Привет, Вы узнаете о том , что такое плоское напряженное состояние, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое плоское напряженное состояние, напряженное состояние , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Сопротивление материалов.

Наиболее часто в задачах сопротивления материалов встречается плоское напряженное состояние : при кручении, изгибе, изгибе с кручением и т.д. Остановимся на нем подробнее.

9.3.1. Вывод формул для напряжений на наклонных площадках

Выделим из тела параллелепипед (Рис.9.8). Под действием сил, приложенных к его граням, параллелепипед находится в равновесии. Длины ребер параллелепипеда считаем бесконечно малыми и равными .

Рис.9.8

Рассмотрим наклонные площадки, перпендикулярные незагруженным граням параллелепипеда. Разрежем элементарный параллелепипед, изображенный на рис.9.8 , наклонным сечением, перпендикулярным плоскости , выделив из него элементарную треугольную призму (Рис.9.9а).

Рис.9.9

Наклон площадки с искомыми напряжениями будем определять углом , который образует внешняя нормаль к этой площадке с осью. Из рис.9.9 следует, что

(9.6)

Система сил, приведенная на рис.9.9, является плоской произвольной системой. Равновесие такой системы сил описывается тремя независимыми уравнениями. Составим эти уравнения.

. (9.7)

Откуда:

. (9.8)

Выражение (9.8) представляет собой закон парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие на двух любых взаимно перпендикулярных площадках, равны по величине и противоположны по знаку.

При плоском напряженном состоянии возможны лишь два варианта действия касательных напряжений (Рис.9.10).

Рис.9.10

Для определения напряжений на наклонной площадке спроектируем силы, действующие на призму (Рис.9.9) на оси и. Получим:

; (9.9)

. (9.10)

Подставляя в (9.9)-(9.10) вместо ииз выражения (9.6), сократим все слагаемые на. Далее, учитывая, что согласно (9.8), аи, находим:

; (9.11)

. (9.12)

Представим формулу (9.9) в несколько ином виде, используя известные из тригонометрии равенства:

. (9.13)

Подставляя (9.13) в (9.11), получаем:

. (9.14)

Выясним связь между нормальными напряжениями и, действующими на двух взаимно перпендикулярных площадках (Рис.9.11).

Рис.9.11

Напряжение определяется по формуле (9.14). Напряжениеполучим, если в эту формулу подставим:

или

. (9.15)

Складывая (9.14) и (9.15), приходим к выводу:

. (9.16)

Выражение (9.16) получило названия условия инвариантности суммы нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам: в данной точке алгебраическая сумма нормальных напряжений, действующих по любым двум взаимно перпендикулярным площадкам, есть величина постоянная. Это условие используют для проверки правильности решения задач при исследовании напряженного состояния в точке.

Виды напряженного состояния

9.3.2. Вычисление величин главных напряжений и определение положения главных площадок

Исследуем выражение для нормальных напряжений (9.14) на экстремум. Для этого возьмем частную производную от напряжения пои приравняем к нулю:

, (9.17)

где угол, который составляет нормаль к рассматриваемой площадке с положительным направлением осии при котором нормальное напряжениедостигает наибольшего значения для данной точки .

Выражение (9.17) представляет собой величину касательного напряжения в главной площадке . Таким образом, касательное напряжение в рассматриваемой площадке () равно нулю. Отсюда делаем вывод: площадка, нормаль к которой составляет уголс положительным направлением оси, является главной площадкой.

Приравнивая выражение в скобках формулы (9.17) нулю найдем тангенс двойного угла, определяющего наклон главных площадок:

. (9.18)

Выражение (9.18) дает два взаимно-перпендикулярных направления с углами наклона и, по которым действуют главные напряжения (Рис.9.12).

Для определения величин главных напряжений подставим формулу (9.14) . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Выносяза скобку, получим:

. (а)

Рис.9.12

Из тригонометрии известно:

. (б)

Знак поставлен потому, что косинусы угловиимеют противоположные знаки. Подставляя (9.18) в (б) и (а), получим:

.

В этой формуле знак “плюс”соответствует максимальному главному напряжению, а“минус”минимальному. Таким образом, окончательно имеем:

.(9.19)

Из приведенного вывода следует, что при любых исходных напряжениях в данной точке существует параллелепипед, на гранях которого действуют только нормальные напряжения.

Вернемся к формуле (9.18). Она дает два главных направления, но не указывает, в каком из них действует , а в каком. Для решения этого вопроса надо было бы исследовать знак второй производнойприи. Однако, можно решить эту задачу, используя выражения, аналогичные тем, которые применялись для определения направления главных осей инерции в разделе“Геометрические характеристики плоских фигур”:

. (9.20)

Здесь: угол, который следует отложить от положительного направления осидо нормали к площадки, в которой действует максимальное напряжение;угол, который следует отложить от положительного направления осидо нормали к площадки, в которой действует минимальное напряжение. Положительный угол следует откладывать против хода часовой стрелки, отрицательный – по ходу часовой стрелки.

Для контроля правильности определения положения главных площадок можно использовать еще один способ, приведенный в . Исходя из того, что с поворотом площадки в направлении вектора касательных напряжений нормальное напряжение на площадке алгебраически возрастает, в работе формулируется следующее правило:направление всегда проходит через две четверти осей координат, в которых стрелки касательных напряженийисходятся.

3.3. Экстремальные касательные напряжения

Примем в качестве исходных площадки, в которых действуют главные напряжения (Рис.9.13).

Рис.9.13

Отсчитывая угол от направления, напишем выражения дляи, используя формулы (9.12), (9.14), полагая в них,, а:

; (9.21)

. (9.22)

Из формулы (9.22) следует, что при синус двойного угла, касательные напряжения имеют экстремальные значения:

. (9.23)

Экстремальные касательные напряжения в точке равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под углом 450(Рис.9.13,а).

Подставляя (9.19) в (9.23), получим выражение через исходные напряженияи:

. (9.24)

В частном случае, когда на границах призмы действуют два главных напряжения (Рис.9.13б), экстремальные касательные напряжения (9.23) численно равны главным напряжениям:

,

а нормальные напряжения на площадках с экстремальными касательными напряжениями в этом случае равны нулю. Такой случай напряженного состояния носит название чистого сдвига, а площадки, на которых действуют одни касательные напряжения называютсяплощадками чистого сдвига.

9.3.4. Примеры исследования плоского напряженного состояния в точке

Пример 9.2.Нормальные напряжения на площадкахМПа,МПа, касательные напряженияМПа. Определить нормальные,и касательные,напряжения в площадках, нормаль к которым наклонена по отношению к осипод углами соответственнои, если=,=(Рис.9.14).

Рис.9.14

Решение:

Для определения нормального напряжения в площадке воспользуемся выражением (9.14):

МПа

Нормальное напряжение вна площадке найдем с помощью выражения (9.15):

МПа.

Для проверки используем условие инвариантности (9.16):

;.

Касательные напряжения определим из выражения (9.12):

МПа.

Касательные напряжения, действующие на площадке :

МПа.

В соответствии с законом парности касательных напряжений (9.8):

.

Следовательно, задача решена верно. Направление нормальных и касательных напряжений, действующих на площадках ипокажем на рис 9.15.

Рис.9.15

Пример 9.3. Определить величины главных напряжений ии направления главных напряжений (Рис.9.16,а). Изобразить главные площадки и главные напряжения на рисунке.

Рис.9.16

Решение:

1. Определяем максимальные нормальные напряжения из выражения (9.19):

=

МПа.

МПа.

Для проверки используем условие инвариантности (9.16):

;.

Направление главных напряжений найдем, используя выражения (9.20):

;;

;.

Для проверки правильности решения сложим абсолютные величины углов и. Так как главные оси взаимно перпендикулярны, в сумме должен получиться угол 900:

.

Решение выполнено верно. Отложим найденные углы на рисунке (Рис.9.16,б) и проставим значения главных напряжений.

Пример 9.4.Определить нормальные, касательные и главные напряжения в точке А, изображенного на рисунке поперечного сечения изгибаемой балки, если изгибающий момент в сечении равенкНм, поперечная сила –кН. Найти положение главных площадок, изобразить их на рисунке, показать направления главных напряжений.

Рис.9.17.

Решение:

1. Вычисляем момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной линии сечения , приведенного на рис 9.17а и определяем величину нормальных напряжений и касательных напряжений в точке А сечения:

см3;МПа;

МПа.

2. Вырезаем вокруг точки А элементарную площадку и прикладывем к ее граням нормальные и касательные напряжения, действующие в точке А (Рис.9.17б).

3. Определяем главные напряжения в точке А:

МПа;

МПа.

Для проверки используем условие инвариантности (9.16):

;.

Направление главных напряжений найдем, используя выражения (9.20):

;;

;.

Для проверки правильности решения сложим абсолютные величины углов и. Так как главные оси взаимно перпендикулярны, в сумме должен получиться угол 900:

.

Решение выполнено верно. Отложим найденные углы на роисунке (Рис.9.18) и проставим значения главных напряжений.

Рис.9.18

применение

Анализ данных, представленных в статье про плоское напряженное состояние, подтверждает эффективность применения современных технологий для обеспечения инновационного развития и улучшения качества жизни в различных сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое плоское напряженное состояние, напряженное состояние и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Сопротивление материалов