§ 21.
аксиомы счетности (характер,
вес пространства ).
сепарабельность (плотность пространства) .
21.1. Определение. Пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности в точке x
(или имеет счетный характер в точке x), если существует счетное семейство B окрестностей
точки X такое, что в любой окрестности точки x содержится по крайней мере одна окрестность
из B.
Пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности (или
характер пространства X
счетен), если X удовлетворяет первой аксиоме счетности во всех точках x ∈ X.
Метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности. Прямая Зоргенфрея
удовлетворяет первой аксиоме счетности. Прямая в топологии Зариского не удовлетворяет первой аксиоме счетности.
21.2. Определение. Если пространство имеет счетную базу, то говорят, что оно удовлетворяет второй аксиоме счетности (или вес пространства X счетен).
Если пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно удовлетворяет и первой
аксиоме счетности.
Прямая со стандартной топологией удовлетворяет второй аксиоме счетности. Несчетное дискретное пространство не удовлетворяет второй аксиоме счетности.
21.3. Теорема. Подпространство пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности, удовлетворяет первой аксиоме счетности. Счетное произведение пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счетности, удовлетворяет первой аксиоме счетности.
Подпространство пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, удовлетворяет второй аксиоме счетности. Счетное произведение пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности, удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Доказательство. Докажем второе утверждение.
Пусть B — счетная база X, Y ⊂ X. Легко видеть, что семейство {X ∩ U : U ∈ B} — база Y .
Тихоновская топология произведения инициальна относительно проекций, и ее предбазу образуют прообразы элементов из баз сомножителей относительно проектирований. Так как сомножителей счетное число, то в предбазе счетное число элементов, и порождаемая ею база счетна.
21.4. Определение. Подмножество Z топологического пространства X называется всюду
плотным в X, если Cl(Z) = X.
Задача. Подмножество Z топологического пространства X всюду плотно в X в том и только
том случае, если Z ∩ O 6= ∅ для любого непустого открытого подмножества O пространства X.
21.5. Определение. Пространство X называется сепарабельным (или плотность пространства X счетна), если в нем существует счетное всюду плотное подмножество.
Если X удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно сепарабельно (всюду плотным будет
подмножество точек, взятых по одной из каждого элемента счетной базы).
21.6. Теорема. Счетное произведение сепарабельных пространств сепарабельно.
Доказательство. Пусть Dn — счетное плотное подмножество пространств Xn, dn ∈ Dn —
фиксированная точка, n ∈ N. Положим, An = D1 × · · · × Dn × {dn+1} × . . . , n ∈ N. Легко
проверяется, что семейство S
n∈N An является счетным и всюду плотно в произведении.
21.7. Теорема. Метризуемое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности в
том и только том случае, если оно сепарабельно.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть ρ — метрика на
X, порождающая его топологию, S — счетное всюду плотное подмножество X. Покажем, что
базу топологии X образует семейство открытых шаров
B = {Oq(s), s ∈ S, q ∈ Q, q > 0}.
35
Семейство B — подсемейство базы топологии. Пусть O — открытое подмножество X. Для завершения доказательства достаточно показать, что для любой точки x ∈ O существует U ∈ B
такое, что x ∈ U ⊂ O.
Существует q ∈ Q такое, что Oq(x) ⊂ O. Возьмем s ∈ S ∩ Oq
2
(x) и шар Oq
2
(s). Тогда x ∈
Oq
2
(s) ⊂ Oq(x).
§ 22.
аксиомы отделимости .
22.1. Топологическое пространство X является T0-пространством или удовлетворяет аксиоме
отделимости Колмогорова, если для любых двух различных точек x и y пространства X по
крайней мере одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.
Множество из более чем двух точек с антидискретной топологией (например “слипшееся двоеточие” (Пример 8.2.2 Лекции 2)) является примером пространства, не удовлетворяющего аксиоме
T0.
22.2. Пространство X называется T1-пространством, если для любых различных точек x и
y пространства X существуют окрестность Ox, не содержащая точки y, и окрестность Oy, не
содержащая точки x.
“Связное двоеточие”, т.е. пространство X = {a, b}, в котором открыты множества ∅, {a}, X
(Пример 8.2.2 Лекции 2), есть T0-пространство, не являющееся T1-пространством.
Пространство X есть T1-пространство тогда и только тогда, когда все одноточечные подмножества X замкнуты. Среди топологий на множестве X, в которых X является T1-пространством,
существует наименьшая. Это топология конечных дополнений (Пример 8.2.4 Лекции 2).
22.3. Пространство X называется хаусдорфовым или T2-пространством, если для всякой
пары различных точек из X существуют непересекающиеся их окрестности.
Бесконечное множество, снабженное топологией конечных дополнений (Пример 8.2.4 Лекции
2), является нехаусдорфовым T1-пространством.
22.4. Предложение. Пусть fi
: X → Y, i = 1, 2, — непрерывные отображения пространства X в хаусдорфово пространство Y . Предположим, что f1
Z = f2
Z для некоторого всюду
плотного в X множества Z. Тогда f1 = f2.
Доказательство. Предположим, что для некоторой точки x ∈ X точки f1(x) и f2(x) различны. Поскольку пространство Y хаусдорфово, существуют непересекающиеся окрестности
Ofi(x), i = 1, 2. Из непрерывности fi вытекает существование таких окрестностей Oix, i = 1, 2,
что fi
Oix
⊂ Ofi(x).
Положим Ox = O1x ∩ O2x. Поскольку Z всюду плотно в X, существует точка z ∈ Z ∩ Ox.
Тогда f1(z) = f2(z) ∈ Of1(x)∩Of2(x). Но это противоречит тому, что множества Of1(x) и Of2(x)
не пересекаются.
Аксиомы T0, T1, T2 идут в порядке усиления и дают все более узкие, как показывают приведенные примеры, классы пространств.
22.5. Пространство X называется T3-пространством, если для всякой точки x и всякого не
содержащего ее замкнутого множества F существуют непересекающиеся окрестности Ox и OF.
Аксиома T3 не влечет даже T0. Это показывает пример множества из более чем двух точек с
антидискретной топологией.
22.6. Пространство, одновременно удовлетворяющее аксиомам T0 и T3, называется регулярным.
Всякое регулярное пространство X хаусдорфово. В самом деле, пусть x, y ∈ X и x 6= y. Для
одной из точек, допустим, для x, существует окрестность Ox, не содержащая y. Взяв непересекающиеся окрестности точки x и замкнутого множества X \ Ox, мы заключим x и y в непересекающиеся окрестности.
Примером хаусдорфова нерегулярного пространства является числовая прямая, базу топологии которой образуют всевозможные множества вида U и U \ K, где U — интервал числовой
прямой, K = {
1
n
: n ∈ N} (Пример 8.8.5 Лекции 2). Доказать, что множество K замкнуто в этом
пространстве и не отделимо от нуля непересекающимися окрестностями.
22.7. Предложение. Всякое подпространство регулярного пространства (соответственно
T0-, T1-, T2-пространства) регулярно (соответственно T0-, T1-, T2-пространство).
36
22.8. Предложение. Произведение Ti-пространств, i = 0, 1, 2, 3, есть Ti-пространство. В
частности, произведение регулярных пространств регулярно.
Доказательство. Проверим последнее утверждение. Регулярные пространства — это пространства, одновременно удовлетворяющие аксиомам T0 и T3. Пусть X =
Q
α∈A Xα и сомножители Xα регулярны. Возьмем различные точки x, y ∈ X. Существует такое α, что prα(x) 6= prα(y).
Поскольку Xα ∈ T0, одна из точек prα(x) и prα(y) имеет окрестность, не содержащую другую
точку. Предположим, что открытое множество V ⊂ Xα содержит prα(x) и не содержит prα(y).
Тогда x ∈ pr−1
α (V ) и y /∈ pr−1
α (V ). Таким образом, X является T0-пространством.
Чтобы проверить аксиому T3, надо для произвольной окрестности Ox точки x ∈ X найти
такую окрестность Ux, что Cl(Ux) ⊂ Ox. По определению топологии произведения существуют
такой конечный набор индексов α1, . . . , αk и такие открытые множества Vi ⊂ Xα, что
x = (xα) ∈
\
{pr−1
αi
(Vi) : i = 1, . . . , k} ⊂ Ox. (22.1)
Поскольку Xαi удовлетворяет аксиоме T3, существует такая окрестность Oxαi
, что Cl(Oxαi
) ⊂ Vi
.
Положим
Ux =
\
{pr−1
αi
(Oxαi
) : i = 1, . . . , k}.
Тогда Cl(Ux) ⊂
T
{pr−1
αi
(Cl(Oxαi
)) : i = 1, . . . , k} ⊂ T
{pr−1
αi
(Vi) : i = 1, . . . , k} ⊂ (22.1) ⊂ Ox.
22.9. Пространство X называется T4-пространством, если для любой дизъюнктной пары
замкнутых в X множеств F и T существуют непересекающиеся окрестности OF и OT.
Легко проверить, что это условие эквивалентно следующему: для всякого замкнутого множества F и всякой его окрестности OF существует такая окрестность O1F, что Cl(O1F) ⊂ OF.
Другое равносильное условие: любую дизъюнктную пару замкнутых множеств можно заключить в окрестности с непересекающимися замыканиями.
Пример множества из более чем двух точек с антидискретной топологией показывает, что
T4 не влечет T0. Числовая прямая R, на которой открыты ∅, R и бесконечные интервалы вида
(a, ∞) (Пример 8.8.4 Лекции 2), показывает, что аксиома T4 не влечет и T3.
22.10. Пространство, одновременно удовлетворяющее аксиомам T1 и T4, называется нормальным.
Всякое нормальное пространство регулярно, поскольку из T1 и T4 вытекает T3. В то же время,
как показывает “связное двоеточие”, из T0 плюс T4 не вытекает T3.
§ 23.
лемма урысона . Теорема Брауэра–Титце–Урысона о продолжении функций.
23.1. Лемма Урысона. Для любых непересекающихся замкнутых подмножеств F0 и F1
нормального пространства X существует такая непрерывная функция f : X → [0, 1], что
f(x) = 0 для x ∈ F0 и f(x) = 1 для x ∈ F1.
Доказательство. Выполнение леммы Урысона в случае F0 = ∅ или F1 = ∅ очевидно.
Для каждого двоично-рационального числа r ∈ [0, 1] мы определим открытое множество Γr
так, что
r < r0 =⇒ Cl(Γr) ⊂ Γr
0 , (23.1)
F0 ⊂ Γ0, F1 ⊂ X \ Γ1. (23.2)
Существует такая окрестность OF0, что Cl(OF0) ∩ F1 = ∅. Полагаем Γ0 = OF0 и Γ1 = X \ F1.
Далее, существует такая окрестность OCl(Γ0), что Cl(OCl(Γ0)) ⊂ Γ1. Полагаем Γ 1
2
= OCl(Γ0).
Аналогичным образом строим множества Γ 1
4
и Γ 3
4
так, что
Cl
Γ0
⊂ Γ 1
4
⊂ Cl
Γ 1
4
⊂ Γ 1
2
;
Cl
Γ 1
2
⊂ Γ 3
4
⊂ Cl
Γ 3
4
⊂ Γ1.
Продолжая этот процесс, мы строим искомое семейство множеств Γr. Определим функцию f :
X → I формулой
f(x) =
inf{r : x ∈ Γr} для x ∈ Γ1,
1 для x ∈ X \ Γ1.
Возьмем числа a, b из интервала (0, 1). Покажем, что
f
−1
[0, a)
=
[
Γr : r < a
; (23.3)
f
−1
(b, 1]
=
[
X \ Cl(Γr) : r > b
. (23.4)
Равенство (23.3) вытекает из следующего свойства:
37
f(x) < a ⇐⇒ существует r такое, что r < a, и x ∈ Γr.
Далее,
f(x) > b ⇐⇒ существует r
0
такое, что b < r0
, и x /∈ Γr
0 . (23.5)
Условия (23.1) и (23.5) влекут, что
f(x) > b ⇐⇒ существует r такое, что b < r < r0
, и x /∈ Cl(Γr).
Таким образом, равенство (23.4) также проверено. Из (23.3) и (23.4) с применением Предложения 13.3 Лекции 3 вытекает непрерывность функции f.
Выполнение условия f(x) = 0 для x ∈ F0 и f(x) = 1 для x ∈ F1 очевидно.
Задание N 6
1. Докажите, что пространство X есть T1-пространство тогда и только тогда, когда все одноточечные подмножества X замкнуты.
Докажите, что среди топологий на множестве X, в которых X является T1-пространством,
существует наименьшая.
2. Докажите, что прямая в топологии Зариского является нехаусдорфовым пространством.
3. Приведите пример двух различных непрерывных отображений fi
: X → Y, i = 1, 2, пространства X в нехаусдорфово пространство Y , совпадающих на всюду плотном подмножестве
Z.
4. Докажите, что для непрерывных отображений f, g : X → Y в хаусдорфово пространство Y
множество точек совпадения {x ∈ X : f(x) = g(x)} замкнуто.
Можно ли отказаться от условия хаусдорфовости образа?
5. Докажите, что пространство X хаусдорфово в том и только том случае, если диагональ
∆ = {(x, x) : x ∈ X} произведения замкнута в X × X.
6. Докажите, что для непрерывного отображения f : X → Y пространства X в хаусдорфово
пространство Y график отображения Γf = {(x, f(x)) : x ∈ X} замкнут в X × Y . Следует ли из
замкнутости графика отображения его непрерывность?
7. Докажите, что пространство из Примера 8.5.5 Лекции 2 хаусдорфово не регулярно.
8. Докажите, что выполнение аксиом T0 и T3 эквивалентно выполнению аксиом T1 и T3.
9. Докажите, что в регулярном пространстве любая точка и замкнутое множество, ее не содержащее, имеют дизъюнктные окрестности, замыкания которых не пересекаются.
Докажите, что следующие условия на пространство X равносильны:
a) X — нормальное пространство;
б) для всякого замкнутого множества F и всякой его окрестности OF существует такая окрестность O1F, что Cl(O1F) ⊂ OF;
в) любую дизъюнктную пару замкнутых множеств можно заключить в окрестности с непересекающимися замыканиями.
10. Докажите, что всякое подпространство T0 (соответственно T1, T2, регулярного) пространства является T0 (соответственно T1, T2, регулярным) пространством.
Докажите, что всякое замкнутое подмножество нормального пространства является нормальным пространством.
11. Пусть на множестве X даны топологии T1 ≤ T2. Если пространство (X, T1) хаусдорфово
(регулярно, нормально), то что можно сказать об отделимости пространства (X, T2)?
Если пространство (X, T2) хаусдорфово (регулярно, нормально), то что можно сказать об
отделимости пространства (X, T1)?
12. Пусть f, g : X → R — непрерывные функции. Докажите, что функции f + g ((f + g)(x) =
f(x)+g(x)), fg ((fg)(x) = f(x)g(x)) и
1
f
(
1
f
(x) = 1
f(x)
), при условии f(x) 6= 0, x ∈ X, непрерывны.
13. Пусть f, g : X → R — непрерывные функции. Докажите, что функции max{f, g}, min{f, g}
и |f| = max{f, −f} непрерывны.
14. Докажите, что любая непрерывная функция на прямой в топологии Зариского является
постоянной.
15. Существует ли непрерывная функция на плоскости R
2
, принимающая значение 0 на осях
координат Ox и Oy и значение 1 на графике гиперболы y = 1/x?
38
Докажите Лемму Урысона, используя теорему Брауэра–Титце–Урысона.
16. Лемма об ужатии. Пусть u = {U1, . . . , Uk} — открытое покрытие нормального пространства X. Докажите, что существует такое открытое покрытие v = {V1, . . . , Vk} пространства X,
что Cl(Vi) ⊂ Ui
, i = 1, . . . , k.
17. Разбиение единицы. Пусть ϕ : X → R — непрерывная функция. Открытое множество
Uϕ =
x ∈ X : ϕ(x) 6= 0
называется носителем функции ϕ и обозначается supp(ϕ).
Пусть u = {U1, . . . , Uk} — открытое покрытие X. Семейство непрерывных функций ϕi
: X →
[0, 1], i = 1, . . . , k, называется разбиением единицы, подчиненным покрытию u, если
Cl(supp(ϕi)) ⊂ Ui
, i = 1, . . . , k,
и X
k
i=1
ϕi = 1.
Докажите, что для всякого конечного открытого покрытия u = {U1, . . . , Uk} нормального
пространства X существует разбиение единицы {ϕ1, . . . , ϕk}, подчиненное покрытию u.
Дополнительные задачи Задания N 6
18. Докажите, что в любом конечном T0-пространстве
а) существует изолированная точка;
б) множество изолированных точек всюду плотно.
19. Докажите, что любое регулярное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, нормально.
Докажите, что любое счетное регулярное пространство нормально.
20. Докажите, что линейно упорядоченное пространство с интервальной топологией нормально.
21. Какие из аксиом отделимости сохраняются в сторону образа при непрерывных отображениях?
22. Существует ли регулярное пространство X, содержащее более двух точек, на котором
любая непрерывная функция f : X → R постоянна?
23. Опишите все непрерывные функции на пространствах из Примера 8.5 Лекции 2.
24. Докажите, что любую равномерно непрерывную функцию на интервале (0, 1) ⊂ R можно
продолжить на R.
25. Пусть A — замкнутое подмножество метрического пространства (X, ρ), f : A → I —
непрерывное отображение. Докажите, что отображение
g(x) = (
inf{f(a) + ρ(x,a)
ρ(x,A) − 1 : a ∈ A} x ∈ X \ A
f(x) x ∈ A
является непрерывным продолжением f на X.
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология