Лекция 20 мин.
Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про аналитическая геометрия, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое аналитическая геометрия , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
В математике аналитическая геометрия , также известная как координатная геометрия или декартова геометрия , — это изучение геометрии с использованием системы координат . Это отличается от синтетической геометрии .
аналитическая геометрия используется в физике и технике , а также в авиации , ракетостроении , космической науке , космических полетах , статистике , экономике и социальных науках . Она является основой большинства современных областей геометрии, включая алгебраическую , дифференциальную , дискретную и вычислительную геометрию .
Обычно декартова система координат применяется для работы с уравнениями плоскостей, прямых линий и окружностей, часто в двух, а иногда и в трех измерениях. В геометрии изучаются евклидова плоскость (двумерное пространство) и евклидово пространство. Аналитическая геометрия, как ее преподают в школах, может быть объяснена проще: она занимается определением и представлением геометрических фигур численным способом и извлечением числовой информации из числовых определений и представлений фигур. Возможность использования алгебры действительных чисел для получения результатов о линейном континууме геометрии основана на аксиоме Кантора-Дедекинда .
Греческий математик Менехм решал задачи и доказывал теоремы, используя метод, который имел сильное сходство с использованием координат, и иногда утверждается, что он ввел аналитическую геометрию .
Аполлоний Пергский в «Определенном сечении » рассматривал проблемы, которые можно назвать аналитической геометрией одного измерения; он занимался вопросом нахождения точек на прямой, находящихся в определенном отношении к другим. В «Конических сечениях» Аполлоний далее разработал метод, настолько похожий на аналитическую геометрию, что его работы иногда считаются предвосхитившими работы Декарта примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по существу ничем не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные вдоль диаметра от точки касания, являются абсциссами, а отрезки, параллельные касательной и пересекающиеся между осью и кривой, являются ординатами. Он также разработал соотношения между абсциссами и соответствующими ординатами, которые эквивалентны риторическим уравнениям (выраженным словами) кривых. Однако, хотя Аполлоний приблизился к развитию аналитической геометрии, ему это не удалось, поскольку он не учитывал отрицательные величины, и в каждом случае система координат накладывалась на данную кривую апостериори , а не априори . То есть уравнения определялись кривыми, но кривые не определялись уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, применяемыми к конкретной геометрической ситуации.
Персидский математик XI века Омар Хайям увидел тесную связь между геометрией и алгеброй и двигался в правильном направлении, когда помог сократить разрыв между числовой и геометрической алгеброй своим геометрическим решением общих кубических уравнений , но решающий шаг был сделан позже Декартом . Омару Хайяму приписывают определение основ алгебраической геометрии , а его книга «Трактат о доказательствах задач алгебры» (1070), в которой изложены принципы аналитической геометрии, является частью корпуса персидской математики, которая в конечном итоге была передана в Европу . Благодаря своему всестороннему геометрическому подходу к алгебраическим уравнениям, Хайям может считаться предшественником Декарта в изобретении аналитической геометрии
| Часть серии статей о |
| Рене Декарт |
|---|
 |
Аналитическая геометрия была независимо изобретена Рене Декартом и Пьером де Ферма , хотя иногда Декарту приписывают единоличное авторство . Декартова геометрия , альтернативный термин, используемый для аналитической геометрии, названа в честь Декарта.
Декарт добился значительного прогресса в методах в эссе под названием «La Géométrie» (Геометрия) , одном из трех сопроводительных эссе (приложений), опубликованных в 1637 году вместе с его «Рассуждением о методе правильного направления разума и поиска истины в науках» , обычно называемым «Рассуждением о методе» . «La Geometrie» , написанная на его родном французском языке, и ее философские принципы заложили основу для математического анализа в Европе. Первоначально работа не была хорошо принята, отчасти из-за многочисленных пробелов в аргументации и сложных уравнений. Только после перевода на латынь и добавления комментариев ван Схотена в 1649 году (и дальнейшей работы после этого) шедевр Декарта получил должное признание.
