Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Лекция



Скалярным произведением векторов a, b называется число 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства ,
где φ - угол между векторами a, b.

Скалярное произведение обладает свойствами:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

скалярное произведение векторов 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства равно произведению |2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат. Используется в определении длины векторов и угла между ними.

Обычно для скалярного произведения векторов 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства и 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства используется одно из следующих обозначений.

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства или просто 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства и 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства второе обозначение применяется в квантовой механике для векторов состояния.

В простейшем случае, а именно в случае конечномерного вещественного евклидового пространства, иногда используют «геометрическое» определение скалярного произведения ненулевых векторов 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства и 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства как произведения длин этих векторов на косинус угла между ними:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю.

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения предполагает предварительное определение понятий длины вектора и угла между ними. В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Определение и свойства

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства определено скалярное произведение, если каждой паре векторов 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства из 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства поставлено в соответствие число2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства из того числового поля, над которым задано �,2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства удовлетворяющее следующим аксиомам.

  1. Для любых трех элементов2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства пространства 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства и любых чисел 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства справедливо равенство:2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
  2. Для любых 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства справедливо равенство2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства, где черта означает комплексное сопряжение.
  3. Для любого 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства имеем:2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства, причем 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства только при 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства (положительная определенность и невырожденность скалярного произведения соответственно).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным или неопределенным.

Если 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства не только при 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства, то произведение называется квазискалярным.

Из данных аксиом получаются следующие свойства:

  1. коммутативность для вещественных векторов: 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

    Дистрибутивность скалярного произведения в случае вещественного евклидового пространства

  2. дистрибутивность относительно сложения: 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства и2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства
  3. инволюционная линейность относительно второго аргумента: 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства (в случае вещественного2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства — просто линейность по второму аргументу).
  4. 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства (что совпадает с 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства для вещественного 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства).

Также есть свойства, связанные не с данными аксиомами:

  1. неассоциативность относительно умножения на вектор': 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства;
  2. ортогональность: два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда (a, b) = 0 (определения ниже).

Замечание. В квантовой физике скалярное произведение (волновых функций, которые комплекснозначны) принято определять как линейное по второму аргументу (а не по первому), соответственно, по первому аргументу оно будет инволюционо линейным. Путаницы обычно не возникает, поскольку традиционное обозначение для скалярного произведения в квантовой физике также отличается: 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства, т.е. аргументы отделяются вертикальной чертой, а не запятой, и скобки всегда угловые.

Определение и свойства в евклидовом пространстве

Вещественные векторы

В 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства-мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами — наборами 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства вещественных чисел в ортонормированном базисе. Определить скалярное произведение векторов 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства можно так:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов (1,3,−5)2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства и (4,−2,−1)2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства будет вычислено так:

(2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Можно доказать, что эта формула равносильна определению через проекции или через косинус:2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Комплексные векторы

Для комплексных векторов 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства определим аналогично:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Пример (для2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства): (2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Свойства

Помимо общих свойств скалярного произведения, для многомерных евклидовых векторов верно следующее:

  1. в отличие от обычного умножения скаляров, где если ab = ac и a ≠ 0, то b равняется c, для скалярного умножения векторов это неверно: если a · b = a · c, то есть a · (b − c) = 0, то в общем случае a и b − c лишь ортогональны; но вектор b − c в общем случае не равен 0, то есть bc;
  2. правило произведения: для дифференцируемых вектор-функций a(t) и b(t) верно соотношение (a(t), b(t))′ = a′(t) ⋅ b(t) + a(t) ⋅ b′(t);
  3. оценка угла между векторами:

    в формуле 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение больше 0, если угол между векторами острый, и меньше 0, если угол между векторами тупой;

  4. проекция вектора 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства на направление, определяемое единичным вектором 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства:

    2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства, так как 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

  5. площадь параллелограмма, натянутого на два вектора 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства и 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства, равна 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Теорема косинусов в вещественном пространстве

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения. Пусть на сторонах треугольника находятся векторы a, b и c, первые два из которых образуют угол θ, как показано в изображении справа. Тогда, следуя свойствам и определению скалярного произведения через косинус:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия[11]:

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

(термин «длина» обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Данные определения позволяют сохранить формулу: 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства и в общем случае. Корректность формулы для косинуса гарантирует неравенство Коши — Буняковского[12]:

Для любых элементов 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства векторного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

  • Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определенным скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
  • Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определенным скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
    • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определенным скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
  • Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределенным, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

История

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю.

Вариации и обобщения

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных или комплексных функций можно ввести положительно определенное скалярное произведение:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

При этом сама метрика (говоря точнее, ее представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов 2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства:

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

(2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства

где К — положительно определенная, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определенное скалярное произведение).

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свертка по повторяющимся индексам.

Применение

Скалярное произведение векторов находит широкое применение в различных областях математики, физики и инженерии. Вот несколько примеров его использования:

  1. Геометрия:

    • Угол между векторами: Скалярное произведение используется для определения угла между двумя векторами. Формула a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(θ) позволяет найти косинус угла между векторами.
  2. Физика:

    • Работа и энергия: В механике скалярное произведение применяется для определения работы приложенной силы по перемещению объекта. Работа равна скалярному произведению силы на смещение объекта.
    • Поток векторного поля: В электродинамике и гидродинамике скалярное произведение используется для определения потока векторного поля через поверхность.
  3. Инженерия:

    • Сила и момент: В механике материалов скалярное произведение вектора силы и вектора радиуса применяется для определения момента силы относительно определенной точки.
    • Сигнальная обработка: В области обработки сигналов скалярное произведение может использоваться для измерения схожести или корреляции между двумя сигналами.
  4. Графика и компьютерная графика:

    • Освещение и тени: В трехмерной графике скалярное произведение может использоваться для расчета освещения поверхности объектов, а также для создания эффектов теней.
  5. Машинное обучение:

    • Анализ признаков: В машинном обучении скалярное произведение может применяться для анализа признаков и измерения схожести между векторами признаков.
  6. Теория сигналов:

    • Кросс-корреляция: Скалярное произведение используется в кросс-корреляции сигналов для определения степени их схожести.

Эти примеры демонстрируют разнообразные области, в которых скалярное произведение векторов широко применяется для анализа и решения различных задач.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

создано: 2014-09-20
обновлено: 2024-01-12
132595



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Термины: Линейная алгебра и аналитическая геометрия