Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое топология электрической цепи, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое топология электрической цепи , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теоретические основы электротехники.
Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.
Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.
Узел – место соединения трех и более ветвей.
Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.
Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.
Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.
Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.
Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.
В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:
1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.
2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.
3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.
Рис.4
4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.
Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева 
, а числа ветвей связи графа 
.
5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.
Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 S1 иS2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5.
С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:
Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.
1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.
Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу АН , принимая, что элемент матрицы 
(i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, и 0, если ветвь j не соединена с узломi . Сориентировав ветви графа на рис. 3, получим
Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули.
Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим
Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов 
, т.е. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа
Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение
(1)
где 
- вектор плотности тока; 
- нормаль к участку dS замкнутой поверхности S.
Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать
.
Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:
т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.
При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.
Введем столбцовую матрицу токов ветвей
Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:
АI=O (3)
– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.
В качестве примера запишем для схемы на рис. 3
Отсюда для первого узла получаем
что и должно иметь место.
2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.
Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi.
Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.
Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.
Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.
Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:
Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.
Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:
- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается 
независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из 
уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.
Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей
Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид
BU = 0. (6)
В качестве примера для схемы рис. 5 имеем
откуда, например, для первого контура получаем
,
что и должно иметь место.
Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов
причем потенциал последнего узла 
, то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением
|
U=AТ
 |
(7)
|
где AТ - транспонированная узловая матрица.
Для определения матрицы В по известной матрице А=АДАС , где АД – подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, АС- подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В= (-АТС А-1ТД1).
3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.
Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.
Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвь j не входит в i-е сечение.
В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем
В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения
АВТ= 0; (8)
QВТ= 0, (9)
которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка 
.
Замыкание или отождествление. Говорят, что пара вершин vi и vj в графе G замыкается (или отождествляется), если они заменяются такой новой вершиной, что все ребра в графе G, инцидентные vi и vj становятся инцидентными новой вершине.
Например, результат замыкания вершин v3 и v4 в графе рис.6, а представлен на рис.6, б.
Стягивание. Под стягиванием мы подразумеваем операцию удаления ребра е и отождествление его концевых вершин. Граф G является стягиваемым графом к графу Н, если Н можно получить из G последовательностью стягиваний.
Граф, изображенный на рис.6, в, получен стягиванием ребер e1 и е5 в графе G (рис.6, а).
Рис.6. Операция отождествления и стягивания в графе
Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные. Теория графов дает простой, доступный и мощный инструмент построения моделей и решения задач упорядочения объектов. В настоящее время существует множество проблем, где требуется построить некоторые сложные системы с помощью определенного упорядочения их элементов. Теория графов вызывает большой интерес у специалистов многих прикладных дисциплин. В частности, весьма эффективным является применение этой теории к анализу электрических цепей и проектированию самонастраивающихся анализаторов дефектов.
1.Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
2.Что такое узловая матрица?
3.Что такое контурная матрица?
4.Что такое матрица сечений?
5.Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе независимых уравнений:
Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера.
Ответ:
6. Составить матрицу главных контуров для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано ветвями 2, 1 и 5
Ответ:
7. Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9).
Исследование, описанное в статье про топология электрической цепи, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое топология электрической цепи и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теоретические основы электротехники
Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.
Комментарии
Оставить комментарий
Теоретические основы электротехники
Термины: Теоретические основы электротехники