Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое плоское напряженное состояние виды напряженного состояния, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое плоское напряженное состояние виды напряженного состояния , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Основы теории напряженно-деформированного состояния.

Наиболее часто в задачах сопротивления материалов встречается плоское напряженное состояние: при кручении, изгибе, изгибе с кручением и т.д. Остановимся на нем подробнее.

9.3.1. Вывод формул для напряжений на наклонных площадках

Выделим из тела параллелепипед (Рис.9.8). Под действием сил, приложенных к его граням, параллелепипед находится в равновесии. Длины ребер параллелепипеда считаем бесконечно малыми и равными 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.8

Рассмотрим наклонные площадки, перпендикулярные незагруженным граням параллелепипеда. Разрежем элементарный параллелепипед, изображенный на рис.9.8 , наклонным сечением, перпендикулярным плоскости 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, выделив из него элементарную треугольную призму (Рис.9.9а).

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.9

Наклон площадки с искомыми напряжениями будем определять углом 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, который образует внешняя нормаль к этой площадке с осью3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Из рис.9.9 следует, что

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния(9.6)

Система сил, приведенная на рис.9.9, является плоской произвольной системой. Равновесие такой системы сил описывается тремя независимыми уравнениями. Составим эти уравнения.

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.7)

Откуда:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.8)

Выражение (9.8) представляет собой закон парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие на двух любых взаимно перпендикулярных площадках, равны по величине и противоположны по знаку.

При плоском напряженном состоянии возможны лишь два варианта действия касательных напряжений (Рис.9.10).

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.10

Для определения напряжений на наклонной площадке спроектируем силы, действующие на призму (Рис.9.9) на оси 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Получим:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния; (9.9)

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.10)

Подставляя в (9.9)-(9.10) вместо 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияиз выражения (9.6), сократим все слагаемые на3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Далее, учитывая, что согласно (9.8)3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, а3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, находим:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния; (9.11)

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.12)

Представим формулу (9.9) в несколько ином виде, используя известные из тригонометрии равенства:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.13)

Подставляя (9.13) в (9.11), получаем:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.14)

Выясним связь между нормальными напряжениями 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, действующими на двух взаимно перпендикулярных площадках (Рис.9.11).

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.11

Напряжение 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияопределяется по формуле (9.14). Напряжение3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияполучим, если в эту формулу подставим3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

или

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.15)

Складывая (9.14) и (9.15), приходим к выводу:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.16)

Выражение (9.16) получило названия условия инвариантности суммы нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам: в данной точке алгебраическая сумма нормальных напряжений, действующих по любым двум взаимно перпендикулярным площадкам, есть величина постоянная. Это условие используют для проверки правильности решения задач при исследовании напряженного состояния в точке.

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Виды напряженного состояния

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

9.3.2. Вычисление величин главных напряжений и определение положения главных площадок

Исследуем выражение для нормальных напряжений (9.14) на экстремум. Для этого возьмем частную производную от напряжения 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияпо3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи приравняем к нулю:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, (9.17)

где 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияугол, который составляет нормаль к рассматриваемой площадке с положительным направлением оси3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи при котором нормальное напряжение3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниядостигает наибольшего значения для данной точки .

Выражение (9.17) представляет собой величину касательного напряжения в главной площадке 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Таким образом, касательное напряжение в рассматриваемой площадке (3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния) равно нулю. Отсюда делаем вывод: площадка, нормаль к которой составляет угол3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияс положительным направлением оси3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, является главной площадкой.

Приравнивая выражение в скобках формулы (9.17) нулю найдем тангенс двойного угла, определяющего наклон главных площадок:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . (9.18)

Выражение (9.18) дает два взаимно-перпендикулярных направления с углами наклона 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, по которым действуют главные напряжения (Рис.9.12).

Для определения величин главных напряжений подставим формулу (9.14) 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Вынося3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияза скобку, получим:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (а)

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.12

Из тригонометрии известно:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (б)

Знак 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияпоставлен потому, что косинусы углов3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияимеют противоположные знаки. Подставляя (9.18) в (б) и (а), получим:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

В этой формуле знак “плюс”соответствует максимальному главному напряжению3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, а“минус”минимальному3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Таким образом, окончательно имеем:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.(9.19)

Из приведенного вывода следует, что при любых исходных напряжениях 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияв данной точке существует параллелепипед, на гранях которого действуют только нормальные напряжения.

Вернемся к формуле (9.18). Она дает два главных направления, но не указывает, в каком из них действует 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, а в каком3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Для решения этого вопроса надо было бы исследовать знак второй производной3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияпри3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Однако, можно решить эту задачу, используя выражения, аналогичные тем, которые применялись для определения направления главных осей инерции в разделе“Геометрические характеристики плоских фигур”:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.20)

Здесь: 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияугол, который следует отложить от положительного направления оси3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниядо нормали к площадки, в которой действует максимальное напряжение3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияугол, который следует отложить от положительного направления оси3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниядо нормали к площадки, в которой действует минимальное напряжение3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Положительный угол следует откладывать против хода часовой стрелки, отрицательный – по ходу часовой стрелки.

Для контроля правильности определения положения главных площадок можно использовать еще один способ, приведенный в [2]. Исходя из того, что с поворотом площадки в направлении вектора касательных напряжений нормальное напряжение на площадке алгебраически возрастает, в работе[2]формулируется следующее правило:направление 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниявсегда проходит через две четверти осей координат, в которых стрелки касательных напряжений3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниясходятся.

3.3. Экстремальные касательные напряжения

Примем в качестве исходных площадки, в которых действуют главные напряжения (Рис.9.13).

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.13

Отсчитывая угол 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияот направления3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, напишем выражения для3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, используя формулы (9.12), (9.14), полагая в них3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния,3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, а3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния; (9.21)

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.22)

Из формулы (9.22) следует, что при 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниясинус двойного угла3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, касательные напряжения имеют экстремальные значения:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.23)

Экстремальные касательные напряжения в точке равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под углом 450(Рис.9.13,а).

Подставляя (9.19) в (9.23), получим выражение 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниячерез исходные напряжения3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. (9.24)

В частном случае, когда на границах призмы действуют два главных напряжения 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния(Рис.9.13б), экстремальные касательные напряжения (9.23) численно равны главным напряжениям:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния,

а нормальные напряжения на площадках с экстремальными касательными напряжениями в этом случае равны нулю. Такой случай напряженного состояния носит название чистого сдвига, а площадки, на которых действуют одни касательные напряжения называютсяплощадками чистого сдвига.

9.3.4. Примеры исследования плоского напряженного состояния в точке

Пример 9.2.Нормальные напряжения на площадках3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа,3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа, касательные напряжения3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа. Определить нормальные3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния,3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи касательные3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния,3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниянапряжения в площадках, нормаль к которым наклонена по отношению к оси3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияпод углами соответственно3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, если3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния=3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния,3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния=3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния(Рис.9.14).

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.14

Решение:

Для определения нормального напряжения в площадке 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниявоспользуемся выражением (9.14):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа

Нормальное напряжение вна площадке 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниянайдем с помощью выражения (9.15):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа.

Для проверки используем условие инвариантности (9.16):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

Касательные напряжения 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияопределим из выражения (9.12):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа.

Касательные напряжения, действующие на площадке 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа.

В соответствии с законом парности касательных напряжений (9.8):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

Следовательно, задача решена верно. Направление нормальных и касательных напряжений, действующих на площадках 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияпокажем на рис 9.15.

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.15

Пример 9.3. Определить величины главных напряжений 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи направления главных напряжений (Рис.9.16,а). Изобразить главные площадки и главные напряжения на рисунке.

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.16

Решение:

1. Определяем максимальные нормальные напряжения из выражения (9.19):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния=

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа.

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа.

Для проверки используем условие инвариантности (9.16):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

Направление главных напряжений найдем, используя выражения (9.20):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

Для проверки правильности решения сложим абсолютные величины углов 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Так как главные оси взаимно перпендикулярны, в сумме должен получиться угол 900:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

Решение выполнено верно. Отложим найденные углы на рисунке (Рис.9.16,б) и проставим значения главных напряжений.

Пример 9.4.Определить нормальные, касательные и главные напряжения в точке А, изображенного на рисунке поперечного сечения изгибаемой балки, если изгибающий момент в сечении равен3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниякНм, поперечная сила –3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниякН. Найти положение главных площадок, изобразить их на рисунке, показать направления главных напряжений.

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.17.

Решение:

1. Вычисляем момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной линии сечения 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния, приведенного на рис 9.17а и определяем величину нормальных напряжений и касательных напряжений в точке А сечения:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояниясм3;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа;

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа.

2. Вырезаем вокруг точки А элементарную площадку и прикладывем к ее граням нормальные и касательные напряжения, действующие в точке А (Рис.9.17б).

3. Определяем главные напряжения в точке А:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа;

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияМПа.

Для проверки используем условие инвариантности (9.16):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

Направление главных напряжений найдем, используя выражения (9.20):

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния;3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

Для проверки правильности решения сложим абсолютные величины углов 3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состоянияи3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния. Так как главные оси взаимно перпендикулярны, в сумме должен получиться угол 900:

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния.

Решение выполнено верно. Отложим найденные углы на роисунке (Рис.9.18) и проставим значения главных напряжений.

3.Плоское напряженное состояние . Виды напряженного состояния

Рис.9.18

Анализ данных, представленных в статье про плоское напряженное состояние виды напряженного состояния, подтверждает эффективность применения современных технологий для обеспечения инновационного развития и улучшения качества жизни в различных сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое плоское напряженное состояние виды напряженного состояния и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Основы теории напряженно-деформированного состояния

создано: 2019-11-22
обновлено: 2021-03-13
132265



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Поделиться:

Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Основы теории напряженно-деформированного состояния

Термины: Основы теории напряженно-деформированного состояния