§ 28.
лемма об ужатии .
разбиение единицы .
28.1. Определение. Пусть ϕ : X → R — непрерывная функция. Открытое множество
Uϕ =
x ∈ X : ϕ(x) 6= 0
будем называть носителем функции ϕ и обозначать через supp(ϕ).
28.2. Определение. Пусть u = {Uα : α ∈ A} — открытое покрытие X. Семейство непрерывных функций ϕα : X → [0, 1], α ∈ A, называется разбиением единицы, подчиненным покрытию
u, если
(1) Cl(supp(ϕα)) ⊂ Uα, α ∈ A;
(2) семейство {supp(ϕα) : α ∈ A} локально конечно;
(3) Pϕα(x) = 1 для любого x ∈ X (в силу условия (2) в каждой точке лишь конечное число
функций ϕα отлично от нуля).
28.3. Лемма (об ужатии (случай локально конечных покрытий)). Пусть X — паракомпактное хаусдорфово пространство, u = {Uα : α ∈ A} — открытое покрытие X. Тогда
существует локально конечное открытие покрытие v = {Vα : α ∈ A} такое, что Cl(Vα) ⊂ Uα,
α ∈ A.
Доказательство. Пусть Ω — семейство открытых в X множеств O таких, что Cl(O) содержится в некотором элементе u. В силу регулярности X, Ω — открытое покрытие X.
Пусть v
0 — локально конечное открытое покрытие X, вписанное в Ω. Для любого V ∈ v
0
зафиксируем Uα такое, что Cl(V ) ⊂ Uα ∈ u (Cl(V ) может содержаться в различных Uα, но
фиксируется одно из них). Положим
Vα =
[
{V ∈ v
0
: Cl(V ) ⊂ Uα}, α ∈ A.
Если множество Uα не зафиксировано ни для какого элемента V ∈ v
0
, то полагаем Vα = ∅.
v = {Vα : α ∈ A} — открытое покрытие X.
Cl(Vα) ⊂ Uα, α ∈ A, в силу локальной конечности семейства v
0
(Предложение 27.3 Лекции
8). Для любой точки x ∈ X существует ее окрестность Ox, пересекающаяся лишь с конечным
число элементов v
0
. Окрестность Ox будет пересекаться лишь с теми элементами v, которым
принадлежат множества V ∈ v
0
. Тем самым v — локально конечно.
28.4. Предложение. Для всякого открытого покрытия u = {Uα : α ∈ A} паракомпактного
хаусдорфова пространства X существует разбиение единицы ϕα : X → [0, 1], α ∈ A, подчиненное покрытию u.
Доказательство. По Лемме 28.3 существуют локально конечные покрытия w = {Wα : α ∈ A}
и v = {Vα : α ∈ A} такие, что
Cl(Wα) ⊂ Vα ⊂ Cl(Vα) ⊂ Uα, α ∈ A.
По лемме Урысона (Лемма 23.1 Лекции 6) существуют непрерывные функции ψα : X → [0, 1],
α ∈ A такие, что
ψα
Cl(Wα)
= 1, ψα(X \ Vα) = 0.
P
В силу локальной конечности покрытия v корректно определена непрерывная функция ψ(x) =
{ψα(x) : α ∈ A}. Так как w — покрытие X, то ψ(x) > 0 для любой точки x ∈ X. Тогда
семейство функций
ϕα(x) = ψα(x)
ψ(x)
, α ∈ A,
будет искомым разбиением единицы.
28.5. Замечание. Определено разбиение единицы, подчиненное произвольному конечному
открытому покрытию нормального пространства.
28.6. Пример. Пусть X — паракомпактное хаусдорфово пространство, C — локально конечное семейство подмножеств X, εC , C ∈ C, — семейство положительных чисел. Тогда существует
положительная непрерывная функция f : X → R такая, что f(x) ≤ εC при x ∈ C.
50
Рассмотрим открытое покрытие u = {Uα : α ∈ A} пространства X, каждый элемент которого
пересекается не более чем с конечным числом элементов C. Пусть ϕα : X → [0, 1], α ∈ A, —
разбиение единицы, подчиненное покрытию u. Положим для α ∈ A
δα = min{εC : C ∩ Cl(supp(ϕα)) 6= ∅, C ∈ C}.
Если множество {C ∈ C : C∩Cl(supp(ϕα)) 6= ∅} пусто, то полагаем δα = 1. Корректно определена
непрерывная функция f(x) = P{δαϕα(x) : α ∈ A}. Зафиксируем C ∈ C. Для завершения
доказательства достаточно показать, что для любого α ∈ A
δαϕα(x) ≤ εC ϕα(x), при x ∈ C. (28.1)
Для x 6∈ Cl(supp(ϕα)) неравенство (28.1) очевидно (ϕα(x) = 0). Если x ∈ Cl(supp(ϕα)), то δα ≤ εC
по построению.
§ 29.
компактные пространства .
29.1. Определение. Семейство подмножеств множества X называется центрированным,
если пересечение любого конечного числа его элементов не пусто.
29.2. Теорема. Пространство X компактно тогда и только тогда, когда всякая центрированная система замкнутых подмножеств X имеет непустое пересечение.
Доказательство. Пусть X — компактное пространство и Φ — центрированная система его
замкнутых подмножеств. Если пересечение всех элементов Φ пусто, то множество {X\F : F ∈ Φ}
является открытым покрытием пространства X. Из него можно выделить конечное подпокрытие
{X \ Fi
, i = 1, . . . , k}. Тогда F1 ∩ . . . ∩ Fk = ∅, что противоречит центрированности семейства Φ.
Наоборот, пусть в пространстве X всякая центрированная система замкнутых множеств имеет
непустое пересечение. Возьмем произвольное открытое покрытие u пространства X. Предположим, что покрытие u не содержит конечного подпокрытия. Тогда семейство
{X \ (U1 ∪ . . . ∪ Uk) : Ui ∈ u}
центрировано и имеет пустое пересечение. Это противоречие и завершает доказательство.
29.3. Предложение. Если Y — компактное подпространство хаусдорфова пространства
X, то Y замкнуто в X.
Доказательство. Возьмем произвольную точку x ∈ X \Y . Для любой точки y ∈ Y существуют дизъюнктные окрестности Oy и Oyx точек y и x соответственно. Из семейства {Oy : y ∈ Y },
покрывающего Y , можно выбрать конечное подсемейство {Oy1, . . . , Oyk}, покрывающее Y . Тогда OY =
Sk
i=1 Oyi и Ox =
Tk
i=1 Oyix являются дизъюнктными окрестностями подмножества Y
и точки x соответственно.
Тем самым x является внутренней точкой множества X \ Y , которое открыто. Значит Y
замкнуто.
29.4. Предложение. Непрерывный образ компактного пространства компактен.
Доказательство. Пусть X компактно и f : X → Y — непрерывное сюръективное отображение. Покажем, что Y компактно. Пусть u — открытое покрытие Y . В силу непрерывности f,
семейство f
−1
(u) =
f
−1
(U) : U ∈ u
является открытым покрытием пространства X. Выберем
в нем конечное подпокрытие f
−1
(U1), . . . , f −1
(Uk). Тогда семейство {U1, . . . , Uk} будет конечным
подпокрытием u.
29.5. Предложение. Непрерывное взаимно однозначное отображение f компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.
Доказательство. Для доказательства непрерывности отображения f
−1 достаточно показать,
что образ произвольного замкнутого в X множества F замкнут в Y .
По Предложению 27.11 Лекции 8 подмножество F компактно в X. Из Предложения 29.4
вытекает компактность множества f(F), из Предложения 29.3 вытекает замкнутость множества
f(F).
§ 30.
лемма александера .
первая теорема тихонова .
Семейство открытых покрытий X обозначим cov(X).
30.1. Лемма Александера. Если в пространстве X существует такая предбаза B, что
из любого покрытия пространства X ее элементами можно выделить конечное подпокрытие,
то X компактно.
51
Доказательство. Предположим, что существует покрытие u0 ∈ cov(X), из которого нельзя
выделить конечное подпокрытие. Положим
U = {u ∈ cov(X) : u0 ⊂ u, u не содержит конечного u
0 ∈ cov(X)
, (30.1)
считая все элементы рассматриваемых покрытий попарно различными. Множество U упорядочено отношением включения (u1 ≤ u2, если u1 ⊂ u2).
Пусть U0 ⊂ U — линейно упорядоченное подмножество. Если U0 имеет максимальный элемент,
то он является верхней гранью множества U0 в U. Если же U0 не имеет максимального элемента,
то положим
v =
[
u∈U0
u. (30.2)
Возьмем произвольное конечное множество v
0 = {V1, . . . , Vn} ⊂ v. Из (30.2) вытекает, что каждое Vi ∈ v
0 является элементом некоторого ui ∈ U0. Следовательно, v
0 ⊂ u1 ∪ . . . ∪ un ∈ U0 ⊂ U.
Из определения (30.1) вытекает, что v
0 не является покрытием. Значит, v ∈ U является верхней гранью множества U0 в U. Таким образом, множество U удовлетворяет условиям Леммы
Куратовского–Цорна (§ 7 Лекции 1) и, следовательно, имеет максимальный элемент v0.
Покажем, что v0 ∩ B ∈ cov(X) (т.е. v0 содержит подпокрытие из элементов предбазы B).
Предположим противное. Тогда существует точка x такая, что никакое множество из B, ее содержащее, не принадлежит v0.
Для точки x ∈ X существует содержащий ее элемент V покрытия v0. Существуют такие
элементы G1, . . . , Gn предбазы B, что
x ∈ G1 ∩ . . . ∩ Gn ⊂ V. (30.3)
В силу максимальности семейства v0 в U,
v0 ∪ {Gi} ∈ U / , i = 1, . . . , n.
Значит, v0 ∪ {Gi} содержит конечное подпокрытие. Следовательно, для каждого i = 1, . . . , n
существуют такие множества
V
i
1
, . . . , V i
j(i) ∈ v0,
что
Gi ∪
j
[
(i)
k=1
V
i
k
= X. (30.4)
Из (30.4) вытекает
\n
i=1
Gi
∪
[
i,k
V
i
k
= X. (30.5)
Значит, в силу (30.3) и (30.5), семейство v0 содержит конечное подпокрытие {V, V i
k
: i =
1, . . . , n, k = 1, . . . , j(i)}. Это противоречие показывает, что v0 ∩ B ∈ cov(X). Из него по свойству
предбазы B из леммы Александера можно выделить конечное подпокрытие. Тем более конечное
подпокрытие можно выделить из покрытия v0. Это противоречие и заканчивает доказательство.
30.2. Первая Теорема Тихонова. Произведение компактных пространств компактно.
Доказательство. Пусть X =
Q
α∈A Xα. Согласно Лемме Александера достаточно показать,
что из покрытия u пространства X, состоящего из множеств вида pr−1
α (V ), где V открыто в Xα,
α ∈ A, (предбазы Тихоновской топологии на произведении) можно выделить конечное подпокрытие. Для этого достаточно найти такие индекс α
0 и покрытие v ∈ cov(Xα0 ), что pr−1
α0 (V ) ∈ u,
V ∈ v. Действительно, тогда pr−1
α0 (v) = {pr−1
α0 (V ) : V ∈ v} — подпокрытие u. В силу компактности Xα0 , из покрытия v можно выделить конечное подпокрытие. Тем самым и из подпокрытия
pr−1
α0 (v) (а значит и из покрытия u) можно выделить конечное подпокрытие.
Предположим, что такого α
0 нет. Тогда для всякого α ∈ A найдется такая точка xα ∈ Xα,
что xα 6∈ V для любого элемента покрытия u вида pr−1
α (V ), где V — открытое подмножество
Xα. Тем самым точка x = (xα) не лежит ни в одном из элементов покрытия u. В самом деле,
если x ∈ pr−1
β
(V ) ∈ u, где V открыто в Xβ, то prβ(x) = xβ ∈ V . Это противоречие и завершает
доказательство.
30.3. Теорема. Подмножество X евклидова пространства R
n компактно тогда и только
тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
52
Доказательство. Необходимость. Замкнутость X вытекает из Предложения 29.3. Если бы
X было неограничено, то из покрытия X открытыми дисками Dn
m, m ∈ N, радиуса m с центром
в начале координат нельзя было бы выделить конечного подпокрытия.
Достаточность. Пусть X замкнуто и ограничено. Из ограниченности X вытекает существование такого замкнутого шара Bn
m радиуса m с центром в начале координат, что X ⊂ Bn
m. Но
Bn
m лежит в произведении отрезков [−m, m]
n, которое компактно по Теореме Тихонова. Тогда
X компактно как замкнутое подмножество компактного куба [−m, m]
n (см. Предложение 27.11
Лекции 8).
30.4. Пример. Сфера S
n−1 = {(x1, . . . , xn) ∈ R
n : x
2
1 + . . . + x
2
n = 1} и замкнутый шар
Bn = {(x1, . . . , xn) ∈ R
n : x
2
1 + . . . + x
2
n ≤ 1} — компактные пространства.
Из Предложения 29.4 и Теоремы 30.3 вытекает
30.5. Следствие. Всякая непрерывная на компактном пространстве функция ограничена и
принимает наибольшее и наименьшее значения.
§ 31.
компактификации . Стоун-Чеховская компактификация.
31.1. Определение. Компактификацией пространства X называется пара (Y, i), где Y —
компактное хаусдорфово пространство, i : X → Y — вложение такое, что Cl(i(X)) = Y . При
этом две компактификации (Y1, i1) и (Y2, i2) пространства X эквивалентны, если существует
гомеоморфизм h : Y1 → Y2 такой, что h ◦ i1 = i2.
Из Предложения 25.2 и Теоремы 25.4 Лекции 7 следует, что пространство X имеет компактификацию в том и только том случае, если оно Тихоновское. Если ясно о каком вложении
пространства в компактное хаусдорфово пространство идет речь, то в обозначении компактификации символ вложения будем опускать.
31.2. Примеры. 1. Окружность S
1 является компактификацией интервала (0, 1) (вложение
t → (cos(2πt),sin(2πt)).
2. Отрезок [0, 1] является компактификацией интервала (0, 1).
3. Компакт X ⊂ R
2
(называемый “sin 1
x
”), являющийся объединением вертикального отрезка
X1 = {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1} и графика X2 = {(x,sin 1
x
) : 0 < x ≤ 1} функции y = sin 1
x
является
компактификацией интервала (0, 1) (вложение t → (t,sin 1
t
)).
Задание N 9
1. Разбиение единицы. Докажите, что для всякого конечного открытого покрытия u = {U1, . . . , Uk}
нормального пространства X существует разбиение единицы {ϕ1, . . . , ϕk}, подчиненное покрытию u.
2. Какие топологии на прямой R из Примера 8.5 Лекции 2 задают компактную топологию?
Какие подмножества прямой Зоргенфрея являются компактными?
Какие подмножества прямой в топологии Зариского являются компактными?
Приведите пример T1 пространства и его не замкнутого компактного подмножества.
3. Пусть X — линейно упорядоченное пространство в топологии линейного порядка. Докажите, что любой отрезок X компактен в том и только том случае, если любое ограниченное
подмножество X имеет точную верхнюю грань в X.
4. Докажите, что лексикографически упорядоченный квадрат компактен, удовлетворяет первой аксиоме счетности, и не сепарабелен.
Докажите, что подмножество (0, 1]×{0}∪[0, 1)×{1} лексикографически упорядоченного квадрата (пространство “Две стрелки Александрова”) компактно, сепарабельно и не удовлетворяет
второй аксиоме счетности (следовательно не метризуемо).
5. Докажите, что в регулярном пространстве для любых дизъюнктных замкнутого и компактного подмножеств существуют их дизъюнктные окрестности.
6. Пусть на множестве X даны хаусдорфова T1 и компактная T2 топологии. Покажите, что
если T1 ⊂ T2, то T1 = T2.
Покажите, что любые две хаусдорфовы, компактные топологии на множестве X или совпадают, или не сравнимы.
53
7 “Лемма о трубке”. Пусть в произведении X × Y сомножитель Y компактен. Докажите, что
для любой окрестности O “слоя” {x} × Y , где x произвольная точка X, существует окрестность
Ox точки x такая, что Ox × Y ⊂ O.
Приведите пример, показывающий, что требование компактности сомножителя Y существенно.
Докажите Первую Теорему Тихонова в случае конечного числа сомножителей, используя
“Лемму о трубке”.
8. Докажите, что отображение f : X → Y , где Y — компактное хаусдорфово пространство,
непрерывно в том и только том случае, если график отображения замкнут.
9. Пусть X — хаусдорфово пространство, Kα, α ∈ A, — семейство компактных подмножеств
X, U — окрестность T
{Kα : α ∈ A}. Докажите, что тогда существует конечное подмножество
AF in ⊂ A такое, что T
{Kα : α ∈ AF in} ⊂ U.
10. Докажите, что в хаусдорфовом компактном пространстве объединение счетного числа
замкнутых подмножеств, внутренность которых пуста, имеет пустую внутренность.
11. Какие из подмножеств пространства матриц Mat(n × n, R) ⊂ R
n
2
компактны:
(a) GL(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : det A 6= 0};
(b) SL(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : det A = 1};
(c) O(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : AAT = E}?
12. Приведите пример метрического пространства и его замкнутого, ограниченного, не компактного подмножества.
13. Докажите, что для любых компактных подмножеств A и B метрического пространства
(X, ρ) существуют точки a ∈ A, b ∈ B такие, что ρ(a, b) = inf{ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.
14. Будет ли компактификация X интервала (0, 1) из пункта 3 Примера 31.2 Лекции 9 эквивалентна компактификации X0 ⊂ R
2
, являющейся объединением вертикального отрезка X1 =
{(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1} и графика X0
2 функции y = sin 1
1−x
; 0 ≤ x < 1 (вложение t → (1 − t,sin 1
1−t
))?
15. (Вторая Теорема Тихонова). Весом топологического пространства называется наименьшая из мощностей его баз. Докажите, что тихоновское пространство X имеет компактификацию
bX, вес которой равен весу X.
Дополнительные задачи Задания N 9
16 “Компактный еж”. Пусть Λ некоторое бесконечное множество. Поставим в соответствие
каждому элементу λ ∈ Λ отрезок [0, 1], который обозначим через [0, 1]λ и будем считать, что все
эти отрезки попарно не имеют общих точек за исключением точки 0, которая предполагается
принадлежащей всем отрезкам. Положим X = ∪{[0, 1]λ : λ ∈ Λ} и определим топологию: на
полуинтервалах (0, 1]λ, λ ∈ Λ — обычная интервальная топология, базисными окрестностями {0}
являются всевозможные конечные объединения полуинтервалов [0, a(λ))λ, 0 < a(λ), λ ∈ ΛF in ⊂
Λ, и всех отрезков [0, 1]λ, λ ∈ Λ \ ΛF in. Показать, что топология корректно задана, компактный
еж — компактен.
“Еж”. Пусть Λ бесконечное множество. Поставим в соответствие каждому элементу λ ∈ Λ
отрезок [0, 1], который обозначим через [0, 1]λ. На сумме ⊕
λ∈Λ
[0, 1]λ определим разбиение R на одноточечные подмножества ⊕
λ∈Λ
(0, 1]λ и множество ⊕
λ∈Λ
{0}λ. Факторпространство суммы ⊕
λ∈Λ
[0, 1]λ
по разбиению R назовем “ежом”.
Докажите, что “еж”, “компактный еж” и “метризуемый еж” (Задача 21 Задания 2) попарно не
гомеоморфны.
17. Докажите, что непустое хаусдорфово компактное пространство X без изолированных точек несчетно.
Докажите, что |X| ≥ c.
18. Докажите, что любые две нормы на R
n эквивалентны (задают одну и ту же топологию).
19. Докажите, что любое отображение f : X → Y тихоновского пространства X в компактное
пространство Y продолжается до отображения его Стоун-Чеховской компактификации βX.
54
Установите единственность (с точностью до эквивалентности) Стоун-Чеховской компактификации βX тихоновского пространства X.
20. Для компактификаций (Y1, i1) и (Y2, i2) считаем Y1 ≤ Y2, если существует отображение
f : Y2 → Y1 такое, что f ◦ i2 = i1. Докажите, что f(Y2 \ i2(X)) = (Y1 \ i2(X)).
Докажите, что ≤ — упорядочение на множестве компактификаций, для которой βX — наибольший элемент.
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология