8.5. Коэффициенты взаимной индукции системы контуров с током - 8.

Это окончание невероятной информации про электромагнитная индукция.

...

15px;">

(8.29)

Левая часть уравнения (8.29) выражает работу, совершаемую источником тока за время . В правой части первое слагаемое есть величина работы, расходуемой на выделение джоулева тепла в проводнике. Ясно, что перед нами — уравнение закона сохранения энергии в рассматриваемой цепи. Каков же смысл второго слагаемого? Оно связано с катушкой, о чем свидетельствует множитель L, и представляет собой работу, затраченную на преодоление противодействия ЭДС самоиндукции. Куда же девается эта работа? В процессе замыкания цепи в катушкой создается магнитное поле. Значит, указанная работа аккумулируется именно в катушке как запасенная в ней энергия ее магнитного поля. Ток возрастает от нуля до некого установившегося значения I. Поэтому полная энергия поля катушки равна

Поскольку

этот же результат можно записать в формах

Эти формулы очень похожи на выражения для энергии конденсатора как функции его заряда или разности потенциалов на обкладках. Мы помним, что их можно привести к виду, где явно выделен объем конденсатора. Это позволило нам связать плотность энергии электрического поля с его напряженностью. Выполним аналогичную программу и для магнитного поля, используя в качестве «катушки» достаточно длинный соленоид.

Индуктивность соленоида дается выражением (8.21)

Магнитная индукция в соленоиде определяется по формуле (7.18)

Выразим плотность числа витков в соленоиде через магнитное поле в нем

и подставим в выражение для индуктивности соленоида. Получим

Наконец, подставим это выражение в формулу (17.28) для энергии поля в катушке

Мы достигли своей цели: параметры соленоида, с которого мы начали, не присутствуют в этой формуле. Мы все выразили через магнитную индукцию поля, и энергия в катушке оказалась пропорциональной ее объему. Отсюда следует выражение для плотности энергии магнитного поля (неважно, чем и как созданного)

Вспоминая связь напряженности магнитного поля с магнитной индукцией

находим эквивалентные представления для плотности энергии магнитного поля:

Для магнитного поля в вакууме следует положить во всех этих формулах . Нетрудно заметить сходство (8.34) с аналогичными формулами (3.35), (3.36) для электрического поля (рис. 8.36, рис. 8.37).

Рис. 8.36. Мощное магнитное поле Солнца производит выбросы плазмы

Рис. 8.37. Мощное магнитное поле нейтронной звезды

Пример. Сравнить энергии, содержащиеся в объеме 1 л, если он пронизан: 1) однородным электрическим полем с напряженностью Е = 100 кВ/м; 2) однородным магнитным полем с индукцией В = 1 Тл.

Решение. Энергия электрического поля равна

Энергия магнитного поля равна

Оба указанных поля считаются достаточно сильными, но могут быть созданы без особых проблем. Задача демонстрирует, что практически выгоднее накапливать энергию в магнитном поле: в данном примере отношение энергий равно

8.5. Коэффициенты взаимной индукции системы контуров с током

Рассмотрим систему проводов, по которым текут токи . Магнитная проницаемость среды предполагается произвольной функцией координат, но ее зависимостью от магнитного поля Hпренебрегается.

Поток вектора магнитной индукции через конкретный виток есть сумма потоков от каждого витка, пропорциональных току в этих витках

(8.35)

Коэффициент , при условии , называются коэффициентами взаимной индукции. Важным свойством этих коэффициентов является их симметрия:

Онизависят только от взаимного расположения контуров. В Приложении доказана формула для энергии магнитного поля

Подставляя сюда выражение (8.35), получим

(8.36)

Отсюда сразу следует равенство коэффициентов взаимной индукции. Действительно,

(8.37)

Доказательство именно этого равенства было целью данной статьи. При этом подразумевается использование таких понятий, как векторный потенциал и уравнения Максвелла. Интересно, что тот же результат может быть получен и другим, еще более простым путем.

Явление взаимной индуктивности приводит к образованию индукционного тока в одном контуре при изменение потока магнитного поля другого контура (рис. 8.38, 8.39).

Рис. 8.38. Взаимная индукция

Рис. 8.39 Тороидальный трансформатор

8.6. Доказательство равенства коэффициентов взаимной индукции на основе 3-го закона Ньютона

Рассмотрим два (бесконечно) малых покоящихся витка с токами I₁ и I₂ . По третьему закону Ньютона

(8.38)

где, например, есть сила, действующая на второй виток со стороны первого.

Если выбрать ось x вдоль линии, соединяющей контуры, то для силы, действующей на виток, имеем

(8.39)

— индукция магнитного поля в точке расположения витка с магнитным моментом .

