14. Наследственная несвязность. Нульмерность. Линейная связность. Гомотопия.

§ 44. наследственная несвязность . нульмерность .
44.1 Определение. Пространство X называется вполне несвязным или наследственно несвязным, если несвязно всякое его подпространство, содержащее более одной точки.
Каждое вполне несвязное пространство является T1-пространством.
Пространство вполне несвязно в том и только том случае, если компоненты связности одноточечны.
44.2. Определение. Пространство X называется индуктивно-нульмерным, если оно имеет
базу, состоящую из открыто-замкнутых множеств.
Индуктивно-нульмерное T0-пространство X является тихоновским пространством, и также
называется нульмерным пространством.
44.3. Свойства несвязности. Подпространство индуктивно-нульмерного (соответственно
вполне несвязного) пространства индуктивно-нульмерно (соответственно вполне несвязно).
Нульмерное пространство вполне несвязно.
Тихоновское произведение индуктивно-нульмерных (соответственно нульмерных, вполне несвязных) пространств индуктивно-нульмерно (соответственно нульмерно, вполне несвязно) (Предложение 43.8 Лекции 13).
44.4. Примеры. 1. Канторово множество нульмерно, а значит и вполне несвязно. Действительно, пересечение интервалов прямой, концы которых принадлежат дополнению до канторова
множества, с канторовым множеством — открыто-замкнутая база.
2. Подпространства Q ⊂ R (соответственно P ⊂ R) рациональных (соответственно иррациональных) чисел числовой прямой R нульмерны.
3. Вполне несвязное не нульмерное пространство.
Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxy на плоскости R
2
. На отрезке [0, 1] оси
Ox рассмотрим канторово множество C. Соединим прямолинейным отрезком каждую точку x
множества C с точкой a = (1/2, 1/2) плоскости R
2 и обозначим этот отрезок через [a, x]. Если
точка x ∈ C является концом смежного к C интервала, то на отрезке [a, x] берем все точки, у
которых вторая координата рациональна, в противном случае на отрезке [a, x] берем все точки, у
которых вторая координата иррациональна. Все выбранные точки составляют “веер КнастераКуратовского”, который обозначим через K.
Задача. Доказать, что подпространство K \ {a} является вполне несвязным, не нульмерным
пространством. (Отметим, что пространство K связно.)
44.5. Предложение. Нульмерность и вполне несвязность хаусдорфовых компактных пространств совпадают.
Доказательство. В силу свойств несвязности (пункт 44.3) необходимо показать, что вполне
несвязное компактное пространство X нульмерно. Пусть O — окрестность точки x ∈ X. По
Теореме 43.12 Лекции 13 ее квазикомпонента Qx =
T
α∈A Uα = {x}. Из семейства {X\Uα : α ∈ A}
открытых множеств, покрывающих компактное подмножество X \ O, можно выбрать конечное
подсемейство {X \ Uα1
, . . . , X \ Uαk
}, покрывающее X \ O. Тогда Tk
i=1 Uαi
открыто-замкнутая
окрестность точки x, и Tk
i=1 Uαi ⊂ O. Таким образом установлено, что X имеет базу из открытозамкнутых множеств.
§ 45. линейная связность .
45.1. Определение. Непрерывное отображение ϕ : I = [0, 1] → X называется путем в
пространстве X. Точки ϕ(0) и ϕ(1) называются соответственно началом и концом пути ϕ. Если
начало и конец пути ϕ совпадают, то путь ϕ называется петлей.
45.2. Определение. Пространство X называется линейно связным, если любые две его точки
можно соединить путем, т.е. для любых двух точек x, y ∈ X существует путь ϕ такой, что
ϕ(0) = x, ϕ(1) = y.
Всякое линейно связное пространство связно.
45.3. Пример. Компакт “sin 1
x
” из примера 31.2.3 Лекции 9 связен (связное подмножество
X2 всюду плотно), но не линейно связен. Точки (0, 0) ∈ X1 и (x
0
, y0
) ∈ X2 не соединяются путем.
76
Действительно, пусть существует путь
ϕ : I → X, ϕ(t) = (x(t), y(t)), ϕ(0) = (0, 0), ϕ(1) = (x
0
, y0
).
Множество ϕ
−1
(X1) замкнуто в [0, 1] и пусть τ = sup{t : t ∈ ϕ
−1
(X1)}. Тогда τ < 1, ϕ(τ ) ∈ X1,
ϕ((τ, 1]) ⊂ X2.
Для любого n ∈ N существует τ < tn < min{1, τ +
1
n
} такое, что y(tn) = (−1)n. Действительно,
x(min{1, τ +
1
n
}) > 0. Поэтому существует a, 0 < a < x(min{1, τ +
1
n
}) такое, что sin( 1
a
) = (−1)n.
Образ отрезка [τ, min{1, τ +
1
n
}] содержит отрезок [0, x(min{1, τ +
1
n
})]. Значит существует точка
tn ∈ [τ, min{1, τ +
1
n
}] такая, что x(tn) = a. Так как (x(tn), y(tn)) ∈ X, то y(tn) = (−1)n.
Имеем limn→∞ tn = τ , но limn→∞ ϕ(tn) = limn→∞(x(tn), y(tn)) не определен. Значит отображение ϕ разрывно в точке τ (Теорема 14.7 Лекции 3).
45.4. Определение. Пусть ϕ : I → X и ψ : I → X такие пути, что ϕ(1) = ψ(0). Произведением путей ϕ и ψ называется путь ϕψ : I → X,
ϕψ(t) = 
ϕ(2t) при 0 ≤ t ≤
1
2
,
ψ(2t − 1) при 1
2 ≤ t ≤ 1.
Обратным путем к ϕ : I → X называется путь ϕ
−1
: I → X,
ϕ
−1
(t) = ϕ(1 − t).
45.5. Предложение. Пусть Zα — линейно связные подмножество пространства X, α ∈ A.
Если Z0 =
T
α∈A Zα 6= ∅, то множество Z =
S
α∈A Zα линейно связно.
Доказательство. Пусть x, y ∈ Z такие, что x ∈ Zα1
, y ∈ Zα2
, и x0 ∈ Z0. Найдем путь с
началом в x и концом в y.
Существуют пути ϕ : I → Zα1
, ϕ(0) = x0, ϕ(1) = x, и ψ : I → Zα2
, ψ(0) = x0, ψ(1) = y. Путь
ϕ
−1ψ : I → Z является искомым.
45.6. Свойства линейной связности.
1. Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
2. Тихоновское произведение линейно связных пространств — линейно связное пространство.
Пусть X =
Q
α∈A Xα и Xα — линейно связное пространство, α ∈ A. Для x = (xα), y = (yα) ∈ X
существуют пути ϕα : I → Xα, ϕα(0) = xα, ϕα(1) = yα, α ∈ A. Тогда путь ϕ = ∆α∈Aϕα является
искомым.
45.7. Определение. Максимальное (по включению) линейно связное подмножество пространства X называется компонентой линейной связности пространства X.
В отличие от компонент связности, компоненты линейной связности не обязаны быть замкнутыми. Так, компакт “sin 1
x
” имеет две компоненты линейной связности: замкнутую X1 и
незамкнутую X2.
Пространство X является дизъюнктной суммой своих компонент линейной связности (см.
Предложение 45.5). Всякая точка x ∈ X содержится в единственной компоненте линейной связности пространства X.
§ 46. гомотопия . Связанные гомотопии.
46.1. Определение гомотопии. Непрерывные отображения f : X → Y и g : X → Y называются гомотопными (обозначение f ∼h g), если существует такое непрерывное отображение
Φ : X × I → Y , что Φ(x, 0) = f(x), Φ(x, 1) = g(x) для каждого x ∈ X. Всякое такое отображение
Φ называется гомотопией, соединяющей f с g.
Отбражение, гомотопное постоянному отображению, называют гомотопным нулю.
Иногда отображение Φ заменяется семейством отображений
ft : X → Y, t ∈ I, ft(x) = Φ(x, t).
Семейство отображений {ft : X → Y : t ∈ T} можно рассматривать как отображение
F : I → C(X, Y ).
Из Теоремы 42.2 Лекции 13 следует.
46.2. Предложение. Пусть пространство C(X, Y ) с компактно-открытой топологией.
Если отображение Φ : X × I → Y непрерывно, то непрерывно и отображение F : I →
C(X, Y ).
77
Если отображение F : I → C(X, Y ) непрерывно и пространство X локально компактно, то
непрерывно отображение
Φ : X × I → Y, Φ(x, t) = ft(x).
46.3. Теорема. Отношение гомотопности является отношением эквивалентности на множестве C(X, Y ) всех непрерывных отображений из X в Y .
Доказательство. Рефлексивность. Всякое отображение f : X → Y гомотопно самому себе.
Действительно, достаточно рассмотреть постоянную гомотопию отображения f: Φ : X ×I → Y ,
где Φ(x, t) = f(x) для любых x ∈ X, t ∈ I. Ее непрерывность следует из формулы Φ = f ◦ prX,
где prX — проекция произведения на сомножитель X.
Симметричность. Пусть отображение Φ : X ×I → Y — гомотопия, связывающая отображения
f и g. Рассмотрим отображение Γ : X × I → Y , определяемое формулой Γ(x, t) = Φ(x, 1 − t). Это
отображение, очевидно, непрерывно и является гомотопией, соединяющей отображения g и f.
Следовательно, отношение ∼h симметрично.
Транзитивность. Пусть даны отображения fi
: X → Y, i = 1, 2, 3. При этом, f1 ∼h f2, а
f2 ∼h f3. Надо показать, что f1 ∼h f3. Пусть гомотопия Φ1 соединяет f1 с f2, а гомотопия Φ2
соединяет f2 с f3. Определим гомотопию Φ : X × I → Y следующим образом:
Φ(x, t) = 
F1(x, 2t) при 0 ≤ t ≤
1
2
;
F2(x, 2t − 1) при 1
2 ≤ t ≤ 1.
Имеем Φ

x, 1
2


= Φ1(x, 1) = f2(x). С другой стороны Φ

x, 1
2


= Φ2(x, 0) = f2(x). Значит, отображение Φ определено корректно. Оно непрерывно, будучи непрерывным на замкнутых слагаемых
X ×

0,
1
2

и X ×

1
2
, 1

. Наконец, Φ(x, 0) = Φ1(x, 0) = f1(x, 0), Φ(x, 1) = Φ2(x, 1) = f3(x). Таким
образом, гомотопия Φ соединяет f1 с f3.
46.4. Определение. Классы эквивалентности гомотопных отображений называются гомотопическими классами. Гомотопический класс отображения f : X → Y будем обозначать через
[f]. Множество гомотопических классов отображений X → Y обозначается через π(X, Y ).
46.5. Примеры. 1. π(X, I) состоит из одной точки. В самом деле, пусть f0, f1 : X → I — два
непрерывных отображения. Рассмотрим гомотопию Φ : X × I → I, определяемую следующим
образом:
Φ(x, t) = (1 − t)f0(x) + tf1(x). (46.1)
Ясно, что отображение из (46.1) соединяет f0 с f1.
Непрерывность отображения Φ(x, t) = (1 − t)f0(x) + tf1(x) = f0(x) + t(f1(x) − f0(x)) можно
доказать, установив непрерывность отображений H(x, t) = f0(x) : X ×I → I и G(x, t) = t(f1(x)−
f0(x)) : X × I → I (как сумму непрерывных функций). Остается отметить, что H = f0 ◦ prX
(и она непрерывна как композиция непрерывных отображений), G(x, t) = prI (x, t) · ((f1 − f0) ◦
prX)(x, t) (и она непрерывна как произведение непрерывных функций), где prI , prX — проекции
произведения X × I на сомножители I и X соответственно.
2. Рассуждения предыдущего пункта показывают, что π(X, V ) одноточечно для любого выпуклого подмножества R
n.
3. Если X одноточечное пространство, то множество π(X, Y ) есть множество компонент линейной связности пространства Y .
4. Если пространство X локально компактно, то π(X, Y ) — компонентны линейной связности
пространства C(X, Y ) в компактно-открытой топологии.
46.6. Лемма. Если h : A → X, f, f0
: X → Y, g : Y → B — непрерывные отображения, и
F : X ×I → Y — гомотопия, соединяющая f и f
0
, то g ◦F ◦ (h×id) — гомотопия, соединяющая
g ◦ f ◦ h и g ◦ f
0 ◦ h : A → B, где id — тождественное отображение отрезка I.
Доказательство. Тривиальная проверка условий гомотопности отображений.
46.7. Связанные гомотопии. Пусть A — подмножество пространства X. Гомотопия F :
X × I → Y называется связанной на A, или A-гомотопией, если F(x, t) = F(x, 0) при x ∈ A,
t ∈ I. Два отображения, которые можно соединить A-гомотопией называются A-гомотопными.
Как и обычная гомотопность, A-гомотопность является отношением эквивалентности. Как
правило, мы будем иметь дело лишь с одноточечным и двухточечным множеством A.
Задание N 14
1. Докажите, что вполне несвязное пространство является T1-пространством.
78
2. Докажите, что нульмерное пространство вполне несвязно.
3. Докажите, что подпространства Q ⊂ R (соответственно P ⊂ R) рациональных (соответственно иррациональных) чисел числовой прямой R нульмерны.
4. Докажите, что прямая Зоргенфрея нульмерна.
4. Докажите, что тихоновское произведение нульмерных (соответственно вполне несвязных)
пространств нульмерно (соответственно вполне несвязно).
5. Пусть A∩B и A∪B — линейно связные множества. Верно ли, что A и B — линейно связные
множества? А если, дополнительно, оба множества открыты (замкнуты)?
6. Будет ли внутренность линейно связного множества связна? Будет ли граница линейно
связного множества связна? Будет ли множество линейно связно, если его граница линейно
связна?
7. Какие из следующих пространств
N × [0, 1), [0, 1) × N, [0, 1) × [0, 1], [0, 1] × [0, 1)
с топологиями, порожденными лексикографическим порядком на произведениях, будут линейно связными?
8. Докажите линейную связность пространств R
n, сфер S
n и замкнутых шаров Bn, n ∈ N.
9. Найдите компоненты линейной связности следующих подпространств вещественных матриц:
(a) GL(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : det A 6= 0};
(b) O(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : AAT = E};
(c) Symm(n, R) = {A ∈ Mat(n × n, R) : AT = A}?
10. Докажите, что для подмножеств прямой связность и линейная связность эквивалентны.
Докажите, что открытое связное подмножество R
2 линейно связно.
11. Пусть A — счетное подмножество R
2
. Докажите, что R
2 \ A линейно связно.
12. Докажите, что π(X, V ) одноточечно для любого выпуклого подмножества V в R
n.
13. Установите гомотопность любых непрерывных не сюръективных отображений f, g : X →
S
n, n ∈ N.
14. Докажите, что если X одноточечное пространство, то множество π(X, Y ) есть множество
компонент линейной связности пространства Y .
15. Когда гомотопны два постоянных отображения?
16. Пусть X — линейно связное пространство. Докажите, что π(I, X) одноточечно.
17. Докажите, что если пространство X хаусдорфово и локально компактно, то π(X, Y ) —
компонентны линейной связности пространства C(X, Y ) в компактно-открытой топологии.
18. Докажите, что если отображения f, f0
: X → Y гомотопны и отображения g, g0
: Y → Z
гомотопны, то тогда отображения g ◦ f и g
0 ◦ f
0
гомотопны.
19. Докажите, что непрерывные отображения f, g : X → Y ×Z гомотопны в том и только том
случае, если гомотопны пары композиций pY ◦ f, pY ◦ g и pZ ◦ f, pZ ◦ g, где pY и pZ — проекции
в произведении на соответствующие сомножители.
Дополнительные задачи Задания N 14
20. Докажите, что пространство веер Кнастера-Куратовского K (Пример 37.4 Лекции 14)
связно, подпространство K \ {a} является вполне несвязным, но не нульмерным пространством.
21. Докажите, что множество точек гильбертова пространства `
2 все координаты которых
рациональны вполне несвязно, но не нульмерно.
22. Докажите, что факторпространство хаусдорфова компактного пространства по его разбиению на компоненты связности является нульмерным хаусдорфовым компактным пространством.
23. Пусть X1 и X2 — замкнутая и открытая компоненты линейной связности компакта X
из Примера 31.2.3 Лекции 9. Докажите, что если при непрерывном отображении f : X → X
существует точка x ∈ X2, для которой f(x) ∈ X1, то и f(X) ⊂ X1.
79
24. Будут ли гомотопны любые два непрерывных отображения произвольного пространства
X в линейно связное пространство?
25. Приведите пример пространств X и Y , подмножества A пространства X и непрерывных
отображений f, g : X → Y таких, что f|A = g|A, f и g гомотопны, но не A-гомотопны.