§ 18.
финальная топология относительно семейства отображений .
18.1. Определение. Пусть fα : Xα → Y, α ∈ A, — семейство отображений пространств Xα
в множество Y . Тогда легко проверить, что семейство множеств
U : f
−1
α (U) открыто в Xα, для любого α ∈ A
является топологией T на Y . Назовем T финальной топологией относительно семейства отображений {fα : α ∈ A}.
Относительно этой топологии все отображения fα непрерывны. При этом, T — наибольшая
(сильнейшая) топология на Y , обладающая этим свойством.
18.2. Пример.
Пусть Tα, α ∈ A, — семейство топологий на множестве X, idα : Xα → X, α ∈ A, — семейство
тождественных отображений пространств Xα на множество X. Тогда на X определена точная
нижняя грань семейства топологий A как финальная топология относительно семейства {idα :
α ∈ A}.
18.3. Предложение. Пусть fα : Xα → Y, α ∈ A, — семейство отображений пространств
Xα в пространство (Y, T ). Тогда следующие условия эквивалентны:
1) T — финальная топология на Y относительно семейства отображений fα, α ∈ A,
2) для любого пространства Z отображение f : Y → Z непрерывно в том и только том
случае, если отображения f ◦ fα : Xα → Z, α ∈ A, непрерывны.
Доказательство. 1) =⇒ 2). Необходимость в условии 2) следует из непрерывности отображений fα, α ∈ A, и их композиции с f. Достаточность. Пусть множество O открыто в Z. Тогда
множество
(f ◦ fα)
−1O = f
−1
α (f
−1
(O))
открыто в Xα для любого α ∈ A. По Определению 18.1 множество f
−1
(O) открыто в Y . Тем
самым отображение f непрерывно.
2) =⇒ 1). Так как тождественное отображение id пространства (Y, T ) в (Y, T ) — гомеоморфизм, то по условию 2) композиции id◦ fα непрерывны, α ∈ A. Значит и отображения fα, α ∈ A,
непрерывны так как для любого открытого подножества O ⊂ Y имеем
f
−1
α (O) = (id ◦ fα)
−1
(id(O)),
и множество (id ◦ fα)
−1
(id(O)) открыты в Xα, α ∈ A.
Пусть T
0 — финальная топология на Y относительно семейства отображений fα, α ∈ A. Тогда
T
0 ≥ T , и для любого α ∈ A композиция fα : Xα → Y и тождественного отображения (Y, T )
в (Y, T
0
) непрерывна (T
0 — финальная топология на Y относительно семейства отображений
fα, α ∈ A, а на Xα отображения fα и id ◦ fα в множество Y совпадают). По условию 2) тождественное отображение непрерывно, т.е. любое множество, открытое в (Y, T
0
), открыто в (Y, T ).
Значит T ≥ T 0
. Тем самым, T = T
0
.
§ 19.
сумма пространств и суммы отображений .
19.1. Определение. Пусть Xα, α ∈ A, — дизъюнктное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество X =
S
{Xα : α ∈ A} и семейство тождественных вложений
iα : Xα → X, α ∈ A. Множество X с финальной топологией относительно семейства вложений
iα, α ∈ A называется суммой пространств Xα, α ∈ A, и обозначается через ⊕
α∈A
Xα или через
X1 ⊕ X2 ⊕ . . . ⊕ Xk, если A = {1, 2, . . . , k} конечно.
Множество O ⊂ ⊕{Xα : α ∈ A} открыто тогда и только тогда, когда O ∩ Xα открыто в Xα
для каждого α ∈ A. Множество F ⊂ ⊕{Xα : α ∈ A} замкнуто тогда и только тогда, когда F ∩Xα
замкнуто в Xα для каждого α ∈ A. Все множества Xα открыто-замкнуты в ⊕{Xα : α ∈ A}.
19.2. Следствие. Пусть X — сумма пространств Xα, α ∈ A. Отображение f : X → Z
непрерывно в том и только том случае, если все композиции f ◦ iα : Xα → Z непрерывны.
31
19.3. Прямая сумма отображений. Пусть даны суммы X = ⊕{Xα : α ∈ A} и Y = ⊕{Yα :
α ∈ A} топологических пространств Xα и Yα и отображения fα : Xα → Yα. Тогда существует
единственное отображение f : X → Y , удовлетворяющее соотношениям
f ◦ iXα = iYα ◦ fα, α ∈ A,
где iXα
: Xα → X, iYα
: Yα → Y — отображения вложения. Отображение f называется прямой
суммой отображений fα и обозначается через ⊕{fα : α ∈ A}.
19.4. Предложение. Прямая сумма f отображений fα : Xα → Yα, α ∈ A, непрерывна
тогда и только тогда, когда всякое отображение fα непрерывно.
Доказательство. Достаточность следует из непрерывности композициий iYα
◦ fα, α ∈ A, и
Предложения 18.3. Необходимость. Так как f ◦iXα непрерывно, то композиции iYα
◦fα : Xα → Y ,
α ∈ A, непрерывны. Если Oα открыто в Yα, то iYα
(Oα) открыто в Y и i
−1
Xα
(f
−1
(iYα
(Oα))) =
f
−1
α (i
−1
Yα
(iYα
(Oα)) = f
−1
α (Oα) открыто в Xα. Тем самым, отображения fα, α ∈ A, непрерывны.
19.5. Сумма отображений. Для семейства пространств Xα, α ∈ A, и семейства отображений fα : Xα → Y, α ∈ A, в пространство Y существует единственное отображение f : ⊕{Xα :
α ∈ A} → Y , удовлетворяющее соотношениям
f ◦ iXα = fα, α ∈ A. (19.1)
Отображение f называется суммой отображений fα и обозначается через P{fα : α ∈ A}.
19.6. Предложение. Сумма f отображений fα : Xα → Y , α ∈ A, непрерывна тогда и
только тогда, когда всякое отображение fα непрерывно.
Доказательство. Если отображение f непрерывно, то согласно (19.1) каждое отображение
fα непрерывно как композиция непрерывных отображений iXα и f. Достаточность следует из
Предложения 18.3.
§ 20. Факторпространства и факторные отображения.
20.1. Определение. Пусть f : X → Y — отображение пространства X на множество Y .
Финальная топология
T =
U ⊂ Y : f
−1
(U) открыто в X
относительно отображения f называется факторной топологией (или фактортопологией), пространство (Y, T ) —
факторпространство м пространства X, а отображение f — факторным
отображением.
Очевидно, что фактортопология является сильнейшей среди всех топологий на X, для которых отображение f : X → Y непрерывно.
20.2. Примеры. Факторные отображения естественно возникают при разбиениях пространства X на непересекающиеся множества.
1) Возьмем разбиения R числовой прямой R на два множества P и Q иррациональных и
рациональных чисел соответственно. Тогда фактормножество R/R состоит из двух точек a и b.
Что касается фактортопологии, это топология “слипшегося двоеточия”, т.е. слабейшая топология
{∅, R/R} на фактормножестве.
2) Разобьем квадрат I
2 ⊂ R
2
с вершинами (0, 0),(0, 1),(1, 0) и (1, 1) на вертикальные отрезки.
Получающееся факторпространство гомеоморфно отрезку [0, 1] ⊂ R.
3) Вещественное проективное пространство RP
n, n ∈ {0}∪N, — факторпространство сферы
S
n по ее разбиению на пары диаметрально противоположных точек ((x1, . . . , xn+1) ∼ (−x1, . . . , −xn+1)).
20.3. Стягивание пространства.
Факторизация пространства X по разбиению на множество A ⊂ X и одноточечные множества
дополнения X \A называется стягиванием множества A в точку. Обозначение факторпространства X/A.
20.4. Примеры.
1) Разбиение R отрезка [0, 1] на одноточечные множества интервала (0, 1) и двухточечного
множества {0, 1} (стягивание концов отрезка в точку). Тогда факторпространство [0, 1]/{0, 1}
гомеоморфно окружности S
1
.
2) Разбиение R замкнутого круга
B2 =
(x1, x2) ∈ R
2
: x
2
1 + x
2
2 ≤ 1
32
состоит из одноточечных множеств диска D2 ⊂ B2 и граничной окружности S
1 = B2 \ D2
(стягивание окружности в точку). Тогда факторпространство B2/S1
гомеоморфно сфере S
2
.
20.5. Склеивание пространств. Пусть X, Y — топологические пространства, A — подмножество пространства X, f : A → Y — непрерывное отображение. Возьмем сумму X ⊕ Y и
рассмотрим ее разбиение R на одноточечные множества iX(X \ A) и iY (Y \ f(A)), и множества
iY (x) ∪ iX(f
−1
(x)), x ∈ f(A). Факторпространство X ⊕ Y /R обозначается через X ∪f Y , а описанная процедура его построения называется приклеиванием X к Y посредством отображения
f.
20.6. Пример.
Букетом пространств X и Y с отмеченными точками x0 ∈ X и y0 ∈ Y является приклеивание
X к Y посредством отображения f : {x0} → {y0}. Обозначение: X ∨ Y .
Задание N 5
1. Докажите, что факторпространство [0, 1]/{0, 1} (стягивание концов отрезка в точку) гомеоморфно окружности S
1
.
Рассмотрите на прямой R отношение эквивалентности R: x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z. Докажите,
что факторпространство прямой R по ее разбиению на классы отношения эквивалентности R
гомеоморфно окружности S
1
.
2. Докажите, что факторпространство B2/S1
замкнутого круга B2 на плоскости по граничной
сфере S
1
(стягивание окружности в точку) гомеоморфно сфере S
2
.
Докажите, что R
2/B2
гомеоморфно R
2
.
3. Докажите, что факторпространство квадрата I × I = [0, 1] × [0, 1] по его разбиению на
одноточечные подмножества квадрата без двух сторон (0, 1) × I и двухточечные подмножества
{(0, t),(1, t)}, t ∈ I, гомеоморфно цилиндру S
1 × I.
4. Докажите, что факторпространство
(a) цилиндра S
1 × I по его разбиению на одноточечные подмножества
S
1 × (0, 1) и двухточечные подмножества {(t, 0),(t, 1)}, t ∈ S
1
,
(b) квадрата I × I по его разбиению на одноточечные подмножества квадрата без сторон
(0, 1)×(0, 1), двухточечные подмножества {(0, t),(1, t)}, {(t, 0),(t, 1)}, t ∈ (0, 1), и подмножество {(0, 0),(1, 0),(0, 1),(1, 1)}
гомеоморфно тору S
1 × S
1
.
5. Докажите, что факторпространство квадрата I ×I по его разбиению на одноточечные подмножества квадрата без сторон (0, 1)×(0, 1) и двухточечные подмножества {(0, t),(t, 0)}, {(t, 1),(1, t)},
t ∈ I, гомеоморфен сфере S
2
.
6. Факторпространство квадрата I ×I по его разбиению на одноточечные подмножества квадрата без сторон (0, 1) × [0, 1] и двухточечные подмножества {(0, t),(1, 1 − t)}, t ∈ I, называется
лентой Мебиуса.
Факторпространство квадрата I×I по его разбиению на одноточечные подмножества квадрата
без сторон (0, 1) × (0, 1) и двухточечные подмножества {(0, t),(1, t)}, {(t, 0),(1 − t, 1)}, t ∈ (0, 1), и
подмножество {(0, 0),(1, 0),(0, 1),(1, 1)} называется бутылкой Клейна.
Представьте бутылку Клейна как результат
(a) факторизации цилиндра S
1 × I,
(b) факторизации ленты Мебиуса,
(c) склейки по границам двух копий ленты Мебиуса посредством тождественного отображения,
(d) склейки по границам двух копий цилиндра.
7. Докажите, что факторпространство квадрата I × I по его разбиению на одноточечные
подмножества квадрата без сторон (0, 1) × (0, 1) и двухточечные подмножества {(0, t),(1, 1 −
t)}, {(t, 0),(1 − t, 1)}, t ∈ I, гомеоморфно проективной плоскости RP
2
.
8. Получите проективную плоскость RP
2
(a) как результат склейки по границе замкнутого круга B2 и ленты Мебиуса,
(b) как результат факторизации ленты Мебиуса.
33
9. Докажите, что метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности, прямая Зоргенфрея удовлетворяет первой аксиоме счетности, прямая в топологии Зариского не
удовлетворяет первой аксиоме счетности.
10. Докажите, что если пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно удовлетворяет и первой аксиоме счетности.
11. Приведите пример метризуемого пространства, которое не удовлетворяет второй аксиоме
счетности.
12. Докажите, что в любом подмножестве R (со стандартной топологией) имеется счетное
всюду плотное подмножество.
13. Сохраняются ли первая (вторая) аксиомы счетности, сепарабельность пространства в сторону образа при непрерывных отображениях?
14. Докажите, что подмножество Z топологического пространства X всюду плотно в X в
том и только том случае, если Z ∩ O 6= ∅ для любого непустого открытого подмножества O
пространства X.
15. Будет ли пересечение двух всюду плотных подмножеств всюду плотно? А если, дополнительно, одно из подмножеств открыто?
Будет ли пересечение счетного числа открытых всюду плотных подмножеств всюду плотно?
16. Подмножество A пространства X нигде не плотно, если множество X \ClA всюду плотно.
Докажите, что канторово множество нигде не плотно в R.
17. Докажите, что если A нигде не плотное подмножество, то ClA также нигде не плотное
подмножество.
18. Докажите, что граница замкнутого (открытого) множества нигде не плотна. Приведите
пример пространства и его подмножества, со всюду плотной границей.
19. Проверьте верность утверждений:
(a) непрерывный образ всюду плотного множества всюду плотен в образе;
(b) непрерывный образ нигде не плотного множества нигде не плотен в образе.
Дополнительные задачи Задания N 5
20. Пусть f : X → Y непрерывное отображение. Докажите, что если существует непрерывное
отображение g : Y → X такое, что f ◦ g = idY , то тогда f —
факторное отображение .
Пусть A ⊂ X. Непрерывное отображение f : X → A, для которого f(a) = a, a ∈ A, называется
ретракцией X на A, подмножество A называется ретрактом X.
Доказать, что непрерывное отображение f : X → X является ретракцией на свой образ f(X)
в том и только том случае, если f ◦ f = f.
Докажите, что ретракция — факторное отображение.
21. Рассмотрите на прямой R отношение эквивалентности R: x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q. Найдите
факторпространство R/R.
22. Докажите, что любое несчетное замкнутое подмножество прямой R имеет мощность континуум.
Докажите, что любое непустое замкнутое подмножество прямой R без изолированных точек
имеет мощность континуум.
23. Докажите, что если пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, то из любой
его базы можно выбрать счетное семейство, являющееся базой.
24. Будет ли факторпространство пространства, удовлетворяющего первой (второй) аксиоме
счетности, удовлетворять первой (второй) аксиоме счетности?
25. Докажите, что тихоновское произведение континуума сепарабельнах пространств сепарабельно.
26. Существует ли счетное пространство, не удовлетворяющее первой аксиоме счетности?
27. Найдите (опишите) все топологии на множестве X, для которых всюду плотно одноточечное множество {x}, где x ∈ X.
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология