Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое псевдоскалярное произведение, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое псевдоскалярное произведение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Псевдоскалярным или косым произведением (англ. skew product)векторов и
(или ориентированной площадью паралеллограмма, натянутого на вектора
и
) на ориентированной евклидовой плоскости называется число
где — угол вращения (против часовой стрелки, то есть в положительном направлении) от
к
. Если хотя бы один из векторов
и
нулевой, то полагают
. В этом определении стоит обратить внимание на то, что понимается под углом
. Здесь это не просто обычный угол между векторами, который может принимать значения только от
до
. Здесь это угол, на который нужно повернуть вектор именно в определенном направлении: против часовой стрелки, и поэтому он может принимать значения от
до
. Синус такого угла вполне может быть отрицательным, и более того,
псевдоскалярное произведение будет менять знак при перемене множителей местами.
Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора. С ее помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними. Псевдоскалярное произведение определяется только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является тройное скалярное произведение. Также, в некотором смысле аналогом является векторное произведение, из-за чего его иногда тоже неформально называют векторным произведением и обозначают как или
.
Пусть — ориентированная евклидова плоскость. Число
называется псевдоскалярным произведением векторов
и
, если:
Не сложно заметить, что это определение равносильно обычному геометрическому определению. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Произведение длин векторов на синус есть площадь паралеллограмма, натянутого на эти вектора. Определитель матрицы Грама же квадрат площади этого же паралеллограма. То, как определяется знак, также понятно: ориентация пары векторов есть направление наименьшего поворота, поэтому если поворот наименьший в положительном направлении, то знак будет положительным, а если в отрицательном, то отрицательный. Аналогично, если поворот наименьший в положительном направлении, то угол будет меньше 180∘, и тогда синус положителен, а если в отрицательном, угол будет больше
и синус отрицательный.
Пусть — евклидова плоскость. Псевдоскалярное произведение можно определить и для случая, когда положительная ориентация не выбрана, однако тогда результатом произведения будет псевдоскаляр. Псевдоскаляр
называется псевдоскалярным произведением векторов
и
, если:
Эта формула работает как для псевдоскалярного произведения в ориентированной плоскости, так и для неориентированной. Во втором случае под записями и
понимаются числовые значения этих псевдоскаляров в базисе
.
Для частного случая ортонормированного положительно ориентированного базиса (если в неориентированной плоскости, то в произвольном ортонормированном базисе) формула имеет вид:
В отрицительно ориентированном базисе эта формула берется со знаком минус.
а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.
где «×» и « ⋅
» соответственно — векторное и скалярное произведение,
— единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором
, образует также правый базис; в противном случае минус.
Исследование, описанное в статье про псевдоскалярное произведение, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое псевдоскалярное произведение и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про псевдоскалярное произведение
Комментарии
Оставить комментарий
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Термины: Линейная алгебра и аналитическая геометрия