В нашем случае должно выполняться равенство

(8.40)

как следствие уравнений (8.38) и (8.39). Здесь B₁₍₂₎ — индукция магнитного поля в области витка 1(2), с бесконечно малым вектором площади , магнитный момент которого . Вместе с уравнением (8.40), это означает, что

(8.41)

с точностью до аддитивной константы, которая очевидно равна нулю. Поток вектора магнитной индукции через бесконечно малый контур есть по определению . Подставляя это выражение для витков 1 и 2 в (8.41), имеем

(8.42)

Кроме того, по определению коэффициентов взаимной индукции, имеем

.

Подстановка этих равенств в (8.42) приводит к требуемому равенству коэффициентов взаимной индукции для малых витков.

Дальнейшее доказательство равенства для витков с током произвольной формы не представляет труда. Действительно, любой большой виток можно разбить на много маленьких, после чего нетрудно получить тот же результат для произвольного контура. Таким образом, равенство коэффициентов взаимной индукции есть прямое следствие третьего закона Ньютона.

8.7. Взаимная индукция в присутствии ферромагнетиков

Известно, что в присутствии ферромагнетиков правило (8) может не выполняться. Тем не менее, и в этом случае возможно выполнение подобного равенства. Проиллюстрируем равенство (1) на конкретном примере тороидального сердечника, сделанного из ферромагнетика. Приведем распространенную ситуацию, когда на сердечник намотаны два контура с различным числом витков. Магнитное поле, создаваемое токами, протекающими по обоим контурам, практически полностью сосредоточено в ферромагнетике.

Если в контуре «1» течет ток , то в контуре «2» потокосцепление есть

Аналогично, при протекании в контуре «2» тока возникает магнитный поток (потокосцепление), пронизывающий контур «1»

Здесь и — коэффициенты взаимной индукции.

По первой обмотке течет ток , который порождает магнитное поле H₁, величина которого легко вычисляется по теореме о циркуляции

Здесь C — замкнутый путь длины l, проходящий внутри ферромагнетика. Поток магнитной индукции, проходящий через сечение сердечника, легко находится

Следовательно, потокосцепление через контур «2»:

Мы получили выражение для коэффициентов взаимной индукции, симметричное относительно индексов 1 и 2. Поэтому очевидно, что аналогичные рассуждения для второго контура приведут к тому же результату и, значит, к выполнению равенства коэффициентов взаимной индукции.

Приложение

Энергия магнитного поля системы контуров с токами

Энергия магнитного поля системы контуров с токами требует знания теоремы Стокса, формулы Остроградского — Гаусса и уравнений Максвелла. При первом чтении можно пропустить

Используем известное выражение для энергии магнитного поля

(П1)

Здесь и — индукция и напряженность магнитного поля, причем . Предполагается, что магнитная проницаемость не зависит от , т. е. среда не ферромагнитна. Интегрирование ведется по всему объему, занимаемому магнитным полем. Нас будет интересовать энергия всей системы (контуров с током), поэтому объем предполагается достаточно большим, чтобы на его поверхности магнитное поле отсутствовало. Выразим скалярное произведение через векторный потенциал . Используя связь магнитного поля и векторного потенциала, , а также основные формулы векторного анализа, получим:

При интегрировании по всему объему второе слагаемое исчезает. Действительно:

(П2)

Последнее равенство справедливо, поскольку интегрирование ведется по поверхности, охватывающей всю область, занятую магнитным полем. Как уже говорилось, H = 0 на этой поверхности. Далее воспользуемся уравнением Максвелла

(П3)

которое справедливо в отсутствии электрических полей. Подставляя (П3), (П2) в (П1), получим

Это общее выражение, при его выводе не делались предположения о форме плотности тока проводимости j. Пусть теперь эта плотность тока создается контурами с токами I_i

Тогда только в областях, занятых тонкими проводами. Выбрав линейный элемент провода с поперечным сечением , можно записать

Здесь учтено, что все три вектора сонаправлены. Тогда, поскольку это равенство верно для всех контуров со своими
токами , получаем выражение для энергии «n» контуров с током в виде

Интегрирование ведется по всем объемам V_i , в которых плотность тока отлична от нуля.

Используя теорему Стокса для векторного потенциала

получаем окончательное выражение для энергии магнитного поля

(П4)

Здесь F_i — поток вектора магнитной индукции через поверхность, охватываемую i-тым контуром тока. Он создается магнитными полями всех контуров с токами.

В основном тексте связь коэффициентов взаимной индуктивности получена на основе формулы (П4).

Исследование, описанное в статье про электромагнитная индукция, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое электромагнитная индукция и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Переменный электрический ток. Электромагнитное поле

Продолжение:

Часть 1 8. Электромагнитная индукция
Часть 2 8.3. Явление самоиндукции - 8. Электромагнитная индукция
Часть 3 8.5. Коэффициенты взаимной индукции системы контуров с током - 8.