23.2 Линейное пространство непрерывных ограниченных функций на X с нормой ||f|| =
sup
|f(x)| : x ∈ X
(см. Пример 9.4.5 Лекции 2) обозначается C
∗
(X). Метрика на C
∗
(X), порожденная этой нормой (см. Предложение 10.5 Лекции 2), называется метрикой равномерной
сходимости. Она полна (т.е. любая фундаментальная последовательность точек пространства
C
∗
(X) сходится к некоторой точке C
∗
(X)). Этот факт будет доказан позже. Сформулируем это
утверждение в терминах сходимости функций.
Последовательность функций fn ∈ C
∗
(X), n ∈ N, равномерно сходится к функции f ∈ C
∗
(X),
если для произвольного ε > 0 существует такое n0 ∈ N, что
||f(x) − fn(x)|| < ε для всех n ≥ n0.
Последовательность функций fn ∈ C
∗
(X), n ∈ N, называется фундаментальной, если для
произвольного ε > 0 существует такое n0 ∈ N, что
||fm(x) − fn(x)|| < ε для всех m, n ≥ n0.
Теорема. Фундаментальная последовательность функций fn ∈ C
∗
(X), n ∈ N, равномерно
сходится к функции f ∈ C
∗
(X).
23.3. Теорема Брауэра–Титце–Урысона. Пусть F — замкнутое подмножество нормального пространства X и ϕ : F → R — непрерывная ограниченная функция. Тогда существует такая непрерывная функция ψ : X → R, что
ψ|F = ϕ и ||ψ|| = sup
|ψ(x)| : x ∈ X
= ||ϕ|| = sup
|ϕ(x)| : x ∈ F
.
Доказательство. Положим ϕ0 = ϕ и µ0 = ||ϕ0||.
Считаем, что µ0 > 0. В противном случае полагаем ψ ≡ 0. Пусть
P0 =
x ∈ F : ϕ0(x) ≤ −µ0/3
, Q0 =
x ∈ F : ϕ0(x) ≥ µ0/3
.
Множества P0 и Q0 замкнуты в X и не пересекаются. По Лемме Урысона, заменяя отезок [0, 1]
на [−µ0/3, µ0/3], существует такая непрерывная функция ψ0 : X → [−µ0/3, µ0/3], что
ψ0(P0) = −µ0/3, ψ0(Q0) = µ0/3.
Положим ϕ1 = ϕ0 − ψ0 : F → R. Функция ϕ1 непрерывна и ||ϕ1|| = µ1 ≤ 2µ0/3.
Теперь полагаем
P1 =
x ∈ F : ϕ1(x) ≤ −µ1/3
, Q1 =
x ∈ F : ϕ1(x) ≥ µ1/3
.
Строим непрерывную функцию ψ1 : X → [−µ1/3, µ1/3] так, что
ψ1(P1) = −µ1/3, ψ1(Q1) = µ1/3.
Полагаем ϕ2 = ϕ1 − ψ1 и т.д.
Получаем последовательность ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn, . . . непрерывных функций на F и последовательность ψ0, ψ1, . . . , ψn, . . . непрерывных функций на X таких, что ϕn+1 = ϕn − ψn, ||ψn|| ≤
µn/3, ||ϕn+1|| = µn+1 ≤ 2µn/3. Следовательно,
||ϕn|| ≤ (2/3)nµ0, ||ψn|| ≤ (2/3)nµ0/3.
Положим sn = ψ0 + . . . + ψn. Последовательность непрерывных на X функций sn является
фундаментальной последовательностью в C
∗
(X). В самом деле, при m > n имеем
||sm − sn|| = ||ψn+1 + . . . + ψm|| ≤ ||ψn+1|| + . . . + ||ψm|| ≤ Xm
k=n+1
2
3
k µ0
3
<
X∞
k=n+1
2
3
k µ0
3
=
2
3
n+1 µ0
3
X∞
k=0
2
3
k
=
2
3
n+1
µ0.
Согласно п. 23.2 последовательность sn равномерно сходится к непрерывной функции ψ ≡
P∞
n=0
ψn. Имеем
||ψ|| ≤ ||ψ − sn|| + ||sn|| ≤ ||ψ − sn|| +
X∞
n=0
2
3
n µ0
3
= ||ψ − sn|| + µ0
40
для любого n ∈ N. Так как limn→∞ ||ψ − sn|| = 0, то ||ψ|| ≤ µ0 = ||ϕ||. Далее,
ϕ − sn = ϕ0 − ψ0 − ψ1 − . . . − ψn = ϕ1 − ψ1 − . . . − ψn = ϕn − ψn = ϕn+1.
Значит, ||ϕ − sn|| ≤
2
3
n+1
µ0. Поэтому limn→∞ ||ϕ − sn|| = 0, ψ|F = ϕ и ||ϕ|| = ||ψ||.
23.4. Следствие. Утверждение Теоремы 23.3 имеет место и для неограниченных функций.
Доказательство. В самом деле, пусть ϕ : F → R — неограниченная функция. Рассмотрим
функцию ϕ0 : F →
−
π
2
,
π
2
, определяемую следующим образом:
ϕ0(x) = arctg
ϕ(x)
.
Согласно Теореме 23.3 функция ϕ0 продолжается до непрерывной функции ψ0 : X →
−
π
2
,
π
2
.
Положим F0 = ψ
−1
0
−
π
2
,
π
2
. По Лемме Урысона существует такая функция ψ1 : X → [0, 1],
что ψ1(F0) = 0 и ψ1(F) = 1. Определим функцию (ее непрерывность доказать самостоятельно)
ψ : X → R, полагая
ψ(x) = tg
ψ1(x) · ψ0(x)
.
Это и будет искомым продолжением функции ϕ.
23.5. Пример (регулярного не нормального пространства).
Прямая Зоргенфрея X (Пример 8.5.3 Лекции 2) является примером нормального пространства X, квадрат которого не нормален.
1. Пространство X нормально. Легко видеть, что X — T1-пространство (например, потому,
что всякий интервал [a, b) одновременно открыт и замкнут в X). Пусть F, T — дизъюнктные
замкнутые подмножества X. Для любой точки x ∈ F (y ∈ T) возьмем произвольную ее открытозамкнутую окрестность вида [x, ax) ([y, by)), не пересекающуюся с T (с F). Положим
OF =
[
{[x, ax) : x ∈ F}, OT =
[
{[y, by) : y ∈ T}.
Легко видеть, что OF ∩ OT = ∅.
2. Квадрат X ×X не нормален. В самом деле, рассмотрим побочную диагональ, т.е. множество
Y всех точек вида (a, −a), a ∈ R. Поскольку множества [a, b) × [−a, c) являются окрестностями
точки (a, −a) в X ×X, всякая точка y ∈ Y изолирована в Y , т.е. Y — дискретное подпространство
произведения X × X. В то же время, Y замкнуто в X × X. Поэтому всякое множество Z ⊂ Y
замкнуто в X × X.
Множество Y имеет мощность континуума c. Для каждого множества Z ∈ 2
Y рассмотрим
непрерывную функцию ϕZ : Y → [0, 1], равную 0 на Z и 1 на Y \ Z. Количество таких функций
имеет мощность 2
c
. Если бы пространство X × X было нормально, то всякую функцию ϕZ
можно было бы продолжить до непрерывной функции fZ : X × X → [0, 1] по теореме Брауэра–
Титце–Урысона. Но пространство X ×X имеет счетное плотное множество D точек вида (x1, x2),
где xi ∈ Q — рациональные числа. Согласно Предложению 22.4 Лекции 5 всякое непрерывное
отображение f : X ×X → [0, 1] однозначно определяется своими значениями на счетном плотном
множестве D. Но множество [0, 1]D всех (не только непрерывных) отображений g : D → [0, 1]
имеет мощность |(2N)
N| = |2
N·N| = |2
N| = c. Это противоречие (Теорема 5.1 Лекции 1) показывает,
что квадрат X не нормален.
23.6. Замечание Квадрат прямой Зоргенфрея является примером сепарабельного пространства, содержащим не сепарабельное подпространство (например, побочную диагональ).
§ 24.
кривая пеано .
В Предложении 5.3 определено сюръективное отображение f : 2N → I = [0, 1]. Точке произведения (in)n∈N ставится в соответствие точка t ∈ I, с двоичной записью t = 0, i1i2 . . . in . . ..
24.1. Предложение. f : 2N → I = [0, 1] — непрерывное отображение.
Доказательство. Для точки (ik)k∈N ∈ 2
N и окрестности O = (t −
1
2n , t +
1
2n ) ее образа t,
множество U =
T
{pr−1
k
(ik) : k = 1, . . . , n + 1} является открытой окрестностью (ik)k∈N в 2
N, и
f(U) ⊂ O. Отсюда следует непрерывность f в произвольной точке (ik)k∈N ∈ 2
N, а значит и на
2
N.
24.2. Теорема (Кривая Пеано). Существует непрерывное отображение отрезка на квадрат.
Доказательство. Так как 2
N ×2
N гомеоморфно 2
N, то квадрат f ×f отображения f является
сюръекцией множества 2
N (гомеоморфного канторову множеству C) на квадрат I
2
. Обозначим
сюръекцию C на I
2 через F.
41
Рассматривая канторово множество C как подмножество отрезка I, а квадрат как подмножество R
2
, продолжим отображение F на отрезок. Отображение F определено на концах x < y
интервала J и интервалов Ji1...ik
. Для t ∈ Ji1...ik
(или J) положим F˜(t) = y−t
y−x
F(x) + t−x
y−x
F(y).
Тогда F˜ = F. Очевидна непрерывность ограничения F˜ на отрезки, являющиеся замыканием
интервала J и интервалов Ji1...ik
. Значит, F˜ непрерывно в точках дополнения до C.
Пусть x ∈ C. Для ε-окрестности Oε(F˜(x)) ее образа, которая является выпуклым подмножеством R
2
, существует отрезок Ii1...ik
такой, что F(C ∩Ii1...ik
) ⊂ Oε(F˜(x)) (так как F — непрерывное отображение). Тогда образы всех интервалов Ji1...ik...im, содержащихся в Ii1...ik
, при отображении F˜ содержатся в Oε(F˜(x)) (образ каждого интервала — интервал с концами в точках,
принадлежащих Oε(F˜(x)). Если x не является концом отрезка Ii1...ik
, то его внутренность является окрестностью точки x в I, образ которой принадлежит Oε(F˜(x)), и непрерывность F˜ в этой
точке доказана.
Пусть x — конец отрезка Ii1...ik
. Тогда она является концом отрезка I
0
, являющегося замыканием интервала, смежного к отрезку Ii1...ik
. Так как F˜ непрерывно на I
0
, то существует окрестность x в I
0
(в частности, полуинтервал [x, t) или (t, x]), образ которого при отображении F˜
содержится в Oε(F˜(x)). Тем самым внутренность множества [x, t) ∪ Ii1...ik или (t, x] ∪ Ii1...ik является окрестностью точки x и ее образ принадлежит Oε(F˜(x)). Непрерывность отображения F˜
в данной точке также доказана.
§ 25.
тихоновские пространства .
25.1. Определение. T1-пространство называется вполне регулярным или тихоновским, если
для всякой точки x ∈ X и всякого не содержащего ее замкнутого множества F существует
непрерывная функция f : X → [0, 1] такая, что f(x) = 1, f(F) = 0.
По Лемме Урысона 23.1 нормальное пространство является тихоновским, которое, в свою
очередь, является регулярным.
25.2. Предложение. Всякое подпространство тихоновского пространства является тихоновским пространством.
Произведение тихоновских пространств есть тихоновское пространство.
Доказательство. Докажем второе утверждение. Пусть X =
Q
α∈A Xα.
Для произвольной окрестности Ox точки x ∈ X найдем функцию f : X → [0, 1] такую, что
f(x) = 1, f(X \ Ox) = 0. По определению топологии произведения существуют такой конечный
набор индексов α1, . . . , αk и такие открытые множества Vi ⊂ Xα, что
x = (xα) ∈
\
{pr−1
αi
(Vi) : i = 1, . . . , k} ⊂ Ox.
Положим gi
: Xαi → [0, 1] так, что gi(xαi
) = 1, gi(X \ Vi) = 0, i = 1, . . . , k.
fi = gi ◦ prαi
: X → [0, 1], i = 1, . . . , k.
Тогда
f = f1 · . . . · fk : X → [0, 1]
является искомой функцией.
Тихоновский куб веса κ ≥ ℵ0 есть пространство I
κ =
Q
α∈A
Iα, где Iα = [0, 1] для каждого α ∈ A,
|A| = κ (κ-ая степень отрезка или произведение κ экземпляров отрезка). Тихоновский куб I
ℵ0
(счетная степень отрезка) называется гильбертовым кубом.
25.3. Лемма. Пусть семейство отображений fα : X → Iα = [0, 1], α ∈ A, |A| = κ, тихоновского пространства X разделяет точки и замкнутые множества, т.е. удовлетворяет
условию:
для любой точки x ∈ X и любого замкнутого множества T, x 6∈ T, существует α ∈ A такое,
что fα(x) = 1, fα(T) = 0.
Тогда диагональное произведение F = ∆α∈Afα : X →
Q
α∈A
Iα отображений fα, α ∈ A, —
вложение X в тихоновский куб I
κ
(т.е. гомеоморфизм X на F(X)).
Доказательство. Очевидно, что отображение F инъективно и непрерывно. Для доказательства непрерывности обратного отображения F
−1
: F(X) → X проверим его непрерывность в
произвольной точке y ∈ F(X). Пусть F(x) = y (т.е. F
−1
(y) = x), и Ox — окрестность точки x.
По условию на семейство fα, α ∈ A, для x ∈ X и замкнутого множества T = X \ Ox существует
42
α0 ∈ A такое, что fα0
(x) = 1, fα0
(T) = 0. Тогда W = pr−1
α0
((0, 1]) ∩ F(X) — окрестность точки y
в F(X), и
если F(t) ∈ W, то t ∈ Ox.
Значит F
−1
(W) ⊂ Ox.
Из Предложения 25.2 (достаточность) и Леммы 25.3 (необходимость) имеем.
25.4. Теорема. Пространство X является тихоновским в том и только том случае, если
оно вложимо в тихоновский куб I
κ
для некоторого κ.
§ 26.
метризуемые пространства . Теорема Урысона.
26.1. Теорема. Любое метризуемое пространство нормально.
Доказательство. Пусть ρ метрика на пространстве X, порождающая его топологию, F, T —
дизъюнктные замкнутые подмножества X.
Рассмотрим неотрицательные функции ρF : X → R, ρF (x) = inf{ρ(x, t) : t ∈ F}, и ρT : X → R,
ρT (x) = inf{ρ(x, t) : t ∈ T}. Они непрерывны (см. Пример 13.6 Лекции 3), и X \ F = ρ
−1
F
(0, +∞),
X\T = ρ
−1
T
(0, +∞). Докажем первое равенство (второе доказывается аналогично). Если x ∈ F, то
ρF (x) = 0, если x ∈ X \F, то существует ε > 0 такое, что Oε(x) ⊂ X \F, и, значит, ρF (x) ≥ ε > 0.
Функция h(x) = ρF (x)
ρF (x)+ρT (x)
корректно определена, непрерывна и F = h
−1
(0), T = h
−1
(1).
Тогда множества h
−1
(−∞,
1
2
) и h
−1
(
1
2
, +∞) являются дизъюнкными окрестностями F и T соответственно.
Выполнение аксиомы T1 очевидно.
Прямая Зоргенфрея — нормальное не метризуемое пространство.
26.2. Определение. Пусть даны две метрики ρ1 и ρ2 на множестве X. Они называются
топологически эквивалентными, если Tρ1 = Tρ2
.
26.3. Предложение. Всякая метрика ρ1 на множестве X топологически эквивалентна
метрике ρ2, диаметр X в которой ≤ 1 (diam X = sup{ρ2(x, y) : x, y ∈ X} ≤ 1).
Доказательство. Можно положить, например, ρ2(x, y) = min{ρ1(x, y), 1}, и заметить, что
топологии, порожденные этими метриками, совпадают, так как базы топологий составляют открытые -шары, где < 1.
26.4. Предложение. Сумма X = ⊕{Xα : α ∈ A} метризуемых пространств Xα, α ∈ A,
метризуема.
Доказательство. Пусть ρα — метрика на Xα, порождающая топологию пространства Xα.
Согласно Предложению 26.3 можно считать, что diam (Xα, ρα) ≤ 1. Определим функцию ρ :
X × X → R+ следующим образом:
ρ(x, y) =
ρα(x, y), если x, y ∈ Xα;
1, если x и y лежат в разных слагаемых.
Легко проверить,что ρ — это метрика на X (здесь важно, что diam Xα ≤ 1). Открытые
ε-шары Oε(x) образуют базу метрической топологии на X. Прообраз любого ε-шара Oε(x) при
отображении вложения iα : Xα → X открыт в Xα, α ∈ A (если ε ≤ 1 и x ∈ Xα0 , то i
−1
α (Oε(x)) = ∅,
при α 6= α
0 и i
−1
α0 (Oε(x)) = Oε(x), где последнее множество является открытым ε-шаром точки x
в метрическом пространстве (Xα0 , ρα0 ); если ε > 1, то Oε(x) = X и i
−1
α (Oε(x)) = Xα, при любом
α ∈ A). Остается заметить, что любое множество, открытое в X (в финальной топологии на X
относительно вложений), является объединением ε-шаров Oε(x).
26.5. Теорема. Счетное произведение метризуемых пространств метризуемо.
Доказательство. Пусть X =
Q
n∈N Xn. Согласно Предложению 26.3 пространства Xn можно
наделить такими метриками ρn, что
diam Xn ≤ 1, n ∈ N.
На X определим метрику ρ, принимающую на произвольной паре точек x = (xn) и y = (yn) из
X значения ρ(x, y) = sup{
ρn(xn,yn)
n
: n ∈ N}. Нетрудно проверить, что ρ — метрика.
Через XM обозначим прозведение X с метрической топологией Tρ. Достаточно доказать, что
тождественное отображение id : X → XM является гомеоморфизмом.
Докажем сначала, что id непрерывно. Возьмем произвольно точку x = (xn) ∈ XM и ее εокрестность Oε(x), где ε > 0. Выберем N так, чтобы 1
N < ε.
43
Окрестность Ox ⊂ X точки x определим следующим образом:
Ox =
\
N
n=1
pr−1
n
(Oε(xn)),
где Oε(xn) — открытая ε-окрестность с центром в точке xn в пространстве Xn. Тогда для каждой
точки y ∈ Ox имеем ρ(x, y) = sup{
ρn(xn,yn)
n
: n ∈ N} < ε. Таким образом, Ox ⊂ Oε(x), т.е.
отображение id непрерывно.
Для доказательства непрерывности обратного отображения из XM на X достаточно доказать
непрерывность его композиции с произвольной проекцией prn (см. Следствие 17.3 Лекции 4).
Для точки x = (xn) пусть Oε(xN ) — ε-окрестность точки xN в пространстве XN (с метрикой
ρN ). Тогда для любой точки y = (yn) из O ε
N
(x) имеем
ρN (xN , yN )
N
<
ε
N
.
Т.е. при композиции образ окрестности O ε
N
(x) содержится в Oε(xN ), и композиция непрерывна.
Задание N 7
1. Докажите, что в теореме Брауэра–Титце–Урысона продолжение функции определяется
неоднозначно. Верно ли, что продолжений функций не менее континуума?
2. В примере 17.8 лекции 4 определен гомеоморфизм g канторова множества на счетную
степень дискретного двоеточия 2
N. В предложении 24.1 лекции 7 определено отображение f
произведения 2
N на отрезок I = [0, 1].
Докажите, что композиция f ◦ g отображений g и f является монотонно возрастающей функцией на канторовом множестве, при которой прообразы двоично-рациональных чисел интервала
(0, 1) двухточечны, прообразы остальных точек I одноточечны.
(Канторова лестница) Докажите, что существует единственное продолжение функции f ◦ g :
C → I на отрезок I, являющееся монотонно возрастающей функцией. Нарисуйте ее график.
3. Постройте непрерывное сюръективное отображение отрезка на конечномерный куб I
n, n ∈
N, гильбертов куб I
ℵ0 (счетная степень отрезка).
4 (Плоскость Немыцкого). Базу топологии на полуплоскости {(x, y) ∈ R
2
: y ≥ 0} образуют
открытые шары
Oε(x, y) ∩ R
2
, x ∈ R, y > 0, ε > 0,
и открытые шары с добавленной точкой касания
Oy(x, y) ∪ {(x, 0)}, x ∈ R, y > 0.
Докажите, что плоскость Немыцкого — тихоновское не нормальное пространство.
5. Подмножество гильбертова пространства `
2
, состоящее из всех точек (x1, . . . , xk, . . .), для
которых 0 ≤ xk ≤ 1/2
k
, k ∈ N, называется гильбертовым кубом.
Докажите, что гильбертов куб в `
2
гомеоморфен гильбертову кубу I
ℵ0 (счетная степень отрезка).
Дополнительные задачи Задания N 7
6. Докажите теорему Дугунджи о продолжении отображегний.
Пусть L — локально выпуклое линейное пространство, X — произвольное метрическое пространство, A — его произвольное замкнутое подмножество. Тогда для любого непрерывного
отображения f : A → L существует непрерывное продолжение f : X → L такое, что F(X)
содержится в выпуклой оболочке f(A).
7. Докажите, что тихоновское произведение R
A, где A несчетно, — не нормальное пространство.
8. Дайте прямое доказательство не нормальности квадрата прямой Зоргенфрея (т.е. указать
два дизъюнктных замкнутых множества, у которых не существует дизъюнктных окрестностей).
9. Приведите пример тихоновского не регулярного пространства.
44
10. Постройте непрерывное сюръективное отображение прямой на евклидово пространство
R
n, n ∈ N, на пространство R
ℵ0 (счетная степень отрезка).
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология