Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации кратко

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое метод кусочно-линейной аппроксимации, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое метод кусочно-линейной аппроксимации , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теоретические основы электротехники.

В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4-3-0-1-2-5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.

Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа

линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике, переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения, но и к определению моментов “переключения” между ними, т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется, если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти к другому сочетанию.

Таблица 1. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ нелинейного резистора

Участок кривой

Схема замещения

Параметры

элементов

Граничные

условия

0 - 1
1 - 2
2 - 5
3 - 0
2 - 5
36. Метод кусочно-линейной аппроксимации 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

Необходимо отметить, что всегда имеется единственное сочетание линейных участков характеристик нелинейных элементов, соответствующее изменению входного сигнала в некоторых пределах.

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

В качестве примера определим напряжение 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации в цепи на рис. 2, в которой 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации . ВАХ нелинейного резистора приведена на рис. 3, где 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .

Решение

1. В соответствии с заданной ВАХ нелинейный резистор на участке 1-2 заменяем линейным резистором с сопротивлением

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации ,

на участке 2-3-источником тока с током 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и на участке 4-1-источником тока с током 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .

2. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . На основании данной эквивалентной замены для тока на участке 1-2 ВАХ можно записать:

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации (1)

откуда

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

При движении изображающей точки по участку 2-3 ВАХ имеем

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации ,

при движении по участку 1-4 ВАХ-

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .

3. Определяем интервалы движения изображающей точки по отдельным участкам ВАХ. Для точки излома 1 на основании (1) справедливо уравнение

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

или

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .

Отсюда получаем два значения мгновенной фазы питающего напряжения на одном периоде, соответствующих точке 1: 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации . Первое значение определяет переход изображающей точки с участка 4-1 на участок 1-2, второе – с участка 2-1 на участок 1-4.

Аналогично записываем для точки 2 излома ВАХ

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

или

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

откуда 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации (значение, соответствующее переходу с участка 1-2 на участок 2-3) и 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации (значение, соответствующее переходу с участка 3-2 на участок 2-1).

Таким образом, получаем для одного периода питающего напряжения

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

В соответствии с периодичностью синусоидальной функции данные решения повторяются через 360°n.

На рис. 4 представлен график зависимости искомой величины.

Метод гармонического баланса

Применение аналитического выражения для аппроксимации характеристики нелинейного элемента позволяет наименее трудоемко провести расчет, когда закон изменения во времени одной из переменных, определяющих работу нелинейного элемента (ток или напряжение для резистора, потокосцепление или ток для катушки индуктивности, заряд или напряжение для конденсатора), задан или вытекает из предварительного анализа физических условий протекания процесса, что имело место при решении предыдущих задач данного раздела. Если такая определенность отсутствует, то задачу в общем случае можно решить только приближенно. Одним из таких методов, наиболее широко применимым на практике, является метод гармонического баланса.

Метод основан на разложении периодических функций в ряд Фурье. В общем случае искомые переменные в нелинейной электрической цепи несинусоидальны и содержат бесконечный спектр гармоник. Ожидаемое решение можно представить в виде суммы основной и нескольких высших гармоник, у которых неизвестными являются амплитуды и начальные фазы. Подставляя эту сумму в нелинейное дифференциальное уравнение, записанное для искомой величины, и приравнивая в полученном выражении коэффициенты перед гармониками (синусоидальными и косинусоидальными функциями) одинаковых частот в его левой и правой частях, приходим к системе из 2n алгебраических уравнений, где n-количество учтенных гармоник. Необходимо отметить, что точное решение требует учета бесконечного числа гармоник, что невозможно осуществить практически. В результате ограничения числа рассматриваемых гармоник точный баланс нарушается, и решение становится приближенным.

Методика расчета нелинейной цепи данным способом включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

  • 1. Записываются уравнения состояния цепи для мгновенных значений.
  • 2. Выбирается выражение аналитической аппроксимации заданной нелинейности.
  • 3. На основе предварительного анализа цепи и нелинейной характеристики задается выражение искомой величины в виде конечного ряда гармоник с неизвестными на этом этапе амплитудами 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и начальными фазами 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .
  • 4. Осуществляется подстановка функций, определенных в пунктах 2 и 3, в уравнения состояния с последующей реализацией необходимых тригонометрических преобразований для выделения синусных и косинусных составляющих гармоник.
  • 5. Производится группировка членов в полученных уравнениях по отдельным гармоникам, и на основании приравнивания коэффициентов при однопорядковых гармониках в их левых и правых частях (в отдельности для синусных и косинусных составляющих) записывается система нелинейных алгебраических (или трансцендентных) уравнений относительно искомых амплитуд 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и начальных фаз 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации функции разложения определяемой величины.
  • 6. Осуществляется решение (в общем случае численными методами на ЭВМ) полученной системы уравнений относительно 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .

Частным случаем метода гармонического баланса является метод расчета по первым гармоникам несинусоидальных величин (метод гармонической линеаризации), когда высшими гармониками искомых переменных, а также входных воздействий пренебрегают. При анализе используется характеристика нелинейного элемента по первым гармоникам, для получения которой в аналитическое выражение нелинейной характеристики для мгновенных значений подставляется первая гармоника одной из двух переменных, определяющих эту характеристику, и находится нелинейная связь между амплитудами первых гармоник этих переменных. Этапы расчета соответствуют изложенным для метода гармонического баланса. При этом, в силу того, что конечная система нелинейных уравнений имеет второй порядок, в ряде случаев появляется возможность их аналитического решения. Кроме того, поскольку рассматриваются только первые гармоники несинусоидальных величин, при расчете можно использовать символический метод.

Пусть, например, в цепи, питаемой от источника синусоидального напряжения 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и состоящей из последовательно соединенных линейного резистора 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и нелинейной катушки, вебер-амперная характеристика которой задана аппроксимацией вида 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации , необходимо определить первую гармонику тока, задаваемую выражением 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации , где 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации - неизвестные (искомые величины).

Для решения определяем аналитическое выражение характеристики 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации для первых гармоник:

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

откуда

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации . (2)

После подстановки выражения тока и соотношения (2) в уравнение состояния цепи

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

получаем

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

или

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

На основании последнего получаем систему уравнений

36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

из которых находим искомые параметры 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .

Контрольные вопросы и задачи

  1. В чем заключается сущность метода кусочно-линейной аппроксимации?
  2. На чем основан метод гармонического баланса?
  3. Сформулируйте основные этапы расчета нелинейной цепи методом гармонического баланса.
  4. В чем состоит сущность метода расчета по первым гармоническим?
  5. Как определяется характеристика нелинейного элемента для первых гармоник?
  6. Резистивная нагрузка подключена к источнику синусоидального напряжения через последовательно включенный с ней диод. Считая ВАХ диода идеальной, определить коэффициент мощности. Обоснуйте физически полученный результат.
  7. Последовательно соединенные линейный конденсатор с 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации и нелинейная катушка, вебер-амперная характеристика которой аппроксимирована выражением 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации , где 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации , питаются от источника синусоидального напряжения 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации . Ограничившись рассмотрением первой и третьей гармонических, определить потокосцепление.

Ответ: 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .

Ответ: 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации .

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Исследование, описанное в статье про метод кусочно-линейной аппроксимации, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое метод кусочно-линейной аппроксимации и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теоретические основы электротехники

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про метод кусочно-линейной аппроксимации

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.

создано: 2020-12-18
обновлено: 2021-12-29
132265



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Теоретические основы электротехники

Термины: Теоретические основы электротехники