8. Электромагнитная индукция, самоиндукция, взаимоиндукция , правило левой руки (буравчика, штопора)

Познакомимся с опытами, которые проводил Фарадей (рис. 8.3, 8.4).

Рис. 8.3. Опыты Фарадея

Рис. 8.4. Опыты Фарадея

Для более близкого знакомства с явлением электромагнитной индукции, подробно рассмотрим два опыта (рис. 8.5).

Рис. 8.5. ЭДС индукции возникает в катушке, когда:
1 — к нейприближается постоянный магнит; 2 — когда меняется ток в соседней катушке

На левом рисунке изображена катушка, подсоединенная к гальванометру G. Если приближать к витку постоянный магнит, стрелка гальванометра отклонится: по катушке пройдет ток. При неподвижном же магните ничего не происходит. На правом рисунке вблизи такой же катушки с гальванометром помещена другая катушка. Если замкнуть ключ К, то по верхней катушке пойдет электрический ток. В этот момент стрелка гальванометра отклонится, зарегистрировав импульс тока в нижней катушке. То же самое произойдет при размыкании ключа К.

см. катушек Гельмгольца.

В обоих случаях виток с гальванометром не был подсоединен к источнику тока. Тем не менее, ток в нем появился, что свидетельствует о возникновении какой-то электродвижущей силы. Ее называют ЭДС электромагнитной индукции. Рассмотренные опыты приводят к выводу, что ЭДС индукции возникает, когда что-то меняетсяв системе проводников.

Обратимся к одному из возможных вариантов изменений в системе — перемещению одного из ее проводников. Поскольку на проводник с током действует сила, то при перемещении этого проводника будет совершаться работа. Рассмотрим устройство на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

К рисунку 8.6: возникновение индукционного тока при движении небольшого участка замкнутого проводящего контура в магнитном поле.

Пусть отрезок проводника с током длиной перемещается из положения 1 в положение 2 под действием силы Ампера в магнитном поле

Работа, совершаемая полем по перемещению проводника на расстояние , равна

Произведение есть элемент площади, которую пересек отрезок проводника при своем движении из положения 1 в положение 2. Таким образом,

где — изменение потока вектора магнитной индукции через площадь, охватываемую током.

Применим теперь к рассмотренной системе закон сохранения энергии. Пусть — изменение магнитного потока при небольшом перемещении проводника за время . Совершенная работа равна . За счет какого источника совершается эта работа? В окружающем пространстве ничего не изменилось. Единственная доступная энергия черпается из источника тока. Если его ЭДС равна то за время источник израсходует энергию . Эта энергия тратится на выделение тепла на сопротивлении R и на работу по перемещению проводника

Разделив обе части на и перенося слагаемое с потоком в левую часть равенства, получаем

В этом уравнении нетрудно узнать закон Ома: в правой части стоит падение напряжения на сопротивлении, а в левой должна стоять сумма всех действующих в цепи ЭДС. Поэтому уравнение можно переписать в виде

где

Это соотношение есть математическая запись закона электромагнитной индукции Фарадея (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Магнитный поток через замкнутый контур

В чем же физическая причина возникновения ЭДС индукции в данном случае? Рассмотрим почти такую же систему, но без источника тока и без замкнутой цепи. Пусть отрезок проводника длиной l движется со скоростью v перпендикулярно вектору магнитной индукции В (рис. 8.8).

Рис. 8.8. Возникновение на концах проводника, движущегося в магнитном поле,
разности потенциалов, равной ЭДС электромагнитной индукции

Магнитное поле однородно и линии магнитной индукции перпендикулярны чертежу и направлены от нас. На свободные электроны в проводнике действует сила Лоренца (направление которой определяется правилом буравчика)

где е — заряд электрона. Под влиянием силы Лоренца произойдет перемещение зарядов и на концах проводника возникнет некоторая разность потенциалов . Возникшее электрическое поле Е будет препятствовать передвижению зарядов, и их дальнейшее движение прекратится, когда сила со стороны индуцированного электрического поля будет равна по величине, но противоположна по направлению силе Лоренца .

Таким образом, получаем

откуда

Так как , то

Скорость проводника равна , а произведение есть площадь поверхности, заметаемая проводником за время . Получаем, следовательно,

Мы пришли к тому же результату, так как разность потенциалов на концах разомкнутого проводника равняется ЭДС индукции. (Напомним, что и для обычного источника тока разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи равна ЭДС.) Поскольку сила Лоренца, действующая на отрицательно заряженные электроны, направлена на рис. 8.3 вниз, на нижнем конце проводника скапливается избыток отрицательного заряда, а на верхнем — положительного. Следовательно, потенциал верхнего конца выше потенциала нижнего. Впрочем, о знаке ЭДС индукции мы поговорим особо.

Напомним, что ранее мы рассмотрели пример (п. 6.7), в котором речь шла о самолете, летящем в вертикальном магнитном поле. Нетрудно заметить, что проблема в том примере идентична только что рассмотренной задаче о движении проводника. И из преобразований Лоренца мы получили тогда в точности те же результаты, что и сейчас: сравните формулы (8.10) и (6.43). Таким образом, и закон сохранения энергии, и уравнение динамики заряда в магнитном поле, и даже релятивистские преобразования Лоренца для электромагнитного поля приводят к тому же закону Фарадея — в физике (как и вообще в мире) все взаимосвязано.

Выражение (8.8) для ЭДС электромагнитной индукции имеет очень общий вид: в него не вошли никакие конкретные характеристики движения: скорость проводника, его длина и т. п. Все определяется только скоростью изменения потока вектора магнитной индукции. При этом совершенно неважно, каким путем мы изменяем этот поток. Можно деформировать виток, перемещать его или просто увеличивать магнитную индукцию (рис 8.9, 8.10, 8.11, 8.12, 8.13). Именно последний вариант реализовался в опытах, которые мы обсуждали в начале этой главы. Механизм возникновения ЭДС индукции может бытьразным, но конечный результат будет описываться тем же уравнением (8.8), которое носит название закона Фарадея.

Рис. 8.9. Закон Фарадея

Рис. 8.10. Возникновение тока в контуре при перемещении провода в постоянном магнитном поле

Рис. 8.11. Возникновение тока в контуре при подключении батареи

Рис. 8.12. Яркое вспыхивание лампочки при размыкании ключа

Рис. 8.13. Возникновение переменного тока при вращении контура

Пример 1. В однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной 10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения 16 .

Решение. За время стержень повернется на угол и заметет сектор площадью

Разность потенциалов равна скорости изменения потока магнитной индукции

Закон Фарадея применим не только к отдельному контуру или витку, но и к катушке, которую можно рассматривать как N витков, соединенных последовательно. В этом случае суммарная ЭДС будет в N раз больше, чем ЭДС отдельного витка, то есть

где величина

называется потокосцеплением или полным магнитным потоком ( измеряется в тех же единицах, что и , то есть в веберах).

Пример 2. Магнитная индукция поля между полюсами магнита генератора равна 0,8 Тл. Ротор имеет 100 витков площадью 400 см². Определить частоту вращения якоря, если максимальная ЭДС индукции равна = 200 В (рис. 8.14).

Рис. 8.14. Вращение контура в постоянном магнитном поле

Решение. Угол между магнитным полем и нормалью к плоскости витков изменяется по закону . Полный магнитный поток через обмотку ротора в момент времени t равен . Дифференцируямагнитный поток по времени, получаем

Максимальное значение синуса равно единице, следовательно, максимальное значение ЭДС индукции равно

откуда

ЭДС индукции возникает не только при перемещении замкнутого контура в магнитном поле или перемещении магнита относительно неподвижного контура. Пусть имеются две катушки с общим железным сердечником, служащим в качестве магнитопровода (рис. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 8.15).

Рис. 8.15. Железный сердечник как магнитопровод между двумя катушками

При разомкнутой цепи магнитный поток в системе равен нулю. При замыкании ключа К через катушку 1 пойдет ток, который создаст магнитное поле, так что катушка 2 будет пронизываться магнитным потоком . Поэтому при замыкании ключа за время нарастания тока до стационарного значения поток через катушку 2, меняется на величину . Соответственно, в ней возникает ЭДС

где N — число витков в катушке 2, и идет индукционный ток, который зарегистрирует гальванометр G.

Когда возрастание тока в катушке 1 прекратится, поток магнитной индукции станет постоянным и ЭДС будет равна нулю. Ток в катушке 2 также перестанет идти, и стрелка гальванометра вернется в исходное положение. Такая же картина будет наблюдаться и при размыкании цепи катушки 1, только стрелка гальванометра отклонится в другую сторону, что свидетельствует об изменении направления тока в катушке 2.

Если через катушку 1 пропустить переменный ток, то по цепи катушки 2 пойдет переменный ток той же частоты. Этот принцип широко используется в трансформаторной технике.

Пусть контур имеет сопротивление R и пусть магнитный поток через него меняется по какому-то закону. Возникающая в контуре ЭДС электромагнитной индукции

вызывает в контуре ток

Заряд , протекший в контуре за время , связан с током

Интегрируя, получаем для заряда Q, протекшего по контуру при изменении потока следующее выражение

(мы используем модуль изменения потока, так как направление перетекания заряда нам сейчас не важно). Отсюда, кстати, вытекает связь единицы измерения магнитного потока с зарядом и сопротивлением

Пример 3. Проволочное кольцо радиусом 10 см лежит на столе. Какой заряд протечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую. Сопротивление кольца 3 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 50 мкТл.

Решение. Начальный поток магнитной индукции через кольцо равен . После переворачивания кольца величина потока будет той же, но силовые линии входят теперь с другой стороны кольца: . Искомый заряд равен

В 1833 г. Э.X. Ленц (рис. 8.16) сформулировал правило (правило Ленца):

Рис. 8.16. Э.Х. Ленц (1804–1865) — русский физик

Приведем пример использования правила Ленца (рис. 8.17, 8.18).

Рис. 8.17. Иллюстрация правила Ленца

Рис. 8.18. Иллюстрация правила Ленца

Рассматривая рис. 8.8, мы видели, что избыточный положительный заряд накапливался на верхнем конце проводника. Следовательно, в то короткое время, пока движение зарядов в проводнике не прекратилось, индукционный ток тек снизу вверх. По правилу буравчика (поворот ручки от направления тока к направлению поля), сила Ампера была направлена налево, препятствуя движению проводника направо.

В опыте, когда постоянный магнит приближается к витку, индуцированный ток также создает противодействующее магнитное поле (рис. 8.19).

Рис. 8.19. При перемещении постоянного магнита в катушке возникает индукционный ток,
поле которого препятствует перемещению магнита

На рис. 8.20 показан опыт, иллюстрирующий правило Ленца. На концах коромысла, которое может вращаться вокруг вертикальной оси, укреплены два алюминиевых кольца: одно сплошное, а другое — с разрезом. при приближении к первому кольцу постоянного магнита оно отталкивается от него. а при удалении — притягивается, поскольку индукционные токи в соответствии с правилом Ленца препятствуют изменению магнитного потока, охватываемого кольцом. С разрезанным кольцом магнит не взаимодействует.

Рис. 8.20. Взаимодействие постоянного магнита с проводящим кольцом

На рис. 8.21 представлен опыт, в котором демонстрируется взаимодействие проводящего кольца и электромагнита. Кольцо, надетое на выступающий из обмотки конец вертикального сердечника, при включении тока в обмотке взлетает вверх. При горизонтальном расположении сердечника в соответствии с правилом Ленца при включении поля перемещается по сердечнику в сторону от обмотки, а при выключении — обратно к обмотке.

