобразуется подобно тензору при поворотах в фрейме, за исключением возможного знака, который определяется значением этого дискретного инварианта.

Спиноры являются элементами спинового представления группы вращения, тогда как тензоры являются элементами ее тензорных представлений . Другие классические группы имеют тензорные представления, а также тензоры, совместимые с группой, но все некомпактные классические группы также имеют бесконечномерные унитарные представления.

Исследование, описанное в статье про тензорное исчисление, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое тензорное исчисление, тензор и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия