Лекция
Привет, сегодня поговорим про двумерное преобразование фурье, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое двумерное преобразование фурье , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка изображений.
Методом двумерного преобразования Фурье (two-dimensional Fourier transform - 2-DFT) является преобразование Фурье, произведенное над двумерным массивом данных. Рассмотрим двумерный массив данных, показанный на рисунке.
Эти данные имеют два измерения: t' и t". Преобразование Фурье над данными производится сначала в одном, а затем в другом направлениях. Первая часть преобразований Фурье проводится в t' измерении для получения f' на t" множества данных.
Вторая часть преобразований Фурье производится в t" измерении для получения f' на f" множества данных. 
двумерное преобразование фурье необходимо для проведения МРТ на современном уровне. В МРТ, данные собираются в эквиваленте t' и t" измерениям, называемом К-пространстве. Эти исходные данные преобразуются для получения изображения, которое эквивалентно описанным ранее f' на f" данным.
В результате двумерного преобразования Фурье функции 
, описывающей изображение, получается спектр этого изображения, который определяется как
, (1.6.1)
где 
- пространственные частоты, а 
. Если обозначить оператор преобразования Фурье через 
, то можно записать
. (1.6.2)
В общем случае спектр 
есть комплексная величина. Его можно разложить на действительную и мнимую части:
(1.6.3а)
или представить с помощью амплитуды и фазы:
, (1.6.3б)
где
, (1.6.4а)
. (1.6.4б)
Достаточным условием существования фурье-спектра функции 
является абсолютная интегрируемость этой функции, т.е. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . условие
. (1.6.5)
Исходная функция может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье:
. (1.6.6a)
Это соотношение в операторной форме можно записать как
. (1.6.6б)
Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится
(1.6.7)
а затем
(1.6.8)
Ниже приводятся несколько полезных свойств двумерного преобразования Фурье. Их доказательства можно найти в книгах [1, 2].
Функциональные свойства
Если функция разделима по пространственным переменным, так что
, (1.6.9)
то
, (1.6.10)
где 
- одномерные фурье-спектры функций 
, 
. Если 
есть фурье-спектр функции , то 
является фурье-спектром функции 
. (Звездочка обозначает комплексную сопряженность.) Если функция симметрична, т.е. 
, то 
.
Линейность
Оператор преобразования Фурье линеен:
, (1.6.11)
где 
– постоянные.
Изменение масштаба
Изменение масштаба пространственных приводит к обратному изменению масштаба пространственных частот и пропорциональному изменению значений спектра:
. (1.6.12)
Следовательно, сжатие вдоль одной из осей плоскости 
приводит к растяжению вдоль соответствующей оси частотной плоскости и наоборот. Происходит также пропорциональное изменение значений спектра.
Сдвиг
Сдвиг (изменение координат) на исходной плоскости приводит к фазовым изменения на частотной плоскости:
(1.6.13а)
Наоборот, сдвиг на частотной плоскости вызывает фазовые изменения исходной функции:
(1.6.13б)
Свертка
Фурье-спектр функции, полученный в результате свертки двух функций, равен произведению спектров исходных функций:
(1.6.14)
Обратная теорема утверждает, что
(1.6.15)
Теорема Парсеваля
Два представления энергии изображения – через функцию и фурье-спектр - связаны следующим образом:
(1.6.16)
Теорема о спектре автокорреляционной функции
Фурье-спектр двумерной автокорреляционной функции изображения равен квадрату модуля фурье-спектра этого изображения:
(1.6.17)
Спектры пространственных производных
Фурье-спектры первых пространственных производных функции связаны с ее фурье-спектром следующими соотношениями:
(1.6.18a)
(1.6.18б)
Следовательно, спектр лапласиана равен
(1.6.19)
Надеюсь, эта статья про двумерное преобразование фурье, была вам полезна, счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое двумерное преобразование фурье и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка изображений
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про двумерное преобразование фурье
Комментарии