2.10. Смешанное произведение векторов и его свойства кратко

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про смешанное произведение векторов, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое смешанное произведение векторов , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Число (a × b, c) называется смешанным произведением векторов a, b, c и обозначается (a, b, c).

Если a, b, c - компланарные векторы, то (a, b, c) = 0. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, образованного векторами .

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

• Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

• Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:

В частности,

• Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
• Если три вектора линейно зависимы (т. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объему параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
• Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими ^:215.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов

a¯, b¯ и c¯:

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Двойное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение
• Псевдоскалярное произведение

Тебе нравиться смешанное произведение векторов? или у тебя есть полезные советы и дополнения? Напиши другим читателям ниже. Надеюсь, что теперь ты понял что такое смешанное произведение векторов и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия