15. Гомотопическая эквивалентность. Стягиваемые пространства. Фундаментальная группа. Роль отмеченной точки для фундаментальной группы

§ 47. гомотопическая эквивалентность . стягиваемые пространства .
47.1. Определение. Пространства X1 и X2 называются гомотопически эквивалентными
(обозначение X1 ∼ X2), если существуют такие непрерывные отображения f : X1 → X2, g :
X2 → X1, что композиции g ◦ f : X1 → X1, f ◦ g : X2 → X2 гомотопны тождественным
отображениям idX1
, idX2
соответственно.
Отображения f и g называются гомотопически взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями.
Если отображения g ◦ f и f ◦ g не просто гомотопны тождественным отображениям, но и
являются таковыми, то f и g — взаимно обратные гомеоморфизмы. Таким образом, отношение
гомотопической эквивалентности является обобщением отношения гомеоморфности. Гомотопически эквивалентные пространства не обязаны быть гомеоморфными.
47.2. Примеры. 1. Замкнутый шар B2
, открытый шар D2
, гомотопически эквивалентны
точке, но попарно не гомеомрфны.
2. Окружность S
1 и кольцо K = {(x, y) ∈ R
2
: 1 ≤ x
2 + y
2 ≤ 4} гомотопически эквивалентны,
но не гомеоморфны.
47.3. Теорема. Отношение гомотопической эквивалентности является отношением эквивалентности на классе всех топологических пространств.
Доказательство. Фактически в проверке нуждается только транзитивность. Пусть X1 ∼ X2
и X2 ∼ X3. Существуют такие отображения f1 : X1 → X2, g1 : X2 → X1, f2 : X2 → X3,
g2 : X3 → X2, что
g1 ◦ f1 ∼h idX1
, f1 ◦ g1 ∼h idX2
; (47.1)
g2 ◦ f2 ∼h idX2
, f2 ◦ g2 ∼h idX3
. (47.2)
Положим
f = f2 ◦ f1, g = g1 ◦ g2.
Тогда g ◦ f = g1 ◦ g2 ◦ f2 ◦ f1 = g1 ◦ (g2 ◦ f2) ◦ f1 ∼h

по Лемме 46.6 Лекции 14 и (47.2)

∼h
g1 ◦ idX2 ◦ f1 = g1 ◦ f1 ∼h (47.1) ∼h idX1
. Таким же образом показываем, что f ◦ g ∼h idX3
. Значит,
отображения f и g гомотопически взаимно обратны и X1 ∼ X3.
47.4. Класс гомотопически эквивалентных пространств называется гомотопическим типом.
Пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение id : X → X
гомотопно нулю (т.е. постоянному отображению constx0
: X → X, переводящему все X в точку
x0 ∈ X).
47.5. Пример. 1. Пространство стягиваемо тогда и только тогда когда оно имеет гомотопический тип точки.
2. Отрезок (выпуклое подмножество в R
n) стягиваем(о).
§ 48. фундаментальная группа .
48.1. Определение. Пути ϕ, ψ : I → X называются гомотопными (обозначение ϕ ∼ ψ), если
ϕ(0) = ψ(0) = x0, ϕ(1) = ψ(1) = x1 (совпадают их начала и концы) и существует связанная на
множестве {0, 1} гомотопия Φ : I × I → X, соединяющая ϕ и ψ.
Отношение гомотопности путей является отношением эквивалентности.
48.2. Умножение гомотопических классов путей. Если для путей ϕ, ψ : I → X ϕ(1) =
ψ(0), то
[ϕ] · [ψ] = [ϕψ].
Обратный гомотопический класс пути. Для пути ϕ : I → X
[ϕ]
−1 = [ϕ
−1
].
48.3. Лемма. (корректность умножения и взятия обратного) Если ϕ0 ∼ ϕ1 и ψ0 ∼ ψ1, то
ϕ0ψ0 ∼ ϕ1ψ1. Если ϕ ∼ ψ, то ϕ
−1 ∼ ψ
−1
.
Доказательство. Пусть F : I × I → X — связанная гомотопия, соединяющая ϕ0 и ϕ1, а
G : I × I → X — связанная гомотопия, соединяющая ψ0 и ψ1. ϕ0(0) = ϕ1(0) = x0, ϕ0(1) =
81
ϕ1(1) = ψ0(0) = ψ1(0) = x1, ψ0(1) = ψ1(1) = x2. Определим гомотопию Φ : I ×I → X следующим
образом:
Φ(s, t) = 
F(2s, t) : 0 ≤ s ≤
1
2
;
G(2s − 1, t) : 1
2 ≤ s ≤ 1.
Ясно, что эта гомотопия соединяет ϕ0ψ0 с ϕ1ψ1. Для любого t ∈ I имеем Φ(0, t) = F(0, t) = x0,
Φ(1, t) = G(1, t) = x2. Тем самым она связанная.
Сужение отображения Φ на [0,
1
2
] × I и [
1
2
, 1] × I совпадает с композициями произведений
подобий отрезка на тождественное отображение и отображений F и G соответственно. Тем самым
они непрерывны. Так как для любого t ∈ I Φ({
1
2
} × t) = F(1, t) = G(0, t) = x1, то непрерывность
Φ вытекает из пункта 13.4.6 Лекции 3.
Пусть F : I ×I → X — связанная гомотопия, соединяющая ϕ и ψ. Тогда Φ(s, t) = F(1−s, t) —
связанная гомотопия, соединяющая ϕ
−1 ∼ ψ
−1
. Действительно, Φ(s, 0) = F(1−s, 0) = ϕ(1−s) =
ϕ
−1
(s), Φ(s, 1) = F(1 − s, 1) = ψ(1 − s) = ψ
−1
(s). Для любого t ∈ I имеем Φ(0, t) = F(1, t) = x0,
Φ(1, t) = F(0, t) = x0. Тем самым она связанная. Ее непрерывность очевидна.
48.4. Теорема. Операции умножения гомотопических классов и взятия обратного гомотопического класса удовлетворяют следующим свойствам.
а) (Ассоциативность) Если класс [ϕ] · ([ψ] · [χ]) определен, то определен класс ([ϕ] · [ψ]) · [χ],
и они совпадают.
б) (Левая и правая единицы) Для x ∈ X обозначим через constx : I → X постоянное отображение в точку x. Если ϕ : I → X, ϕ(0) = x0, ϕ(1) = x1, то
[ϕ] · [constx1
] = [ϕ], [constx0
] · [ϕ] = [ϕ].
в) (Обратный класс) Если ϕ : I → X, ϕ(0) = x0, ϕ(1) = x1, то
[ϕ] · [ϕ]
−1 = [constx0
], [ϕ]
−1
· [ϕ] = [constx1
].
Доказательство. а) Пусть ϕ(1) = ψ(0), ψ(1) = χ(0). Тогда
F(s, t) =



ϕ

4s
t+1

, если 0 ≤ s ≤
t+1
4
,
ψ(4s − t − 1), если t+1
4 ≤ s ≤
t+2
4
,
χ

4s−t−2
2−t


, если t+2
4 ≤ s ≤ 1,
является связанной гомотопией, соединяющей пути (ϕψ)χ и ϕ(ψχ) (проверить самостоятельно).
б) Приведем гомотопию (проверить самостоятельно), доказывающую второе равенство
F(s, t) = 
x0, t ≤ 1 − 2s;
ϕ(
2s+t−1
1+t
), t ≥ 1 − 2s.
Поэтому гомотопический класс [constx0
] является левой единицей. Первое равенство доказывается аналогично.
в) Покажем лишь, что ϕϕ−1 ∼ constx0
. Действительно,
F(s, t) =



ϕ(2s), если 0 ≤ s ≤
1−t
2
,
ϕ(1 − t), если 1−t
2 ≤ s ≤
1+t
2
,
ϕ(2 − 2s), если 1+t
2 ≤ s ≤ 1,
является связанной гомотопией, соединяющей путь ϕϕ−1
с постоянным путем constx0
(проверить
самостоятельно).
48.5. Пространства с отмеченной точкой. В топологии часто рассматривают пространства с отмеченной точкой, т.е. считают, что во всех пространствах выделены отмеченные точки
и все отображения переводят отмеченные точки в отмеченные. Пространство X с отмеченной
точкой x0 обозначается (X, x0). Одинаковые пространства с разными отмеченными точками считаются разными.
48.6. Определение множества π1(X, x0). Рассматриваются петли пространства X с отмеченной точкой x0, т.е. такие пути ϕ : I → X, что ϕ(0) = ϕ(1) = x0, где x0 — отмеченная
точка.
Фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой x0 называется множество
гомотопических классов петель ϕ : I → (X, x0) с операцией умножения. Обозначение π1(X, x0).
Множество π1(X, x0) является группой по Теореме 48.4.
82
Петля, рассматриваемая как отображение ϕ : I → X с условием ϕ(0) = ϕ(1) = x0, равносильна
отображению ϕb : S1 → X, переводящему точку 0 = (cos(0),sin(0)) в отмеченную точку x0 ∈
X. Поэтому множество π1(X, x0) можно рассматривать как множество гомотопических классов
π(S
1
, X) отображений пространств с отмеченными точками (S
1
, 0) и (X, x0).
48.7. Определение. Пусть α : I → X — путь с началом x0 и концом x1. Равенство
α#([ϕ]) = [α
−1
] · [ϕ] · [α]
определяет отображение
α# : π1(X, x0) → π1(X, x1).
48.8. Теорема. Отображение α# является изоморфизмом групп.
Доказательство. Покажем, что α# — гомоморфизм. Возьмем элементы [ϕ1], [ϕ2] ∈ π1(X, x0).
Тогда
α#

[ϕ1]·[ϕ2]


= [α
−1
]·[ϕ1]·[ϕ2]·[α] = [α
−1
]·[ϕ1]·[constx0
]·[ϕ2]·[α] = [α
−1
]·[ϕ1]·[α]·[α
−1
]·[ϕ2]·[α] =
α#([ϕ1]) · α#([ϕ2]).
Для доказательства биективности гомоморфизма α# покажем, что гомоморфизм
α
−1
# : π1(X, x1) → π1(X, x0),
α
−1
# ([ϕ]) = [α] · [ϕ] · [α
−1
]
является обратным к α#. В самом деле,
α
−1
#

α#([ϕ])

= α
−1
# ([α
−1
] · [ϕ] · [α]) = [α] · [α
−1
] · [ϕ] · [α] · [α
−1
] = [ϕ].
Аналогичные рассуждения устанавливают равенство
α#

α
−1
# ([ϕ])

= [ϕ].
48.9. Следствие (Зависимость фундаментальной группы от отмеченной точки).
Если пространство X линейно связно, то группы π1(X, x0) и π1(X, x1) изоморфны для любых
точек x0, x1 ∈ X.
48.10. Замечание. Из Следствия 48.9 следует, что для линейно связного пространства X
группы π1(X, x0) в различных точках x0 ∈ X изоморфны между собой и могут рассматриваться
как одна группа π1(X), которая называется фундаментальной группой линейно связного пространства X.
48.11. Определение. Линейно связное пространство X называется односвязным, если любые
два пути α1 : I → X и α2 : I → X такие, что α1(0) = α2(0) = x0, α1(1) = α2(1) = x1 гомотопны.
48.12. Теорема. Линейно связное пространство X односвязно тогда и только тогда, когда
π1(X) = 0.
Доказательство. Пусть X односвязно. Возьмем произвольный класс [ϕ] ∈ π1(X, x0) и единичный класс [constx0
]. Эти петли можно рассматривать как пути, имеющие совпадающие начало и конец: ϕ(0) = ϕ(1) = constx0
(0) = constx0
(1) = x0. Петля ϕ гомотопна петле constx0
,
следовательно [ϕ] = [constx0
], и π1(X) = 0.
Пусть теперь π1(X, x) = 0 в точке x ∈ X, которую можно считать произвольной в силу
Следствия 48.9. Рассмотрим два пути α1 и α2 в X с общими началом x0 и концом x1.
Так как α1α
−1
1 и α
−1
1 α2 — петли, и π1(X) = 0, то α1α
−1
1 ∼ constx0 и α
−1
1 α2 ∼ constx1
. Поэтому
α1 ∼ α1constx1 ∼ α1α
−1
1 α2 ∼ constx0 α2 ∼ α2
при связанных гомотопиях. В силу транзитивности гомотопической эквивалентности существует
гомотопия путей α1 и α2.
48.13. Примеры. 1. R
n, n ∈ N, односвязно.
2. Открытый и замкнутый шары Dn, Bn, n ∈ N, односвязны.
3. Сфера S
2 односвязна (докажите, что любая петля в S
n гомотопна петле, не заполняющей
сферу целиком).
§ 49. индуцированный гомоморфизм .
49.1. Определение. Пусть h : (X, x0) → (Y, y0) — непрерывное отображение. Равенство
h∗([ϕ]) = [h ◦ ϕ] ∈ π(Y, y0)
определяет гомоморфизм
h∗ : π(X, x0) → π(Y, y0),
83
называемый гомоморфизмом, индуцированным отображением h.
49.2. Теорема. Индуцированный гомоморфизм h∗ корректно определен (т.е. класс h∗([ϕ]) =
[h ◦ ϕ] не зависит от выбора представителя ϕ ∈ [ϕ]) и является гомоморфизмом.
Для h : (X, x0) → (Y, y0) и g : (Y, y0) → (Z, z0)
(g ◦ h)∗ = g∗ ◦ h∗.
Доказательство. Коррекность определения отображения h∗ следует из Леммы 46.6 Лекции
14. Проверим, что h∗ — гомоморфизм.
h∗([ϕ] · [ψ]) = h∗([ϕψ]) = [h ◦ (ϕψ)] = [(h ◦ ϕ)(h ◦ ψ)] = [h ◦ ϕ] · [h ◦ ψ] = h∗([ϕ]) · h∗([ψ]).
Пусть h : (X, x0) → (Y, y0) и g : (Y, y0) → (Z, z0) — непрерывные отображения. Тогда
(g ◦ h)∗([ϕ]) = [(g ◦ h) ◦ ϕ] = [g ◦ (h ◦ ϕ)] = g∗([h ◦ ϕ]) = g∗(h∗([ϕ])) = (g∗ ◦ h∗)([ϕ]).

Задание N 15
1. Докажите, что у гомотопически эквивалентных пространств совпадает число компонент
(линейной) связности.
2. Найдите счетное число попарно гомотопически эквивалентных пространств, не являющихся
попарно гомеоморфными.
3. Докажите гомотопическую эквивалентность:
(1) окружности S
1 и кольца K = {(x, y) ∈ R
2
: 1 ≤ x
2 + y
2 ≤ 4};
(2) окружности S
1 и плоскости с выкинутой точкой R
2 \ {O};
(3) окружности S
1 и пространства R
3
с выкинутой прямой;
(4) окружности S
1 и ленты Мебиуса.
4. Докажите гомотопическую эквивалентность:
(1) плоскости с двумя выкинутыми точками и букета двух окружностей S
1 W
S
1
;
(2) тора T
2
с вырезанным диском D2
(т.е. ручки) и букета двух окружностей S
1 W
S
1
;
(3) сферы S
2
с отождествленной парой точек и букета сферы и окружности S
2 W
S
1
;
(4) тора T
2
с замкнутыми дисками B2
, приклеенными по границе с меридианом и по границе
с параллелью, и сферы S
2
;
(5) пространств невырожденных матриц GL(n, R) и ортогональных матриц O(n).
5. Докажите, что букет двух окружностей S
1 W
S
1
гомотопически эквивалентен объединению
окружности и ее произвольного диаметра.
6. Докажите, что отношение гомотопности путей является отношением эквивалентности.
7. Докажите, что стягиваемое пространство линейно связно. Верна ли обратная импликация?
8. Докажите, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда оно имеет гомотопический тип точки.
9. Докажите, что выпуклое подмножество R
n стягиваемо.
Пусть X — пространство. Произведение X × I пространства X на отрезок I называется цилиндром пространства X. Если отождествить между собой все точки верхнего основания X ×{1}
цилиндра X × I (стянуть X × {1} в точку), то получится конус Con(X) над X. Докажите, что
конус Con(X) стягиваем для любого пространства X.
10. Вычислите фундаментальную группу:
(1) дискретного пространства;
(2) R
n, n ∈ N.
Дополнительные задачи Задания N 15
11. Докажите, что связный конечный граф гомотопически эквивалентен букету окружностей.
84
12. Докажите, что если пространства X и Y гомотопически эквивалентны, то существует
взаимно однозначное соответствие между их гомотопическими классами отображений в произвольное пространство.
13. Докажите, что если пространства X и Y гомотопически эквивалентны, то существует взаимно однозначное соответствие между гомотопическими классами отображений произвольного
пространства Z в X и Y соответственно.
14. Докажите, что бесконечномерная сфера S∞ = {x ∈ `
2
:
P|xi
|
2 = 1} стягиваема.
15. Докажите, что для линейно связного пространства X следующие условия эквивалентны:
(1) X — стягиваемо;
(2) π(X, Y ) тривиально (т.е. состоит из одного элемента) для любого линейно связного пространства Y ;
(3) π(Y, X) тривиально для любого пространства Y .
16. Докажите, что произведение X × Y пространств X и Y стягиваемо в том и только том
случае, если пространства X и Y стягиваемы. Верен ли аналогичный результат для счетного
(произвольного) числа сомножителей?
17. Докажите, что любое линейное пространство над полем вещественных чисел стягиваемо.
Докажите, что ретракт (см. Задачу 20 Задания 5) стягиваемого пространства стягиваем.