Пьер де Ферма также был пионером в развитии аналитической геометрии. Хотя рукопись «Ad locos planos et solidos isagoge » (Введение в плоскостные и твердотельные геометрические места) не была опубликована при его жизни, она распространялась в Париже в 1637 году, незадолго до публикации «Рассуждения» Декарта . Написанное ясным языком и хорошо принятое, « Введение » также заложило основу для аналитической геометрии. Ключевое различие между подходами Ферма и Декарта заключается в точке зрения: Ферма всегда начинал с алгебраического уравнения, а затем описывал геометрическую кривую, которая ему удовлетворяла, тогда как Декарт начинал с геометрических кривых и выводил их уравнения как одно из нескольких свойств кривых. Вследствие такого подхода Декарту приходилось иметь дело с более сложными уравнениями и разрабатывать методы работы с полиномиальными уравнениями более высокой степени. Леонард Эйлер первым применил координатный метод в систематическом изучении пространственных кривых и поверхностей.
В аналитической геометрии плоскости присваивается система координат, в которой каждая точка имеет пару действительных числовых координат. Аналогично, евклидову пространству присваиваются координаты, где каждая точка имеет три координаты. Значение координат зависит от выбора начальной точки начала координат. Существует множество используемых систем координат, но наиболее распространенными являются следующие:
Наиболее распространенной системой координат является декартова система , где каждая точка имеет x -координату, представляющую ее горизонтальное положение, и y -координату, представляющую ее вертикальное положение. Обычно они записываются в виде упорядоченной пары ( x , y ). Эта система также может использоваться для трехмерной геометрии, где каждая точка в евклидовом пространстве представлена упорядоченной тройкой координат ( x , y , z ).
проходящие через точки
.В полярных координатах каждая точка плоскости представляется расстоянием r от начала координат и углом θ , причем θ обычно измеряется против часовой стрелки от положительной оси x . Используя это обозначение, точки обычно записываются в виде упорядоченной пары ( r , θ ). Можно преобразовывать и переводить между двумерными декартовыми и полярными координатами, используя следующие формулы: [ 17 ] 
Эта система может быть обобщена на трехмерное пространство с помощью цилиндрических или сферических координат. [ 17 ]
В цилиндрических координатах каждая точка пространства представляется своей высотой z , радиусом r относительно оси z и углом θ, который ее проекция на плоскость xy образует с горизонтальной осью.
В сферических координатах каждая точка в пространстве представляется расстоянием ρ от начала координат, углом θ, который ее проекция на плоскость xy образует с горизонтальной осью, и углом φ , который она образует с осью z . В физике названия углов часто меняются местами.
В аналитической геометрии любое уравнение , включающее координаты, определяет подмножество плоскости, а именно множество решений уравнения, или геометрическое место точек . Например, уравнение y = x соответствует множеству всех точек на плоскости, у которых координаты x и y равны. Эти точки образуют прямую , и говорят, что y = x — это уравнение этой прямой. В общем случае линейные уравнения, включающие x и y, определяют прямые, квадратные уравнения — конические сечения , а более сложные уравнения описывают более сложные фигуры.
Обычно кривой на плоскости соответствует одно уравнение . Однако это не всегда так: тривиальное уравнение x = x определяет всю плоскость, а уравнение x² + y² = 0 определяет только одну точку (0, 0). В трех измерениях одно уравнение обычно дает поверхность , а кривая должна быть задана как пересечение двух поверхностей (см. ниже) или как система параметрических уравнений. Уравнение x² + y² = r² — это уравнение для любой окружности с центром в начале координат (0, 0 ) и радиусом r.
Прямые в декартовой плоскости , или, в более общем случае, в аффинных координатах , могут быть описаны алгебраически линейными уравнениями. В двумерном случае уравнение для невертикальных прямых часто задается в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом и свободным членом :
где:
Подобно тому, как линии в двумерном пространстве описываются с помощью уравнения в форме «точка-наклон», плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с использованием точки на плоскости и ортогонального ей вектора (нормального вектора ), указывающего на ее «наклон».
В частности, пусть. 
пусть — вектор положения некоторой точки
и 
Пусть — ненулевой вектор. Плоскость, определяемая этой точкой и вектором, состоит из этих точек.
с вектором положения 
, таким образом, что вектор, взятый из
перпендикулярно
Напоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что искомую плоскость можно описать как множество всех точектаким образом, что
(Здесь точка обозначает скалярное произведение , а не умножение на скаляр.) В развернутом виде это выглядит так: ,
Это точечно-нормальная форма уравнения плоскости. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Это просто линейное уравнение :
Напротив, легко показать, что если a , b , c и d — константы, и a , b и c не равны нулю, то график уравнения
— это плоскость, имеющая векторкак обычно. Это известное уравнение для плоскости называется общей формой уравнения плоскости.
В трех измерениях линии нельзя описать одним линейным уравнением, поэтому их часто описывают параметрическими уравнениями :
где:
В декартовой системе координат график квадратного уравнения с двумя переменными всегда представляет собой коническое сечение – хотя оно может быть вырожденным, и все конические сечения возникают таким образом. Уравнение будет иметь вид:
Поскольку масштабирование всех шести констант приводит к одному и тому же множеству нулей, конические сечения можно рассматривать как точки в пятимерном проективном пространстве. 
Конические сечения, описываемые этим уравнением, можно классифицировать с помощью дискриминанта
Если коническое сечение невырождено, то:
Уравнение представляет собой эллипс ;
Уравнение представляет собой окружность , которая является частным случаем эллипса;
Уравнение представляет собой параболу ;
Уравнение представляет собой гиперболу ;
Квадратичные поверхности включают эллипсоиды (в том числе сферу ), параболоиды , гиперболоиды , цилиндры , конусы и плоскости .
В аналитической геометрии геометрические понятия, такие как расстояние и мера угла , определяются с помощью формул . Эти определения разработаны таким образом, чтобы быть согласованными с лежащей в основе евклидовой геометрией . Например, используя декартовы координаты на плоскости, расстояние между двумя точками ( x₁ , y₁ ) и ( x₂ , y₂ ) определяется формулой 
что можно рассматривать как вариант теоремы Пифагора . Аналогично, угол, который линия образует с горизонталью, можно определить по формуле
где m — наклон прямой.
В трех измерениях расстояние определяется обобщением теоремы Пифагора:
в то время как угол между двумя векторами определяется скалярным произведением . Скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется 
где θ — угол между точками A и B.
Преобразования применяются к исходной функции, чтобы превратить ее в новую функцию со схожими характеристиками.
График
Преобразуется стандартными преобразованиями следующим образом:
к 
перемещает график вправо
единиц.
к
перемещает график ввер 
единиц.
растягивает график по горизонтали в раз
(подумайте как при расширении)к
Растягивает график по вертикали.к
и изменяющийсяк
поворачивает график на угол
.Существуют и другие стандартные преобразования, которые обычно не изучаются в элементарной аналитической геометрии, поскольку эти преобразования изменяют форму объектов способами, которые обычно не рассматриваются. Искажение — пример такого преобразования. Для получения дополнительной информации обратитесь к статье в Википедии об аффинных преобразованиях .
Например, родительская функция
имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты, занимает первый и третий квадранты, а все его преобразованные формы имеют одну горизонтальную и одну вертикальную асимптоту и занимают либо 1-й и 3-й, либо 2-й и 4-й квадранты. В общем случае, если
тогда его можно преобразовать 
В новой преобразованной функции, 
— это множитель, который вертикально растягивает функцию, если он больше 1, или вертикально сжимает функцию, если он меньше 1, а также для отрицательного значения.значения, функция отражается вось.Значение сжимает график функции по горизонтали, если оно больше 1, и растягивает его по горизонтали, если оно меньше 1, и так далее.отражает функцию вОсь, когда она отрицательная.и значения вводят переводы,вертикальный игоризонтальный. ПоложительныйиЗначения означают, что функция смещена к положительному концу своей оси, а отрицательные значения означают смещение к отрицательному концу.
Преобразования можно применять к любому геометрическому уравнению, независимо от того, представляет ли это уравнение функцию или нет. Преобразования можно рассматривать как отдельные операции или в комбинациях.
Предположим, чтоявляется отношением в
самолет. Например.
Это соотношение, описывающее единичную окружность.
Для двух геометрических объектов P и Q, представленных соотношениями
и
Пересечение — это совокупность всех точек.
которые находятся в обоих отношениях.
Например,Возможно, это круг радиусом 1 с центром в центре.
: 
и
Возможно, это круг радиусом 1 с центром в центре. 
Пересечение этих двух окружностей — это совокупность точек, при которых оба уравнения верны. Верно ли это утверждение?Как сделать так, чтобы оба уравнения были верны? Используядляуравнение длястановится
или
что верно, поэтомунаходится в отношенииС другой стороны, по-прежнему используядляуравнение длястановится
или
Это неверно. не вПоэтому оно не находится на пересечении.
ПересечениеиЕго можно найти, решив систему уравнений:
Традиционные методы поиска пересечений включают подстановку и исключение.
Подстановка: Решите первое уравнение относительнос точки зренияа затем подставьте выражение для во второе уравнение:
Затем мы подставляем это значение вместо
подставьте в другое уравнение и решите его.:
Далее мы присваиваем этому значениюв любом из исходных уравнений и решите относительно:
Таким образом, точка пересечения у нас две:
Метод исключения : Прибавьте (или вычтите) кратное одного уравнения к другому уравнению так, чтобы одна из переменных была исключена. В нашем примере, если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим 
. в первом уравнении вычитается изво втором уравнении, не оставляя ничеготермин. ПеременнаяИсключение сделано. Затем мы решаем оставшееся уравнение относительно, аналогично методу замещения:
Затем мы присваиваем этому значениюв любом из исходных уравнений и решите относительно:
Таким образом, точка пересечения у нас две:
В случае конических сечений в точке пересечения может находиться до 4 точек.
Одним из типов пересечений, широко изучаемых в настоящее время, является пересечение геометрического объекта с...икоординатные оси.
Пересечение геометрического объекта иОсь называется— точка пересечения объекта с осью Y. Пересечение геометрического объекта и оси Y.Ось называется-пересечение объекта.
Для линиипараметруказывает точку пересечения линии сось. В зависимости от контекста, либоили точка
называется-перехват.
В геометрии ось — это перпендикулярная линия к любой линии, объекту или поверхности.
Также для этого может использоваться общепринятое в языке обозначение: нормальная (перпендикулярная) линия, или, в инженерной практике, осевая линия .
В геометрии нормаль — это объект , например, прямая или вектор, перпендикулярный данному объекту. Например, в двумерном случае нормаль к кривой в данной точке — это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.
В трехмерном случае нормаль к поверхности в точке P — это вектор , перпендикулярный касательной плоскости к этой поверхности в точке P. Слово «нормаль» также используется как прилагательное: линия, нормальная к плоскости , нормальная компонента силы , вектор нормали и т . д. Понятие нормальности обобщается на ортогональность .
Касательная — это линейная аппроксимация сферической или иной изогнутой или закрученной прямой функции.
В геометрии касательная (или просто касательная ) к плоской кривой в данной точке — это прямая , которая «точно касается» кривой в этой точке. Неформально, это прямая, проходящая через пару бесконечно близких точек на кривой. Более точно, прямая называется касательной к кривой y = f ( x ) в точке x = c на кривой, если прямая проходит через точку ( c , f ( c )) на кривой и имеет наклон f ' ( c ) , где f ' — производная функции f . Аналогичное определение применяется к пространственным кривым и кривым в n- мерном евклидовом пространстве .
Проходя через точку пересечения касательной и кривой, называемую точкой касания , касательная «направлена в том же направлении», что и кривая, и, следовательно, является наилучшим прямым приближением к кривой в этой точке.
Аналогично, касательная плоскость к поверхности в данной точке — это плоскость , которая «точно касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной является одним из наиболее фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии и получило широкое обобщение; см. Касательное пространство .
А как ты думаешь, при улучшении аналитическая геометрия, будет лучше нам? Надеюсь, что теперь ты понял что такое аналитическая геометрия и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Войдите, и пройденные вами лекции будут отмечены в этом списке.
Выбрать курс
Комментарии