Рис. 8.21. Взаимодействие электромагнита с проводящим кольцом

Математически правило Ленца отображается знаком минус в уравнении (8.8) закона Фарадея. Обсудим подробнее эту связь. Здесь могут возникнуть трудности с определением знака потока вектора магнитной индукции. Когда мы имели дело с замкнутыми поверхностями в электростатике, положительное направление задавалось внешней нормалью. Когда незамкнутая поверхность «натянута» на контур с уже текущим током, направление тока задает положительное направление нормали по правилу буравчика. С этим мы познакомились уже при решении задач онахождении работы по деформированию контура. Но как быть в случае использования закона Фарадея, когда поверхность не замкнута, а направление тока нам не известно и мы только хотим его определить?

Рассмотрим рис. 8.22. На нем показан контур, пронизываемый силовыми линиями внешнего магнитного поля В.

Рис. 8.22. Иллюстрация применения правила Ленца:
изменение направления обхода контура не меняет знака ЭДС индукции в законе Фарадея

Выберем положительное направление обхода контура против часовой стрелки (верхний ряд). На рис. 8.22-1 магнитное поле постоянно. При данном выборе положительного направления обхода контура и остром угле между нормалью n к контуру и вектором магнитной индукции В магнитный поток через контур положителен . На рис. 8.22-2 магнитное поле увеличивается. Положительный поток через контур также растет, и потому Из закона Фарадея следует тогда, что ЭДС индукции и, следовательно, индукционный ток отрицательны. Это значит, что ток течет в обратном направлении по отношению к выбранному пути обхода контура, то есть по часовой стрелке.

Выберем теперь иное положительное направление обхода контура — по часовой стреле (рис. 8.22-3). Поток постоянного магнитного поля здесь отрицателен (угол между n и В тупой, и его косинус отрицателен). При увеличении поля абсолютная величина потока растет, но так как он отрицателен, то (, как показано на рис. 8.22-4). Из закона Фарадея следует тогда, что ЭДС и индукционный ток положительны. Это значит, что направление тока совпадаетс выбранным направлением обхода контура, то есть ток течет по часовой стрелке.

Мы показали, что направление индукционного тока не зависит от выбора положительного направления обхода контура. Так и должно быть, поскольку выбор направления обхода контура делаем мы и притом произвольно, а направление тока — физическая реальность, которая не может зависеть от нашего произвола. С аналогичной ситуацией мы сталкивались при изучении правил Кирхгофа.

Индукционные токи возникают не только в проволочных витках, но и в толще массивных проводников. В этом случае их называют вихревыми токами или токами Фуко. Из–за малого сопротивления проводников они могут достигать большой силы. По правилу Ленца вихревые токи также действуют против причины, их вызывающей. На этом основана идея электромагнитных демпферов, успокаивающих колеблющиеся части приборов (стрелки гальванометров и т. п.). На подвижной части прибора укрепляется металлическая полоска, находящаяся в поле сильного магнита. При движении системы токи Ж. Фуко (рис. 8.23) тормозят ее, но они отсутствуют при покоящейся стрелке и не препятствуют ее остановке в нужном месте, согласно значению измеряемой величины (в отличие от сил трения).

Рис. 8.23. Леон Фуко (1819–1868) — французский физик и астроном

Итогом проведенных рассуждений может быть такая формулировка правила Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы препятствовать той причине, которая его породила. Вне зависимости от того, что это за причина.

Например, если проволочное кольцо падает в неоднородном магнитном поле под действием силы тяжести, то в нем течет индукционный ток. Соответственно на кольцо действует сила Ампера. Ничего не вычисляя, можно быть уверенным в том, что эта сила Ампера будет направлена вверх, чтобы — согласно правилу Ленца — мешать силе тяжести, которая является причиной падения кольца, что влечет за собой изменение магнитного потока, а это приводит к появлению индукционного тока, на который действует сила Ампера, тормозящая падение…

Ниже рассматриваются опыты, в которых изучаются свойства токов Фуко.

На рис. 8.24 показан опыт, демонстрирующий падение тел в неоднородном магнитном поле. Неоднородное магнитное поле тормозит движение проводящих предметов из-за токов Фуко, возникающих в проводниках при изменении магнитного потока через них. Демонстрируется беспрепятственное падение диэлектрического деревянного диска между полюсами сильного электромагнита и медленное падение медного и алюминиевого дисков в магнитном поле, напоминающее движение тел в среде с большой вязкостью.

Рис. 8.24. Падение тел в неоднородном магнитном поле

При падении сильного постоянного магнита внутри вертикальной проводящей трубки в ее стенках возникают токи Фуко, тормозящие это падение. В опыте (рис. 8.25) демонстрируется свободное падение немагнитного алюминиевого цилиндра в разных трубках, а также маленького магнита в стеклянной трубке. Затем показывают замедление падения этого магнита в алюминиевой трубке и его очень медленное падение в толстостенной медной трубке.

Рис. 8.25. Падение магнита в трубках

На рис. 8.26 показано демпфирование колебаний маятника. Толстая сплошная медная пластина, прикрепленная на конце физического маятника, движется при его колебаниях между полюсами сильного электромагнита. Слабо затухающие колебания маятника после включения магнитного поля начинают быстро затухать, превращаясь практически в апериодические колебания. Если на конце маятника закрепить медную пластинку, разрезанную в виде гребенки, то сильное затухание колебаний маятника исчезает, поскольку токи Фуко уже не могут замыкаться в объеме проводника.

Рис. 8.26. Демпфирование колебаний маятника

В опыте на рис. 8.27 показана левитация сплошного проводящего кольца. Токи Фуко могут возникать не только в проводниках при их перемещении в неоднородном магнитном поле, но и при быстром изменении этого поля. сплошное кольцо из алюминия, надетое на вертикальный сердечник электромагнита, питаемого переменным током частотой 50 Гц, висит в воздухе. в то время как такое же, но разрезанное кольцо свободно падает на обмотку.

Рис. 8.27. Левитация сплошного проводящего кольца

На рис. 8.28 показано взаимодействие проводника и электромагнита. Толстый медный диск укреплен в подшипниках на оси с ручкой. Вблизи него на такой же оси закреплен электромагнит. Если вращать за ручку включенный электромагнит, то диск начинает вращаться в ту же сторону. Если же, наоборот, вращать за ручку диск вблизи электромагнита, то последний также начинает вращаться. Силы взаимодействия диска и электромагнита, похожие по характеру на силы вязкого трения, обусловлены возникновением токов Фуко в диске.

Рассмотрим снова контур с током, но не станем его помещать на этот раз во внешнее магнитное поле. Ток сам создает свое собственное поле В, которое пронизывает контур. Это поле, как следует из закона Био — Савара — Лапласа, пропорционально силе тока

Собственное магнитное поле контура с током обуславливает наличие магнитного потока Y через поверхность, опирающуюся на этот контур, который также будет пропорционален силе тока в контуре

Введем коэффициент пропорциональности L

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

Индуктивность контура определяется формой и размерами контура, а также свойствами окружающей среды.

Если в проводящем контуре протекает переменный электрический ток, то магнитное поле этого тока также меняется с течением времени. Собственный магнитный поток, создаваемый этим полем, также является переменным. Изменение магнитного потока влечет за собой возникновение ЭДС электромагнитной индукции.

Возникающая при этом ЭДС называется ЭДС самоиндукции. Явление самоиндукции является частным случаем электромагнитной индукции.

Явление самоиндукции является, в частности, причиной явления, которое называют «экстра токи замыкания и размыкания». Оно состоит в следующем. Собственное магнитное поле в цепи постоянного тока изменяется в моменты замыкания или размыкания цепи. Это означает, что в такие моменты в цепи должна возникать ЭДС самоиндукции. Направление токов самоиндукции следует из правила Ленца. При замыкании цепи ЭДС самоиндукции вызывает ток, препятствующий увеличению основного тока в цепи, что делает конечной скорость роста силы тока, а при размыкании ток самоиндукции, препятствуя его уменьшению, делает конечной скорость убывания тока. Если бы не ЭДС самоиндукции, то при замыкании цепи ток мгновенно нарастал бы до своего стационарного значения, а при размыкании цепи, мгновенно убывал бы до нуля.

Выведем формулу для ЭДС самоиндукции . Для этого надо продифференцировать полный магнитный поток, охватываемый проводящим контуром, по времени

Если контур не меняет свою форму, и рядом с контуром нет ферромагнетиков, то его индуктивность от времени не зависит. Однако, даже при неизменной форме контура, при наличии ферромагнетиков, например, ферромагнитного сердечника, индуктивность контура зависит от силы тока в нем и, тем самым, от времени, если ток переменный. Таким образом, в присутствии ферромагнетиков

,

что необходимо учитывать при дифференцировании

Подставляя это выражение в (8.17), получаем для неподвижного контура всреде

Если же индуктивность контура не зависит от силы тока в нем, то имеем

Мы приходим к закону самоиндукции. В этом простейшем случае:

Будем считать катушку длинной, а магнитное поле внутри нее — однородным. Пропустим через соленоид ток I. Тогда магнитная индукциявнутри соленоида равна, как мы знаем (см. (6.20)), равна

где — магнитная проницаемость сердечника, a n — число витков на единицу длины. Полное число витков в катушке равно , где l — ее длина. Пусть S — площадь поперечного сечения соленоида. Полный магнитный поток (потокосцепление) определяется как

где V — объем соленоида: V = Sl. Согласно определению индуктивности как коэффициента пропорциональности между и I, получаем величину индуктивности длинного соленоида (рис. 8.31)

Рис. 8.31. Индуктивность соленоида

При замыкании или размыкании цепи (то есть в случаях, когда ток в цепи меняется по величине) в ней вследствие явления самоиндукции возникают дополнительные токи, которые по правилу Ленца всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать причине их вызывающей, то есть чтобы воспрепятствовать нарастанию или убыванию тока в цепи. Следовательно, как уже было сказано,при замыкании цепи ЭДС самоиндукции будет замедлять скорость нарастания тока, а при размыкании, напротив, замедлять скорость уменьшения тока в ней.

Рассмотрим цепь, состоящую из сопротивления, индуктивности и источника тока (рис. 8.32).

Рис. 8.32. Цепь, содержащая катушку, сопротивлении и источник постоянного тока

Рис. 8.33. Токи замыкания (1) и размыкания (2) цепи с индуктивностью

Будем считать, что в сопротивление R уже включены соединенные с ним последовательно внутреннее сопротивление источника и сопротивление катушки. После того, как исчезнут экстра токи замыкания и размыкания и установится постоянный ток, сила тока в цепях, показанных на рис. 8.33, согласно закону Ома, будет равна

При разомкнутомключе ток не идет. Что будет, если ключ замкнуть, перебросив его из положения 1 в положение 2?

Обозначим через I мгновенное значение силы тока в цепи: (функция времени). Если учесть ЭДС самоиндукции, то в каждый момент времени по-прежнему справедлив закон Ома

Подставим в (8.22) выражение (8.19), предполагая, что индуктивность не зависит от тока. В результате применения закона Ома получаемдифференциальное уравнение для силы тока в цепи

Это уравнение легко интегрируется

или

откуда следует общее решение уравнения (8.23)

Постоянную интегрирования сonst определяем из начального условия: в момент времени t = 0 (замыкание ключа) тока в цепи еще не было, то есть I(0) = 0. Тогда

Таким образом, зависимость от времени тока замыкания в цепи с индуктивностью имеет вид

Величина

имеет размерность времени и является характерным временем нарастания тока в цепи с индуктивностью. Сначала ток растет от нулевого значения линейно, затем скорость его роста начинает уменьшаться и ток асимптотически стремится к своему предельному значению

равному току в этой же цепи в отсутствие индуктивности. Практически предельное значение тока, учитывая реальную точность измерений силы тока, достигается за времена примерно равные (рис. 8.34).