Теорема Стоуна–Вейерштрасса. Компактно-открытая топология на C(X, Y ). Отображения X × Y → Z и X → C(Y, Z).
связность .
компоненты связности .
40.4. Теорема (Стоуна–Вейерштрасса). Пусть кольцо K непрерывных вещественнозначных функций на хаусдорфовом компактном пространстве X содержит все постоянные функции, разделяет точки и замкнуто относительно топологии равномерной сходимости на C
∗
(X).
Тогда K = C
∗
(X).
Доказательство. Для каждой функции k ∈ K, отличной от константы, положим g(x) =
k(x)+Mk
2Mk
, где Mk = ||k||. Обозначим семейство функций g : X → I через A. Диагональное произведение
F = ∆{g : g ∈ A} : X → I
A,
являясь инъективным непрерывным отображением компактного пространства, есть вложение X
в тихоновский куб I
A.
Любая функция f : X → R продолжается по Теореме Брауэра–Титце–Урысона до функции
˜f : I
A → R такой, что f = ˜f ◦ F. По Теореме 40.3 для любого ε > 0 существует полиномиальная
функция на I
A
p(y) = p
1
1
(prg
1
1
(y)) · · · · · p
1
k(1)(prg
1
k(1)
(y)) + · · · + p
m
1
(prgm1
(y)) · · · · · p
m
k(m)
(prgm
k(m)
(y))
такая, что |
˜f(y) − p(y)| < ε, для любой точки y ∈ I
A. Тогда для любой точки x ∈ X имеем
|f(x) − p(F(x))| = |
˜f(F(x)) − p(F(x))| < ε.
При этом, так как g = prg ◦ F для g ∈ A, то
p(F(x)) = p
1
1
(prg
1
1
(F(x)))·· · ··p
1
k(1)(prg
1
k(1)
(F(x)))+· · ·+p
m
1
(prgm1
(F(x)))·· · ··p
m
k(m)
(prgm
k(m)
(F(x))) =
= p
1
1
(g
1
1
(x)) · · · · · p
1
k(1)(g
1
k(1)(x)) + · · · + p
m
1
(g
m
1
(x)) · · · · · p
m
k(m)
(g
m
k(m)
(x)).
Функции p
j
i
◦ g
j
i ∈ K, j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , k(j), значит и p ◦ F ∈ K.
§ 41. Компактно-открытая топология на C(X, Y ).
41.1. Компактно-открытая топология на C(X, Y ). Предбазу компактно-открытой топологии Tco на множестве C(X, Y ) образуют множества вида
[K, U] = {f ∈ C(X, Y ) : f(K) ⊂ U},
где K — компактное множество в X, а U — открытое множество в Y .
41.2. Предложение. Если пространство Y хаусдорфово, то пространство (C(X, Y ), Tco)
также хаусдорфово.
Доказательство. Пусть fi
: X → Y — различные отображения, i = 1, 2. Существует точка
x ∈ X, для которой f1(x) 6= f2(x). Возьмем непересекающиеся окрестности U1 и U2 точек f1(x)
и f2(x). Тогда множества Vi =
{x}, Ui
, i = 1, 2, не пересекаются и fi ∈ Vi
.
41.3. Теорема.
Tco ≥ T |C(X,Y )
.
Если X дискретно, то Tco = T |C(X,Y )
.
Если (Y, d) метрическое пространство, то
Td0 |C(X,Y ) ≥ Tco,
и топологии совпадают в случае хаусдорфова компактного пространства X.
Доказательство. Множество U = pr−1
x O ∩ C(X, Y ), x ∈ X, из предбазы топологии T |C(X,Y )
очевидно является множеством вида [{x}, O] из предбазы компактно-открытой топологии Tco.
Тем самым первое неравенство доказано. Равенство топологий в случае дискретного X следует
из конечности компактных подмножеств X.
Для доказательства второго неравенства достаточно показать, что любое множество [K, U] из
предбазы компактно-открытой топологии открыто в топологии равномерной сходимости. Пусть
f = (f(x))x∈X ∈ [K, U]. Так как f(K) ⊂ U и f(K) компактно, то d(f(K), Y \U) = inf{d(t, Y \U) :
t ∈ f(K)} = > 0 (функция dY \U : X → R+, dY \U (x) = d(x, Y \ U), непрерывна (Пример 13.6
Лекции 3, и f(K) компактно). Тогда O(f) ⊂ [K, U] и второе неравенство доказано.
70
Докажем равенство топологий в случае хаусдорфова компактного X. Для этого достаточно
показать, что в любой окрестности прозвольного отображения в топологии равномерной сходимости содержится его окрестность в компактно-открытой топологии.
Возьмем базисную окрестность O(f) отображения f в топологии равномерной сходимости.
Для любой точки x ∈ X существует ее окрестность Ox такая, что f(Cl(Ox)) ⊂ Oε
2
(f(x)). В
силу компактности X выберем конечное подпокрытие {Ox1
, . . . , Oxn } из покрытия {Ox : x ∈
X}. Тогда для множеств [Cl(Oxi
), Oε
2
(f(xi))], i = 1, . . . , n, из предбазы компактно-открытой
топологии выполнено
f ∈
\n
i=1
[Cl(Oxi
), Oε
2
(f(xi))] ⊂ O(f).
§ 42. Отображения X × Y → Z и X → C(Y, Z).
42.1. Отображения X × Y → Z и X → C(Y, Z). Пусть даны пространства X, Y, Z и непрерывное отображение f : X × Y → Z. Тогда определено отображение F : X → C(Y, Z),
(F(x))(y) = f(x, y). (42.1)
Теперь пусть дано отображение F : X → C(Y, Z). Тогда определено отображение f : X ×Y → Z,
задаваемое формулой
f(x, y) = (F(x))(y). (42.2)
42.2. Теорема. Для непрерывного отображения f : X × Y → Z отображение F : X →
C(Y, Z) (42.1), в пространство непрерывных отображений C(Y, Z) с компактно-открытой топологией, непрерывно.
Обратное утверждение выполняется, если пространство Y локально компактно.
Доказательство. Согласно Предложению 13.3 Лекции 3 достаточно для точки x0 ∈ X и
предбазисной окрестности [K, U] функции F(x0)
(т.е. (F(x0))(K) ⊂ U) (42.3)
найти такую окрестность Ox0, что F(Ox0) ⊂ [K, U].
Для каждой точки y ∈ K фиксируем такие окрестности Vy и Wy точек x0 в X и y в Y
соответственно, что
f(Vy × Wy) ⊂ U. (42.4)
Это возможно, в силу (42.1) и (42.3). Из семейства {Wy : y ∈ K} выделим конечное подсемейство
Wy1
, . . . , Wyn
, покрывающее множество K. Тогда Ox0 =
Tn
i=1 Vyi является окрестностью точки
x0 и
f(Ox0 × K) ⊂ f(
[n
i=1
Vyi × Wyi
) ⊂ (42.4) ⊂ U. (42.5)
Из (42.5) и (42.1) вытекает, что F(Ox0) ⊂ [K, U].
Доказательство обратного утверждения. Для точки (x0, y0) ∈ X × Y и окрестности W точки
f(x0, y0) возьмем окрестность V точки y0 с компактным замыканием Cl(V ), содержащимся в
(F(x0))−1
(W). В силу непрерывности отображения F, существует такая окрестность U точки x0,
что F(U) ⊂
Cl(U), W
. Тогда U × W — окрестность точки (x0, y0), удовлетворяющая условию
f(U × V ) ⊂ W согласно определению (42.2) и условию F(U) ⊂
Cl(V ), W
.
§ 43. Связность. Компоненты связности.
43.1. Определение. Пространство X называется связным, если его нельзя представить в
виде объединения двух непустых открытых непересекающихся множеств.
Пространство X несвязно тогда и только тогда, когда X представляется в виде X = A ∪ B
объединения непересекающихся непустых открыто-замкнутых множеств A и B.
43.2. Примеры. 1. Пустое множество и пространство, состоящее из одной точки, связны.
2. Если пространство X состоит из двух различных точек a и b (Пример 8.2.2 Лекции 2), то
топологии T1 = {∅, X} (“слипшееся двоеточие”), T2 =
∅, {a}, X
, T3 =
∅, {b}, X
(“связные
двоеточия”) связны.
3. Конечное T1-пространство, содержащее не менее двух точек, несвязно.
4. Подпространства Q ⊂ R (соответственно P ⊂ R) рациональных (соответственно иррациональных) чисел числовой прямой R несвязны.
5. Отрезок [0, 1] связен (доказывается в курсе математического анализа).
71
43.3. Лемма. Если связное подпространство X0 пространства X пересекается с открытозамкнутым множеством U ⊂ X, то X0 ⊂ U.
Доказательство. Действительно, в противном случае X0 = (U ∩ X0) ∪ ((X \ U) ∩ X0), где
(U ∩X0) и (X \U)∩X0 — непустые дизъюнктные открытые подмножества X0. Это противоречит
связности X0.
43.4. Предложение. Пусть Zα — связные подмножества пространства X, α ∈ A. Если
Z0 =
T
α∈A Zα 6= ∅, то множество Z =
S
α∈A Zα связно.
Замыкание связного множества связно.
Доказательство. Если первое утверждение неверно, то Z представляется в виде объединения непересекающихся непустых открыто-замкнутых множеств A и B. Пусть точка x0 ∈ Z0
принадлежит одному из этих множеств, например, x0 ∈ A. Тогда для любой точки x ∈ Z связное множество Zα, которому принадлежат точки x0, x, принадлежит A согласно Лемме 43.3.
Следовательно, Z ⊂ A и B = ∅. Получили противоречие.
Пусть Z — связное подмножество пространства X. Если второе утверждение неверно, то Cl(Z)
представляется в виде объединения непересекающихся непустых открыто-замкнутых множеств
A и B. Так как Z всюду плотно в Cl(Z), то A ∩ Z 6= ∅ и B ∩ Z 6= ∅. Тем самым Z несвязно.
Получили противоречие.
43.5. Свойства связности.
1. Пусть Z — связное подмножество X. Тогда любое подмножество Z
0 такое, что Z ⊂ Z
0 ⊂
Cl(Z), связно.
2. Непрерывный образ связного пространства связен.
3. Тихоновское произведение связных пространств — связное пространство.
Пусть X =
Q
α∈A Xα и Xα — связное пространство, α ∈ A. Зафиксируем точку x = (xα) ∈ X
и для любого конечного подмножества F = {α1, . . . , αk} ⊂ A рассмотрим подмножество XF =
{y = (yα) ∈ X : yα = xα, если α 6∈ F}. Легко заметить, что XF гомеоморфно произведению
Xα1 × . . . × Xαk
.
Обозначим семейство конечных подмножеств A через AFin, Y =
S
F ∈AFin XF . Тогда Y всюду
плотно в X. Действительно, любое базисное открытое множество имеет вид O =
Tk
i=1 pr−1
αi Oi
,
где Oi открыто в Xαi
. Тогда для F = {α1, . . . , αk} ⊂ A точка (yα), yα = xα, если α 6∈ F, и
yαi ∈ Oi
, содержится в O ∩ XF . Поэтому, если Y связно, то и X связно (как его замыкание).
Подмножество Y связно, если все подмножества XF , F ∈ AFin, связны (их пересечение не
пусто (точка x принадлежит всем этим множествам)).
Связность пространств Xα1 × . . . × Xαk
, гомеоморфных XF , доказывается индукцией по количеству сомножителей. Доказательство для двух сомножителей является основным.
Пусть A и B — связные пространства. Зафиксируем точку (a, b) ∈ A × B. Тогда для любого
x ∈ A множество Tx = ({x} × B) ∪ (A × {b}) является связным, и A × B =
S
x∈A Tx связно (по
Предложению 43.4).
43.6. Определение. Непустое связное множество Z в пространстве X называется максимальным связным множеством или компонентой связности пространства X, если всякое связное множество Z1, удовлетворяющее условию Z ⊂ Z1 ⊂ X, совпадает с Z.
Любая компонента связности пространства X замкнута в X (Предложение 43.4).
Всякое пространство X является дизъюнктной суммой своих компонент связности (Предложение 43.4). Значит всякая точка x пространства X лежит в единственной компоненте связности,
которая обозначается через Cx и называется компонентой связности точки x.
43.7. Примеры. 1. В связном пространстве одна компонента связности.
2. В пространстве Q компоненты связности одноточечны.
3. В произведении Q × R ⊂ R
2 компонентами связности являются вертикальные прямые,
задаваемые уравнениями x = r, где r — рациональное число.
4. Пространство X называется локально связным, если во всякой окрестности произвольной
точки x ∈ X содержится связная окрестность. Компоненты связности локально связного пространства открыто-замкнуты.
43.8. Предложение. Компонента связности точки x = (xα) произведения X =
Q
α∈A Xα
совпадает с произведением Q
α∈A Cα компонент связности Cα точек xα в сомножителях Xα,
α ∈ A.
72
Доказательство. Пусть Cx — компонента связности точки x = (xα). Из пункта 43.5.2 следует,
что prα(Cx) — связное подмножество Xα и xα ∈ prα(Cx) ⊂ Cα. Значит Cx ⊂
Q
Q α∈A Cα. Но
α∈A Cα связно (пункт 43.5.3), и значит Cx =
Q
α∈A Cα.
43.9. Определение. Пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств пространства X,
содержащих точку x ∈ X, называется квазикомпонентой точки x и обозначается через Qx.
43.10. Предложение. Для всякой точки x ∈ X ее компонента связности Cx содержится
в квазикомпоненте Qx.
Доказательство. Пусть Uα — какое-нибудь открыто-замкнутое множество, содержащее точку x. Из Леммы 37.3 получаем, что Cx ⊂ Uα. Тогда Cx ⊂
T
x∈Uα
Uα = Qx.
43.11. Пример пространства, в котором квазикомпонента не совпадает с компонентой
связности.
Рассмотрим плоское множество X, которое есть объединение двух вертикальных прямых α и
β, задаваемых соответственно уравнениями x = −1, x = 1, и контуров прямоугольников qn, две
стороны которых имеют уравнения x = −1+ 1
n
, x = 1−
1
n
, а две другие лежат на горизонтальных
прямых y = n, y = −n, n ≥ 2.
Докажем, что объединение двух прямых α и β является квазикомпонентой в пространстве X.
В самом деле, всякое открыто-замкнутое множество U, пересекающееся с прямой α, содержит
всю эту прямую и контуры всех прямоугольников qn, начиная с некоторого n0, и, следовательно,
будучи замкнутым, содержит прямую β. Таким образом, квазикомпонента произвольной точки
a ∈ α содержит множество α ∪ β. Но Qa является пересечением всех открыто-замкнутых множеств, содержащих точку a. Поэтому эта квазикомпонента не может пересекаться ни с одним из
контуров qn, т.е. Qa = α ∪ β. Но это множество несвязно и, значит, не является компонентой.
43.12. Теорема. В компактном хаусдорфовом пространстве X компонента связности Cx
любой точки x ∈ X совпадает с ее квазикомпонентой Qx.
Доказательство. Согласно Предложению 43.10 достаточно проверить, что
Cx ⊃ Qx =
\
α∈A
Uα, (43.1)
а для этого достаточно показать, что множество Qx связно. Если это не так, то Qx представляется
в виде дизъюнктной суммы непустых замкнутых в Qx (а значит и в X) множеств F1 и F2. В силу
нормальности компактного пространства X, существуют непересекающиеся окрестности OF1 и
OF2, объединение которых OQx = OF1 ∪ OF2 является окрестностью Qx.
Покажем, что в ней содержится открыто-замкнутая окрестность U. Семейство открытых множеств
v = {X \ Uα : α ∈ A}
покрывает компактное подпространство X \ OQx. В v можно выбрать конечное подсемейство
{X\Uαi
: i = 1, . . . , n}, покрывающее X\OQx. Тогда U =
Tn
i=1 Uαi — искомая открыто-замкнутая
окрестность.
Положим Wi = U ∩ OFi
, i = 1, 2. Из условия U ⊂ OF1 ∪ OF2 вытекает, что множества W1 и
W2 открыто-замкнуты в X. Точка x лежит в одном из этих множеств, например, в W1. Тогда и
квазикомпонента Qx лежит в W1. Следовательно, Qx∩W2 = ∅ и поэтому Qx∩F2 = ∅, поскольку
F2 ⊂ U ∩ OF2 = W2. Полученное противоречие доказывает связность Qx.
Задание N 13
1. Докажите, что если f ∈ C(X × Y, Z), то F : X → C(Y, Z) (см. пункт 42.1 Лекции 13)
непрерывно, где множество отображений C(Y, Z) с топологией поточечной сходимости. Привести
пример, когда отображение f ∈ C(X ×Y, Z), определяемое непрерывным отображением F : X →
C(Y, Z), где множество отображений C(Y, Z) с топологией поточечной сходимости, не является
непрерывным.
2. Докажите, что если отображение F : X → C(Y, Z), где множество отображений C(Y, Z) с
топологией равномерной сходимости, непрерывно, то отображение f ∈ C(X × Y, Z) (см. пункт
42.1 Лекции 13) непрерывно. Привести пример, когда отображение F : X → C(Y, Z), определяемое непрерывным отображением f ∈ C(X × Y, Z), где множество отображений C(Y, Z) с
топологией равномерной сходимости, не является непрерывным.
3. Докажите, что отображение
73
◦ : C(X, Y ) × C(Y, Z) → C(X, Z), ◦(f, g) = g ◦ f
пространств отображений в компактно-открытых топологиях, непрерывно.
4. Докажите, что отрезок [0, 1] связен.
5. Пусть T1 ≤ T2 — топологии на X. Что можно сказать о связности X в одной топологии,
если X связно в другой топологии?
6. Докажите, что объединение семейства попарно пересекающихся связных подмножеств связно.
7. Пусть A ∩ B и A ∪ B — связные множества. Верно ли, что A и B — связные множества? А
если, дополнительно, оба множества открыты (замкнуты)?
8. Верно ли, что пересечение связных множеств связно? Будет ли счетное пересечение связных
множеств An таких, что A1 ⊃ A2 ⊃ . . . связно?
9. Докажите, что счетное пересечение связных компактных подмножеств хаусдорфова пространства An таких, что A1 ⊃ A2 ⊃ . . . связно.
10. Будет ли внутренность связного множества связна? Будет ли граница связного множества
связна? Будет ли множество связно, если его граница связна?
11. Пусть A ⊂ X. Докажите, что если C связное подпространство X, пересекающее как A,
так и X \ A, то C ∩ BdA 6= ∅.
12. Пусть A и B собственные подмножества связных пространств X и Y соответственно (т.е.
A 6= X, B 6= Y ). Докажите, что (X × Y ) \ (A × B) связно.
13. Будет ли прообраз при непрерывном отображении связного множества связен, если прообраз любой точки связен?
14. Докажите, что счетное нормальное пространство несвязно. Оцените снизу мощность бесконечного нормального связного пространства. Существует ли счетное хаусдорфово связное пространство?
15. Какие из следующих пространств
N × [0, 1), [0, 1) × N, [0, 1) × [0, 1], [0, 1] × [0, 1)
с топологиями, порожденными лексикографическим порядком на произведениях, будут связными?
16. Докажите связность пространств R
n, сфер S
n и замкнутых шаров Bn, n ∈ N.
17. Докажите, что R и R
n, n > 1, не гомеоморфны.
Докажите, что [0, 1], [0, 1) и (0, 1) попарно не гомеоморфны.
18. Пространство X называется локально связным, если во всякой окрестности произвольной
точки x ∈ X содержится связная окрестность. Докажите, что компоненты связности локально
связного пространства открыто-замкнуты.
19. Найдите компоненты связности следующих подпространств вещественных матриц:
(a) GL(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : det A 6= 0};
(b) O(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : AAT = E};
(c) Symm(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : AT = A}?
Дополнительные задачи Задания N 13
20. Докажите, что отображение
Λ : C(X × Y, Z) → C
X, C(Y, Z)
,
пространств отображений в компактно-открытых топологиях, определяемое условием Λ(f) = F
(см. пункт 42.1 Лекции 13), непрерывно для любых X, Y, Z. Если же Y хаусдорфово и локально
компактно, то это отображение является гомеоморфизмом.
21. Докажите связность линейно упорядоченного пространства X такого, что:
1) любое ограниченное подмножество X имеет точную верхнюю грань в X;
2) если x < y, то существует z ∈ X, x < z < y.
22. Докажите, что не существует непрерывной биекции прямой на квадрат.
74
23. Докажите, что R
N в топологии равномерной сходимости несвязно?
24. Верно ли утверждение, что функция на отрезке непрерывна в том и только том случае,
если образ любого отрезка отрезок?
25. Докажите, что если A — открытое связное ограниченное множество на плоскости, то
существует единственная прямая, параллельная фиксированной прямой l, которая делит A на
два множества равной площади.
Докажите, что если A и B — открытые связные ограниченные множества на плоскости, то
существует прямая, которая делит каждое из множеств A и B на два множества равной площади.
Докажите, что если A — открытое связное ограниченное множество на плоскости, то существуют две перпендикулярные прямые, которые делят A на четыре множества равной площади.
26. Докажите, что для любой непрерывной функции f : S
1 → R существует точка x такая,
что f(x) = f(−x).
27. Докажите, что пространство гомеоморфизмов отрезка [0, 1] в компактно-открытой топологии имеет две компоненты связности.
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология