§ 15. Слабая (инициальная) топология относительно семейства отображений.
15.1. Определение. Пусть fα : X → Yα, α ∈ A, — семейство отображений множества X в
пространства Yα. Тогда семейство множеств
f
−1
α (U) : U открыто в Yα, для некоторого α ∈ A
является покрытием множества X и согласно Предложению 8.8 Лекции 2 — предбазой некоторой
топологии T на X. Назовем T слабой или инициальной топологией относительно семейства
отображений {fα : α ∈ A}.
Относительно этой топологии все отображения fα непрерывны в силу Предложения 13.2 Лекции 3. При этом, T — наименьшая (слабейшая) топология на X, обладающая этим свойством.
Легко видеть, что в определении достаточно ограничиться открытыми множествами U ⊂ Yα
из некоторой предбазы пространства Yα.
15.2. Примеры.
1. Пусть M — подмножество пространства (X, T ), iM : M → X отображение тождественного
вложения. Тогда слабая топология на M относительно вложения iM совпадает с топологией
подпространства T |M.
2. Пусть Tα, α ∈ A, — семейство топологий на множестве X, idα : X → Xα, α ∈ A, —
семейство тождественных отображений множества X в пространства Xα. Тогда на X определена
точная верхняя грань семейства топологий A как слабая топология относительно семейства
отображений {idα : α ∈ A}.
15.3. Предложение. Пусть fα : X → Yα, α ∈ A, — семейство отображений пространства
(X, T ) в пространства Yα. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) T — слабая топология на X относительно семейства отображений fα, α ∈ A,
2) для любого пространства Z его отображение f : Z → X непрерывно в том и только том
случае, если отображения fα ◦ f : X → Yα, α ∈ A, непрерывны.
Доказательство. 1) =⇒ 2). Необходимость в условии 2) следует из непрерывности отображений fα, α ∈ A, и их композиции с f. Достаточность. По Предложению 13.3 Лекции 3 достаточно
показать, что прообраз множества O из предбазы топологии X, определенной в Определении
15.1, открыт в Z. Пусть O = f
−1
α (Oα) для некоторого α ∈ A. Тогда
f
−1O = f
−1
(f
−1
α (Oα)) = (fα ◦ f)
−1
(Oα),
и f
−1O открыто.
2) =⇒ 1). Так как тождественное отображение id пространства (X, T ) в (X, T ) — гомеоморфизм, то по условию 2) композиции fα ◦ id непрерывны, α ∈ A. Значит и отображения fα, α ∈ A,
непрерывны, так как для любого открытого подножества Oα ⊂ Yα имеем
f
−1
α (Oα) = id((fα ◦ id)−1
(Oα)),
и множество (fα ◦ id)−1
(Oα) открыто в X, α ∈ A.
Пусть T
0 — слабая топология на X относительно семейства отображений fα, α ∈ A. Тогда
T ≥ T 0
, и для любого α ∈ A композиция fα ◦ id : X → Yα тождественного отображения (X, T
0
)
в (X, T ) и fα : X → Yα непрерывна (T
0 — слабая топология на X относительно семейства
отображений fα, α ∈ A, а на множестве X отображения fα и fα ◦ id совпадают). По условию 2)
тождественное отображение id : (X, T
0
) → (X, T ) непрерывно, т.е. любое множество, открытое в
(X, T ), открыто в (X, T
0
). Значит T
0 ≥ T . Тем самым, T = T
0
.
§ 16.
декартово произведение семейства множеств .
16.1. Определение. Пусть дано некоторое семейство множеств {Aα : α ∈ J}. Обозначим
через Q
α∈J
Aα декартово произведение этих множеств, т.е. множество всех таких отображений
x : J →
S
α∈J Aα, что x(α) ∈ Aα для любого α ∈ J.
26
Для конечного J = {1, . . . , k} произведение семейства множеств A1, . . . Ak обозначается через
A1 × . . . × Ak, для J = N через Q∞
i=1
Ai
.
Если S ⊂ J, то определено естественное проектирование (проекция)
prS :
Y
α∈J
Aα →
Y
α∈S
Aα,
ставящее в соответствие точке x произведения Q
α∈J Aα (отображению x : J →
S
α∈J Aα) точку
prS(x) = x|S (ограничение x|S отображения x на множество S). Если S состоит из одного индекса
α, то prS будем обозначать через prα.
Точку x(α) ∈ Aα будем называть α-координатой точки x ∈
Q
α∈J
Aα и, как правило, будем
обозначать xα, сама точка x будет обозначаться (xα). В частности, элемент x произведения
Q∞
i=1
Ai будет обозначаться (xi).
16.2. Пример. Пусть 2 = {0, 1}, {Ai = 2 : i ∈ N}. Тогда 2
N =
Q∞
i=1
Ai есть множество всех
последовательностей из 0 и 1 (отображений натуральных чисел в множество из двух элементов).
2
N также называется счетной степенью двоеточия.
§ 17.
тихоновская топология произведения .
17.1. Определение. Пусть сомножители Xα декартова произведения X =
Q
{Xα : α ∈ A
являются топологическими пространствами. Тогда на множестве X можно рассмотреть слабую
топологию, относительно семейства проекций prα : X → Xα, α ∈ A. Эта топология называется
тихоновской топологией произведения. Множество X с этой топологией называется топологическим, или тихоновским, или просто произведением пространств Xα.
Согласно Определению 15.1 предбазу пространства X образуют всевозможные множества
вида pr−1
α (U), где U берется из некоторой базы пространства Xα, а базу, следовательно, — всевозможные их конечные пересечения
pr−1
α1
(Uα1
) ∩ . . . ∩ pr−1
αk
(Uαk
).
17.2. Примеры.
1. Плоскость R
2
гомеоморфна произведению R × R числовых прямых.
2. Рассмотрим в евклидовом пространстве R
3 прямоугольную систему координат Oxyz и определим тор T
2 как поверхность вращения окружности
(x − 2)2 + z
2 = 1
y = 0
вокруг оси Oz.
Тор T
2
гомеоморфен произведению S
1 × S
1 окружностей.
Из Предложения 15.3 следует.
17.3. Следствие. Пусть X — произведение пространств Xα, α ∈ A. Отображение f : Z →
X непрерывно в том и только том случае, если все композиции prα ◦ f : Z → Xα непрерывны.
17.4. Предложение. Произведение подпространств Yα ⊂ Xα, α ∈ A, совпадает с подпространством T
pr−1
α (Yα) : α ∈ A
произведения X =
Q
Xα : α ∈ A
.
Доказательство. Имеем
Y =
Y
Yα : α ∈ A
= {x ∈ X : x(α) ∈ Yα, α ∈ A} =
=
\
pr−1
α (Yα) : α ∈ A
⊂
Y{Xα : α ∈ A}.
Пусть qα = prα|Y : Y → Yα. Предбазу топологии подпространства T
pr−1
α (Yα) : α ∈ A
образуют
множества Y ∩ pr−1
α (U), где U открыто в Xα. Но Y ∩ pr−1
α (U) = q
−1
α (U ∩ Yα), а множества
q
−1
α (U ∩ Yα) образуют предбазу топологии Q
Yα : α ∈ A
.
17.5. Определение (
произведения отображений ). Пусть fα : Xα → Yα, α ∈ A, — отображения. Тогда отображение f :
Q
Xα →
Q
Yα, определяемое равенствами f(x)(α) = fα
x(α)
, α ∈
A, называется произведением отображений fα и обозначается через Q
fα : α ∈ A
.
27
Если множество индексов конечно: A = {1, . . . , k}, то произведение отображений обозначается
через f1 × . . . × fk.
17.6. Предложение. Произведение f непрерывных отображений fα : Xα → Yα, α ∈ A,
непрерывно.
Доказательство. Обозначим через qα проекцию произведения Y =
Q
Yα0 : α
0 ∈ A
на
сомножитель Yα. Из Определения 17.5 вытекает равенство
qα ◦ f = fα ◦ prα. (17.1)
Отображение fα ◦ prα непрерывно как композиция непрерывных отображений. Тогда непрерывность отображения f вытекает из (17.1) и Предложения 15.3.
17.7. Определение (диагонального произведения отображений). Пусть fα : X →
Yα, α ∈ A, — отображения. Тогда отображение f : X →
Q
Yα : α ∈ A
, определяемое равенствами f(x)(α) = fα(x), α ∈ A, называется диагональным произведением отображений fα и
обозначается через ∆{fα : α ∈ A}.
В случае конечного множества индексов пишем f = f1∆ . . . ∆fk.
17.8. Предложение. Диагональное произведение f непрерывных отображений непрерывно.
Доказательство. Как и в случае произведения отображений, применяем Предложение 15.3,
поскольку qα ◦ f = fα.
17.9. Пример.
канторово совершенное множество . Возьмем отрезок I = [0, 1] числовой
прямой и назовем его отрезком нулевого ранга. На нем возьмем два отрезка I0 = [0,
1
3
] и I1 = [ 2
3
, 1]
и назовем их отрезками первого ранга. Интервал J = ( 1
3
,
2
3
) назовем интервалом первого ранга.
С каждым из отрезков I0 и I1 поступим так же, как и с отрезком I, а именно на I0 и I1 возьмем
по два отрезка второго ранга, т.е.
I00 = [0,
1
9
], I01 = [ 2
9
,
1
3
],
I10 = [ 2
3
,
7
9
], I11 = [ 8
9
, 1].
Между ними лежат интервалы второго ранга
J0 = ( 1
9
,
2
9
), J1 = ( 7
9
,
8
9
).
Продолжаем это построение. Пусть построены 2
n отрезков n-го ранга Ii1...in
(каждый из индексов
принимает значения 0 или 1). Каждый из отрезков Ii1...in разделим на три равные по длине части:
два крайних отрезка Ii1...in0 и Ii1...in1 (первая и третья трети отрезка Ii1...in
) и лежащий между
ними интервал Ji1...in
.
Объединение всех отрезков n-го ранга обозначим через Cn. Это — подмножество отрезка I,
дополнение к которому состоит из всех интервалов ранга ≤ n. Поэтому пересечение
C =
T
{Cn : n = 1, 2 . . .}
имеет своим дополнением (в отрезке I) объединение всех интервалов Ji1...in
всевозможных рангов. Различные интервалы этого семейства попарно не пересекаются. Отсюда, в частности, следует, что концы всех интервалов Ji1...in принадлежат множеству C. Кроме того, C содержит
точки 0 и 1. Множество C и называется канторовым совершенным множеством или канторовым дисконтинуумом.
Канторово множество C гомеоморфно тихоновскому произведению 2
N (счетной степени
дискретного двоеточия).
Доказательство. Различные отрезки n-го ранга не пересекаются. Поэтому каждая точка
x ∈ C принадлежит единственному отрезку Ii1...in n-го ранга. Следовательно, каждой точке
x ∈ C однозначно соответствует последовательность отрезков
Ii1 ⊃ Ii1i2 ⊃ . . . ⊃ Ii1i2...in ⊃ . . . ,
значит, и последовательность индексов
i1, i2, . . . , in, . . . (17.2)
(из нулей и единиц). Таким образом, сопоставляя каждой точке x ∈ C последовательность (17.2),
получаем отображение g, которое, как только что показано, инъективно, а по лемме о последовательности вложенных стягивающих отрезков сюръективно, т.е. является отображением “на”
(см. Пример 16.2).
Покажем, что отображение g канторова множества в произведение 2
N с тихоновской топологией непрерывно. Для любого n ∈ N композиция g и проекции prn на n сомножитель — отображение
28
C в двоеточие {0, 1}. (Отображение g — диагональное произведение отображений g ◦prn, n ∈ N.)
Прообраз нуля — пересечение C с объединением отрезков n-ранга в индексации i1, i2, . . . , in которых in = 0, прообраз единицы — пересечение C с объединением отрезков n-ранга в индексации
i1, i2, . . . , in которых in = 1. Оба множеста — открыто-замнутые подмножества C. Значит prn ◦ g
— непрерывно. Для доказательства непрерывности g остается применить Следствие 17.3.
Канторово множество C компактно по критерию компактности в R
n и непрерывная биекция
компакта — гомеоморфизм (об этом речь будем позже). Значит g — гомеоморфизм.
Задание N 4
1. Проверьте, что следующие условия на биективное отображение f : X → Y эквивалентны:
(a) отображение f — гомеоморфизм;
(b) множество O открыто в том и только том случае, если множество f(O) открыто;
(c) множество F замкнуто в том и только том случае, если множество f(F) замкнуто;
(d) множество O открыто в том и только том случае, если множество f
−1
(O) открыто;
(e) множество F замкнуто в том и только том случае, если множество f
−1
(F) замкнуто.
2. Проверьте, что если f : X → Y — гомеоморфизм, то для любого A ⊂ X выполнено:
(a) f(ClA) = Cl(f(A));
(b) f(IntA) = Int(f(A));
(c) f(BdA) = Bd(f(A)).
3. Постройте гомеоморфизмы:
(a) [0, 1] на [a, b], a < b;
(b) (0, 1] на [0, 1);
(c) (0, 1) на R.
Докажите, что [0, 1], [0, 1) и (0, 1) попарно не гомеоморфны.
4. Докажите, что следующие пространства гомеоморфны:
(a) R
2
;
(b) {(x, y) ∈ R
2
: x ∈ (0, 1), y ∈ (0, 1)};
(c) {(x, y) ∈ R
2
: x ∈ R, y > 0};
(d) {(x, y) ∈ R
2
: x
2 + y
2 < 1};
(e) {(x, y) ∈ R
2
: x > 0, y > 0};
(f) {(x, y) ∈ R
2
: |x| + y
2 > x};
(g) {(x, y, z) ∈ R
3
: x
2 + y
2 + z
2 = 1} \ (0, 0, 1) (сфера S
2 без точки).
5. Докажите, что следующие пространства гомеоморфны:
(a) R
2 \ (0, 0);
(b) {(x, y) ∈ R
2
: 0 < x2 + y
2 < 1};
(c) {(x, y) ∈ R
2
: x
2 + y
2 > 1};
(d) R
2 \ {(x, y) ∈ R
2
: x, y ∈ [0, 1]};
(e) R
2 \ {(x, y) ∈ R
2
: x ∈ [0, 1], y = 0}.
6. Докажите, что сфера S
n с выкинутой точкой гомеоморфна R
n, n ∈ N.
7. Докажите, что пространства Z, Q и R попарно не гомеоморфны.
8. Отображение f : X → Y называется вложением, если f — гомеоморфизм X на подпространство f(X). Докажите, что Q не вкладывается в Z.
9. Докажите, что прямая в евклидовой топологии, прямая в топологии Зариского и прямая
Зоргенфрея попарно не гомеоморфны.
10. Приведите пример непрерывного биективного отображения f : X → Y пространств X и Y ,
не являющегося гомеоморфизмом. Можно ли при этом потребовать дополнительно, что X = Y ?
11. Докажите, что n-ая степень прямой R (отрезка I = [0, 1]) гомеоморфна евклидову пространству R
n (кубу I
n — подпространству евклидова пространства R
n), n ∈ N.
29
12. Рассмотрим в евклидовом пространстве R
3 прямоугольную систему координат Oxyz и
определим тор T
2 как поверхность вращения окружности
(x − 2)2 + z
2 = 1
y = 0
вокруг оси Oz.
Докажите, что тор T
2
гомеоморфен произведению S
1 × S
1 окружностей.
13. Для отображения f : X → Y множество {(x, f(x)) ⊂ X × Y : x ∈ X} называется графиком отображения. Докажите гомеоморфность пространства X и графика его произвольного
непрерывного отображения f : X → Y . Верно ли утверждение для произвольного отображения?
14. Вложите S
1 × B2
, S
1 × S
1 × I, S
2 × I в R
3
, где B2 — замкнутый круг единичного радиуса
в R
2
, S
2 — двумерная сфера.
15. Пусть A ⊂ X, B ⊂ Y . Проверьте выполнение равенств:
(a) Int(A × B) = IntA × IntB;
(b) Cl(A × B) = ClA × ClB;
(c) Bd(A × B) = BdA × BdB;
(d) Bd(A × B) = (BdA × B) ∪ (A × BdB);
(e) Bd(A × B) = (ClA × BdB) ∪ (BdA × ClB).
16. Докажите, если произведение f отображений fα : Xα → Yα, α ∈ A, непрерывно, то и
каждое отображение fα, α ∈ A, непрерывно.
17. Докажите, если диагональное произведение f отображений непрерывно, то и каждое отображение fα, α ∈ A, непрерывно.
18. Пусть X = {f ∈ R
N : множество {n ∈ N : f(n) 6= 0} конечно}. Найдите замыкание X в R
N.
19. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство, Tρ — метрическая топология на X. Докажите,
что метрика ρ непрерывна на квадрате пространства (X, Tρ).
Докажите, что если метрика ρ (как отображение) непрерывна на квадрате пространства
(X, T ), то T ≥ Tρ.
20. Объясните непрерывность бинарных операций сложения и умножения на R, сложения и
умножения на скаляр в нормированном пространстве над полем R.
Дополнительные задачи Задания N 3
21. Существуют ли негомеоморфные пространства X и Y для которых определены непрерывные биекции f : X → Y и g : Y → X?
22. Докажите, что квадрат {(x, y) ∈ R
2
: x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1]} гомеоморфен кругу {(x, y) ∈ R
2
:
x
2 + y
2 ≤ 1}.
23. Докажите, что пространство R
n \ R гомеоморфно S
n−2 × R
2
, n ∈ N, где S
m — m-мерная
сфера.
24. T
k = S
1 × · · · × S
1
| {z }
k
— k-мерный тор. Вложите T
k в R
k+1
.
25. Всякая ли непрерывная биекция прямой в стандартной топологии (прямой Зоргенфрея)
является гомеоморфизмом?
Опишите все гомеоморфизмы прямой в стандартной топологии.
Всякая ли биекция прямой в топологии Зариского является гомеоморфизмом?
26. Докажите, что любое замкнутое выпуклое подмножество плоскости гомеоморфно или точке, или отрезку, или кругу, или лучу, или прямой, или полосе, или полуплоскости, или плоскости.
27. Подмножество пространства `
2
, состоящее из всех точек (x1, ..., xk, ...), для которых 0 ≤
xk ≤ 1/2
k
, k ∈ N, называется гильбертовым кубом в `
2
. Докажите, что гильбертов куб — замкнутое подмножество `
2
;
внутренность гильбертова куба в `
2 — пустое множество.
Докажите, что гильбертов куб в `
2
гомеоморфен гильбертову кубу [0, 1]N (счетной степени
отрезка).
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология