Лекция 5 мин.
Привет, Вы узнаете о том , что такое операторы псевдообращения, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое операторы псевдообращения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка изображений.
В контексте цифровой обработки изображений и сигналов операторы псевдообращения относятся к операторам, которые используются для выполнения различных операций обработки изображений.
При линейной обработке сигналов часто встречается задача «обращения» преобразования вида
(8.3.1)
с тем, чтобы выразить точное значение входного вектора 
размера 
или некоторую его оценку 
через выходной вектор p размера 
. Если 
- квадратная матрица, то очевидно, что
(8.3.2)
если обратная матрица существует. Если матрица не квадратная, то для отыскания решения можно воспользоваться псевдообратной матрицей 
размера 
. В этом случае
(8.3.3)
Если решение существует и единственно, то «правильным» оператором псевдообращения будет тот, который обеспечивает точную оценку, т. е. 
. Это означает, что вектор можно определить по наблюдаемому вектору 
без ошибок. Если решение существует, но оно не единственно, то с помощью псевдообратного оператора можно выбрать решение с минимальной нормой. Если, наконец, точных решений не существует, то с помощью оператора псевдообращения можно найти наилучшее приближенное решение. Более подробно этот вопрос рассмотрен в последующих разделах. Разъяснения и доказательства многих из нижеприведенных положений содержатся в монографиях [4-6].
Первым из операторов псевдообращения будет рассмотрен оператор с обобщенной обратной матрицей 
, для которой выполняются следующие соотношения:
(8.3.4а)
(8.3.46)
(8.3.4в)
(8.3.4г)
Обобщенная обратная матрица является единственной и при некоторых условиях ее можно записать в явном виде. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если 
, то систему уравнений (8.3.1) называют переопределенной, т. е. число компонент наблюдаемого вектора превышает число подлежащих оценке компонент вектора . Если при этом ранг матрицы равен 
, то обобщенная обратная матрица
(8.3.5)
В противоположном случае, когда 
, систему (8.3.1) называют недоопределенной. Если при этом ранг матрицы равен 
, то обобщенная обратная матрица имеет вид
(8.3.6)
Нетрудно показать, что матрицы, определенные соотношениями (8.3.5) и (8.3.6), удовлетворяют условиям (8.3.4). Если матрица может быть представлена в виде прямого произведения (8.1.8), то обобщенная обратная матрица имеет вид
(8.3.7)
где 
и 
- обобщенные обратные матрицы для линейных операторов обработки строк и столбцов. В этом случае сокращается объем вычислений, необходимых для обращения.
Еще один тип оператора псевдообращения имеет матрицу 
, называемую матрицей обращения методом наименьших квадратов, которая определяется следующими соотношениями:
(8.3.8а)
(8.3.8б)
И наконец, условно обратная матрица 
определяется формулой
(8.3.9)
Анализ определений всех трех видов оператора псевдообращения показывает, что обобщенный обратный оператор является оператором обращения методом наименьших квадратов, а последний - оператором условного обращения. Для любого линейного оператора с матрицей всегда существуют матрица обращения методом наименьших квадратов и условно обратная матрица, но они могут быть не единственными. Кроме того, для этих матриц обычно не удается найти явное выражение в конечной форме.
Ниже приведены некоторые полезные соотношения для матрицы , которая является обобщенной обратной матрицей относительно матрицы размера 
.
Обобщенное обращение транспонированной матрицы
(8.3.10)
Обобщенное обращение обобщенной обратной матрицы
(8.3.11)
Сохранение ранга
(8.3.12)
Обобщенное обращение произведения матриц
(8.3.13)
(8.3.14)
где 
и 
— матрицы ранга 
, имеющие размеры 
и 
соответственно.
Обобщенное обращение произведения ортогональных матриц
(8.3.15)
где и - ортогональные матрицы размера 
и 
соответственно.
Выводы из данной статьи про операторы псевдообращения указывают на необходимость использования современных методов для оптимизации любых систем. Надеюсь, что теперь ты понял что такое операторы псевдообращения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка изображений
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про операторы псевдообращения
Комментарии