Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое рекурсивная фильтрация, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое рекурсивная фильтрация , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Цифровая обработка изображений.
В предыдущих разделах данной главы обработка с преобразованием рассматривалась как косвенный метод выполнения двумерной линейной обработки. Было показано, что для обработки с преобразованием часто требуется гораздо меньше арифметических операций, чем при использовании стандартных методов. В данном разделе будет рассмотрен другой способ линейной обработки, называемый рекурсивной фильтрацией [14-16]. Иногда рекурсивная фильтрация оказывается даже более эффективной, чем обработка с преобразованием. Кроме того, в этом случае для хранения данных требуется ЗУ меньшей емкости, чем при обработке с преобразованием.
Рекурсивная фильтрация основывается на рекуррентном соотношении между входными и выходными переменными системы. Для одномерных сигналов подобное рекуррентное соотношение имеет следующий вид [14]:
, (11.6.1)
где 
, 
- отсчеты входной последовательности, 
, 
- отсчеты выходной последовательности, а 
и 
- весовые множители. Ключевой момент здесь в том, что 
-й элемент выходной последовательности зависит не только от последнего и 
предпоследних элементов входной последовательности, но и от 
предыдущих элементов выходной последовательности.
Большинство методов синтеза и анализа рекурсивных фильтров основано на применении 
-преобразования. По определению [17, 18] -преобразование 
-элементной последовательности дает образ
. (11.6.2)
Нетрудно показать, что -преобразование выражения (11.6.1) дает образ
, (11.6.3)
где 
и 
- образы соответствующих последовательностей.
Двумерная рекурсивная фильтрация основана на следующем рекуррентном соотношении между входным и выходным массивами [19, 20]:
(11.6.4)
где 
- входной массив из 
элементов, 
- выходной массив из 
элементов, а 
и 
- весовые множители. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Предполагается, что процесс рекурсивной фильтрации начинается с левого верхнего угла входного массива. С помощью двумерного -преобразования из равенства (11.6.4) получается
, (11.6.5)
где 
и 
- двумерные образы соответствующих массивов. Так, например,
. (11.6.6)
При синтезе рекурсивных фильтров требуется выбрать такие массивы весовых множителей 
и 
, чтобы выходной массив оказался эквивалентным массиву, получаемому в результате свертки функции , описывающей исходное изображение, с заданным импульсным откликом 
. Как правило, точного совпадения массивов добиться не удается и при синтезе фильтров приходится пользоваться приближенными методами [21, 22]. При этом возникает вопрос об устойчивости рассчитанного рекурсивного фильтра. Если фильтр неустойчив, то ошибки округления или шум, присутствующий во входном массиве, могут в ходе обработки не ослабляться, а увеличиваться до очень большого уровня. Рекурсивный фильтр устойчив [20], если коэффициенты 
разложения частотной характеристики фильтра в ряд по степеням переменных 
и 
(11.6.7)
являются абсолютно суммируемыми, т. е. удовлетворяют условию
. (11.6.8)
Разработано несколько методов проверки рекурсивных фильтров на устойчивость [23-25]. При обработке изображения согласно равенству (11.6.4) требуется выполнить
(11.6.9)
арифметических операций. Здесь 
и 
- размеры массивов весовых множителей для входного и выходного изображений, a 
- размеры входного изображения. Если изображения и массивы весовых множителей - квадратные (т. е. 
, 
и 
), то при рекурсивной фильтрации нужно выполнить
(11.6.10)
операций. Для сравнения укажем, что для получения конечной свертки (см. разд. 9.3) требуется
(11.6.11)
операций, где 
- размер импульсного отклика. Как показано в разд. 11.2, для получения свертки с применением быстрого преобразования Фурье необходимо примерно
(11.6.12)
операций. Степень относительной эффективности трех типов обработки зависит от размеров массива импульсного отклика [27]. Если эти размеры невелики, то для прямого метода получения свертки и рекурсивной фильтрации требуется почти одинаковое число арифметических операций. В этом случае сравнить эффективность обоих методов с эффективностью получения свертки с использованием БПФ можно с помощью графика на рис. 11.3.2. При больших размерах массива импульсного отклика быстрый метод получения свертки оказался гораздо эффективнее прямого метода. Сравнивая число операций в равенствах (11.6.10) и (11.6.12), можно показать, что при больших размерах импульсного отклика рекурсивная фильтрация оказывается эффективнее быстрого метода получения свертки, если площади массивов коэффициентов рекурсивного фильтра удовлетворяют неравенству
, (11.6.13)
где 
- постоянная, принимающая значения от 1 до 20, причем ее величина зависит от вида использованного алгоритма БПФ и от того, насколько вычисления с комплексными числами происходят медленнее, чем с действительными.
Выводы из данной статьи про рекурсивная фильтрация указывают на необходимость использования современных методов для оптимизации любых систем. Надеюсь, что теперь ты понял что такое рекурсивная фильтрация и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Цифровая обработка изображений
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про рекурсивная фильтрация
Комментарии