Лекция
Привет, сегодня поговорим про сингулярное разложение матрицы, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое сингулярное разложение матрицы , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка изображений.
Известно, что любую матрицу 
размера 
, имеющую ранг 
, можно представить в виде взвешенной суммы матриц единичного ранга размера . Такое представление называется сингулярным разложением [6-8]. В последующих разделах будет рассмотрено применение этого метода для обработки изображений.
При сингулярном разложении используют унитарную матрицу 
размера и унитарную матрицу 
размера
, такие, что
, (5.2.1)
где матрица
(5.2.2)
имеет размеры , а ее диагональные элементы 
называются сингулярными значениями матрицы . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Поскольку матрицы и унитарны, то 
и 
. Поэтому
. (5.2.3)
Столбцы унитарной матрицы являются собственными векторами 
симметричной матрицы 
, т. е.
(5.2.4)
где 
- ненулевые собственные значения матрицы . Аналогично строки матрицы являются собственными векторами 
симметричной матрицы 
, т. е.
(5.2.5)
где - соответствующие ненулевые собственные значения матрицы . Нетрудно проверить, что равенство (5.2.3) согласуется с (5.2.4) и (5.2.5).
Разложение матрицы , задаваемое соотношением (5.2.3), можно представить в виде ряда
. (5.2.6)
Матричные произведения собственных векторов 
образуют набор матриц единичного ранга, каждая из которых умножается на весовой множитель, являющийся соответствующим сингулярным значением матрицы . Согласованность разложения (5.2.6) с вышеприведенными соотношениями можно показать, подставив его в равенство (5.2.1). В результате получается
. (5.2.7)
Заметим, что произведение 
, дает вектор-столбец, 
-й элемент которого равен единице, а все остальные - нули. Вектор-строка, получающаяся в результате вычисления произведения 
, имеет аналогичный вид. Поэтому в правой части равенства (5.2.7) образуется диагональная матрица, элементы которой равны сингулярным значениям матрицы .
Матричное разложение (5.2.3) и эквивалентное представление в виде ряда (5.2.6) можно найти для любой матрицы. Поэтому такое разложение можно непосредственно применить для обработки дискретных изображений, представленных в виде матриц. Кроме того, этими формулами можно воспользоваться для разложения матриц линейных преобразований изображений. Применение метода сингулярного разложения для исправления и кодирования изображений рассмотрено в последующих главах книги.
Надеюсь, эта статья об увлекательном мире сингулярное разложение матрицы, была вам интересна и не так сложна для восприятия как могло показаться. Желаю вам бесконечной удачи в ваших начинаниях, будьте свободными от ограничений восприятия и позвольте себе делать больше активности в изученном направлени . Надеюсь, что теперь ты понял что такое сингулярное разложение матрицы и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка изображений
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про сингулярное разложение матрицы
Комментарии