§ 8.
топологические пространства .
8.1. Определение. Пара (X, T ), где T ⊂ 2
X, называется топологическим пространством,
если T удовлетворяет следующим условиям:
(1) ∅, X ∈ T ;
(2) U1, U2 ∈ T ⇒ U1 ∩ U2 ∈ T ;
(3) объединение S
U∈T0
U произвольного семейства T0 ⊂ T принадлежит T .
Говорят, что T — это топология на множестве X. Обычно топологическое пространство
(X, T ) обозначается через X, если ясно, что рассматривается множество с топологией. Элементы
множества X называются точками пространства X.
Элементы топологии T называются открытыми множествами пространства X, а дополнения к ним — замкнутыми множествами.
Из свойств (1), (2) и (3) вытекают свойства:
(1’) ∅ и X — замкнутые множества пространства X;
(2’) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто;
(3’) пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
Семейство всех топологий на множестве X упорядочено отношением включения:
T1 ≤ T2 ⇐⇒ T1 ⊂ T2,
т.е. всякое множество U, открытое в топологии T1, открыто и в топологии T2.
При этом говорят, что топология T1 слабее топологии T2, а топология T2 сильнее топологии
T1. Из Определения 8.1 вытекает, что пара {∅, X} содержится в любой топологии T на X.
Ясно также, что эта пара является топологией на X, следовательно, {∅, X} — наименьшая или
слабейшая на X топология. Она называется антидискретной.
Семейство 2
X всех подмножеств множества X также является топологией на X. Из Определения 8.1 вытекает, что это — наибольшая или сильнейшая топология на X. Она называется
дискретной. В дискретном пространстве всякое множество одновременно открыто и замкнуто.
8.2. Примеры.
1) Простейшими примерами топологических пространств являются X = ∅ и множество X, состоящее из одной точки a. Единственной топологией на этих множествах являются пары {∅, X}.
2) На множестве X, состоящим из двух различных точек a и b, имеются четыре различные
топологии.
T1 = {∅, X} — слипшееся двоеточие;
T2 =
∅, {a}, X
— связное двоеточие;
T3 =
∅, {b}, X
— связное двоеточие;
T4 =
∅, {a}, {b}, X
— дискретное двоеточие.
3) Более сложную ситуацию мы получаем в случае множества X, состоящего из n различных
точек. Из Определения 8.1 вытекает, что число различных топологий на этом множестве не
превосходит 2
2
n
.
4) На множестве X рассмотрим семейство F всех его конечных подмножеств и само множество
X. Это семейство замкнуто относительно конечных объединений и любых пересечений. Значит
семейство F задает топологию через определение замкнутых подмножеств X. Она называется
топологией конечных дополнений.
5) Пусть T — топология на X и Y ⊂ X. Тогда, как легко видеть (используя закон дистрибутивности в доказательстве выполнения условия (3) Определения 8.1), семейство
T |Y = {U ∩ Y : U ∈ T }
является топологией на множестве Y . Пространство (Y, T |Y ) называется подпространством пространства (X, T ). Обычно говорят: “Y есть подпространство пространства X”, T |Y — топология,
индуцированная топологией T в Y .
13
8.3. Определение. Семейство B открытых подмножеств пространства X называется открытой базой X, если всякое открытое множество пространства X является объединением некоторых
элементов из B.
8.4. Предложение. Пусть B — семейство подмножеств множества X, удовлетворяющее
условиям:
(1) всякая точка x ∈ X принадлежит некоторому элементу U ∈ B;
(2) если x ∈ U1∩U2 и U1, U2 ∈ B, то существует такой элемент U3 ∈ B, что x ∈ U3 ⊂ U1∩U2.
Тогда B является базой некоторой (однозначно определенной) топологии на множестве X.
Доказательство. Положим
T =
n [
O∈B0
O : B0 ⊂ Bo
(8.1)
и покажем, что T является топологией на X. Пустое множество принадлежит T , поскольку
∅ =
S
O∈B0
O для B0 = ∅ ⊂ B. Далее, согласно условию (1) X =
S
O∈B O ∈ T . Условие (3)
Определения 8.1 выполнено автоматически. Теперь покажем, что пересечение двух элементов
U1 и U2 из T принадлежит T .
Пусть U1 =
S
V ∈B1
V, U2 =
S
V 0∈B2
V
0
. Тогда
U1 ∩ U2 =
S
V ∈B1
V
∩
S
V 0∈B2
V
0
=
S
V ∈B1
S
V 0∈B2
(V ∩ V
0
).
Но каждое множество вида V ∩V
0
согласно условию (2) является объединением множеств W ∈ B.
Таким образом, и пересечение U1 ∩ U2 является объединением множеств W ∈ B. Следовательно,
T удовлетворяет условию (2) Определения 8.1.
Наконец, если семейство B является базой некоторой топологии, то эта топология определена
однозначно. Но мы сейчас доказали, что семейство T из (8.1) является топологией с базой B.
8.5. Примеры топологий на R.
1) T1 — топология на R, базой которой являются интервалы (a, b), a < b, a, b ∈ R (стандартная
топология).
2) T2 — топология конечных дополнений. Топология конечных дополнений на прямой R называется топологией Зариского.
3) T3 — топология на R, базой которой являются полуинтервалы [a, b), a < b, a, b ∈ R (прямая
с этой топологией называется прямой Зоргенфрея).
4) T4 — топология на R, базой которой являются лучи (a, ∞) = {x ∈ R : a < x}, a ∈ R.
5) Пусть K = {
1
n
: n ∈ N}. T5 — топология на R, базой которой являются множества (a, b),
(a, b) \ K, a < b, a, b ∈ R.
8.6. Определение. Семейство P открытых подмножеств пространства X называется его
открытой предбазой, если множество всевозможных конечных пересечений U1∩. . .∩Uk элементов
Ui ∈ P является базой пространства X.
Семейство v подмножеств множества X называется покрытием множества X, если X = S
V ∈v
V .
8.7. Предложение. Пусть X — множество и v — произвольное его покрытие. Тогда v
является предбазой некоторой однозначно определенной топологии на множестве X.
Доказательство сводится к тому, что семейство B всевозможных конечных пересечений
элементов из v удовлетворяет условиям Предложения 8.4.
§ 9.
топология линейного порядка .
9.1. Определение. Пусть (X, <) — неодноточечное линейно упорядоченное множество. Семейство множеств P:
1) (−∞, b) = {t ∈ X : t < b}, a ∈ X,
2) (a, +∞) = {t ∈ X : a < t}, a ∈ X
образуют предбазу порядковой топологии на X.
Топологию из Определения 9.1 будем называть топологией, порожденной линейным порядком,
или топологией линейного порядка. Множества (a, b) = {t ∈ X : a < t < b}, a < b, a, b ∈ X
называются открытыми интервалами.
9.2. Пример. На плоскости R
2
с лексикографическим порядком открытыми интервалами
((x1, y1),(x2, y2)) являются:
1) вертикальные интервалы ((x, y1),(x, y2)), если x = x1 = x2, y1 < y2,
14
2) объединение вертикального луча {(x1, t) : y1 < t}, вертикальных прямых x = t, x1 < t < x2
и вертикального луча {(x2, t) : t < y2}, если x1 < x2.
9.3. Предложение. Пусть (X, <) — линейно упорядоченное множество и Y ⊂ X. Если T
— порядковая топология на (X, <), T
0 порядковая топология на (Y, < |Y ), то T
0 не обязана
совпадать с T |Y .
Доказательство сводится к построению примера. X = R, Y = (0, 1) ∪ {2}. Тогда {2} —
открытое подмножество (Y, T |Y ), а окрестности точки {2} в пространстве (Y, T
0
) имеют вид
(a, 1) ∪ {2}, где 0 < a < 1.
§ 10.
метрические пространства .
10.1. Определение. Метрическим пространством называется пара (X, ρ), где X — множество, а ρ — метрика на X, т.е. такая неотрицательная функция
ρ : X × X → R+,
что выполнены следующие условия:
(1) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (аксиома тождества);
(2) ∀x, y ∈ X ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии);
(3) ∀x, y, z ∈ X ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (аксиома треугольника).
Часто для краткости метрическое пространство (X, ρ) обозначается одной буквой X. Элементы метрического пространства называются точками. Число ρ(x, y) называется расстоянием
между точками x и y.
10.2. Примеры метрических пространств.
1. Простейшими примерами являются пустое множество и множество X, состоящее из одной
точки. На каждом из этих множеств существует единственная метрика.
2. Евклидовы пространства. После введения прямоугольных координат пространства En,
n ∈ N, превращаются в арифметические n-мерные пространства R
n, в которых расстояние
между точками x = (x1, . . . , xn) и y = (y1, . . . , yn) вычисляется по формуле
ρ(x, y) =
vuutXn
i=1
(xi − yi)
2. (10.1)
3. Всякое множество X превращается в метрическое пространство, если положить ρ(x, y) = 1
для любых различных точек x, y ∈ X.
4. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство и Y ⊂ X. Определим на Y метрику ρ|Y как
ограничение метрики ρ на Y , т.е.
ρ|Y
(x, y) = ρ(x, y) для любых x, y ∈ Y .
Ясно, что так определенная функция расстояния ρ|Y удовлетворяет аксиомам метрики. Формально надо писать не “ρ|Y ”, а “ρ|Y ×Y ”, но для удобства используем более короткое обозначение.
Пара (Y, ρ|Y ) называется подпространством метрического пространства (X, ρ). Подпространства дают нам большой запас метрических пространств.
Следующие примеры метрических пространств связаны с понятием нормированного пространства, известным из курса “Линейная алгебра и геометрия”. Напомним определение в простейшем
случае.
10.3. Определение. Пусть V — вещественное линейное пространство. Нормой в пространстве
V называется отображение
|| · || : V → R+,
ставящее в соответствие вектору x ∈ V неотрицательное число ||x|| и удовлетворяющее аксиомам
(1) если ||x|| = 0, то x = 0;
(2) ||αx|| = |α| · ||x|| для всякого α ∈ R и ∀x ∈ V ;
(3) ∀x, y ∈ V ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (аксиома треугольника).
Из (2) вытекает, что ||0|| = 0.
Линейное пространство V с заданной на нем нормой || · || называется нормированным (линейным) пространством.
10.4. Примеры нормированных пространств.
15
1. Простейшим примером является нульмерное пространство V = {0}, на котором существует
единственная норма.
2. Нормы на арифметическом n-мерном пространстве R
n, векторами которого являются последовательности x = (x1, . . . , xn) вещественных чисел:
||x|| = |x1| + . . . + |xn| (10.2)
(аксиомы нормы проверяются с использованием свойств модуля (вещественного) числа);
||x|| =
vuutXn
i=1
x
2
i
(10.3)
(в курсе “Линейной алгебры и геометрии” доказано, что функция из (10.3) удовлетворяет всем
аксиомам нормы);
||x|| = max
|x1|, . . . , |xn|
(10.4)
(аксиомы нормы проверяются покоординатно с использованием свойств модуля (вещественного)
числа).
На R (в одномерном пространстве) все нормы (10.2)–(10.4) совпадают и определяется следующим образом:
||x|| = |x|.
3. Норма (10.4) из примера 2 обобщается до нормы на пространстве C
[0, 1], R
непрерывных
вещественных функций на отрезке [0, 1] ⊂ R:
||f|| = sup
|f(t)| : t ∈ [0, 1]
.
По теореме Вейерштрасса норма корректно определена. Проверим аксиому треугольника. Пусть
f = g + h. Тогда для всякого t ∈ [0, 1] имеем |f(t)| ≤ |g(t)| + |h(t)|. Отсюда вытекает, что
|f(t)| ≤ sup
|g(t
0
)| : t
0 ∈ [0, 1]
+ sup
|g(t
0
)| : t
0 ∈ [0, 1]
,
откуда и получаем неравенство ||f|| ≤ ||g|| + ||h||.
10.5. Предложение. Пусть (V, ||·||) — нормированное пространство. Для x, y ∈ V положим
ρ(x, y) = ||x − y||. (10.5)
Тогда ρ является метрикой на множестве V .
Доказательство. Ясно, что достаточно проверить аксиому треугольника (3) в Определении
10.1. Имеем
ρ(x, z) = (10.5) = ||x − z|| = ||x − y + y − z|| ≤
по аксиоме треугольника (10.3)
≤ ||x − y|| + ||y − z|| = ρ(x, y) + ρ(y, z).
Таким образом, Предложение 10.5 дает нам новые примеры метрических пространств: пространства R
n, n ≥ 2, с тремя различными метриками (нормы (10.2)–(10.4) различны при n ≥ 2
и, следовательно, приводят к различным метрикам).
§ 11.
топология метрического пространства .
метризуемые пространства .
11.1. Определение. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство, x ∈ X и ε > 0. Множество
Oε(x) =
x
0 ∈ X : ρ(x, x0
) < ε
называется ε-окрестностью точки x (или открытым ε-шаром с центром в точке x) в метрическом пространстве X.
11.2. Предложение. Множество всех ε-окрестностей Oε(x), ε > 0, точек x метрического
пространства (X, ρ) образует базу некоторой топологии на X.
Доказательство. Достаточно показать, что множество
B =
Oε(x) : ε > 0, x ∈ X
удовлетворяет условиям Предложения 8.4. Условие (1) выполнено очевидным образом. Пусть
теперь
x ∈ Oε1
(x1) ∩ Oε2
(x2).
16
Тогда
ri = ρ(x, xi) < εi
, i = 1, 2. (11.1)
Положим
ε = min{ε1 − r1, ε2 − r2}.
Условие (11.1) влечет, что ε > 0, а из аксиомы треугольника получаем
Oε(x) ⊂ Oε1
(x1) ∩ Oε2
(x2).
Таким образом, условие (2) Предложения 8.4 также выполнено.
Предложение 11.2 можно перефразировать следующим образом.
11.3. Предложение. Множество U открыто в метрической топологии Tρ, если для всякой
точки x ∈ U найдется открытый ε-шар Oε(x) с центром в x, содержащийся в U.
Топологию из Предложения 11.2 будем обозначать через Tρ. Она называется топологией, порожденной метрикой ρ, или метрической топологией.
11.4. Примеры. Базу метрической топологии Tρ пространств R
n из Примера 10.2.2 (открытые ε-шары) образуют:
1) интервалы (x − ε, x + ε) длины 2ε с центрами в точках x прямой R;
2) круги (без граничных окружностей) радиуса ε с центрами в точках x плоскости R
2
;
3) шары (без граничных сфер) радиуса ε с центрами в точках x пространства R
3
.
11.5. Предложение. Если (X, ρ) — метрическое пространство и Y ⊂ X, то топологии
Tρ|Y и Tρ|Y
на Y совпадают.
Доказательство сводится к несложной проверке того, что для всякой точки y ∈ Y множество
Oε(y) ∩ Y совпадает с ε-окрестностью точки y в метрике ρ|Y .
Метрические пространства дают нам большой запас топологических пространств, но не всякая
топология порождается метрикой.
11.6. Определение. Топологическое пространство X называется метризуемым, если на X
существует метрика ρ такая, что метрическая топология Tρ совпадает с топологией пространства
X.
Топологии T2 и T3 из Примера 8.2 (2) не являются метрическими топологиями. Пространство
связное двоеточие не является метризуемым пространством.
Задание N 2
1. Опишите базы топологии дискретного и антидискретного пространств.
2. Пусть Y = [−1, 1] подпространство R со стандартной топологией. Какие из подмножеств Y
открыты в Y , открыты в R: 1) {x :
1
2 < |x| < 1}, 2) {x :
1
2 ≤ |x| < 1}, 3) {x :
1
2 < |x| ≤ 1}, 4)
{x :
1
2 ≤ |x| ≤ 1}, 5) {x : 0 < |x| < 1,
1
x
6∈ N}?
3. Найдите точную верхнюю и нижнюю грани топологий T1 = {∅, X, {a}, {a, b}} и T2 =
{∅, X, {a}, {b, c}} на X = {a, b, c}.
4. Докажите:
1) топологии в Примере 8.5 Лекции 2 корректно определены,
2) T4 ≤ T1 ≤ T5, T2 ≤ T1 ≤ T3,
3) T2 и T4 несравнимы, T5 и T3 несравнимы.
4) найти точную верхнюю и нижнюю грани данных топологий.
5. Докажите, что любое открытое подмножество прямой является объединением не более чем
счетного числа дизъюнктных интервалов (интервалами дополнительно считаются вся прямая и
открытые лучи (∞, a), (a, ∞)).
Какова мощность стандартной топологии прямой?
6. Могут ли различные топологии на множестве X индуцировать одинаковые топологии на
подмножестве A ⊂ X?
7. Пусть Y подмножество X. Докажите, что подмножество F замкнуто в Y в том и только
том случае, если существует замнутое подмножество Φ в X такое, что F = Φ ∩ Y .
17
8. Пусть Y открытое (замкнутое) подмножество X. Докажите, что любое открытое (замкнутое) подмножество Y открыто (замкнуто) в X.
9. Будет ли дискретной топология лексикографического порядка на квадрате N×N множества
натуральных чисел N с естественным вполне упорядочением?
10. Докажите, что топология на множестве [0, 1] × [0, 1], индуцированная топологией лексикографического порядка на квадрате R × R множества действительных чисел R, и топология
лексикографического порядка на квадрате [0, 1] × [0, 1] отрезка [0, 1] различны.
11. Пусть на плоскости R
2
задана прямоугольная система координат, s = (xs, ys), q = (xq, yq).
Определим отображения ρ? : R × R → R+:
(ρd) ρd(s, q) = 1, если s 6= q, ρd(s, q) = 0, если s = q;
(ρ1) ρ1(s, q) = |xs − xq| + |ys − yq|;
(ρ2) ρ2(s, q) = p
|xs − xq|
2 + |ys − yq|
2;
(ρ∞) ρ∞(s, q) = max{|xs − xq|, |ys − yq|};
(ρj ) ρj (s, q) = |ys − yq|, если xs = xq, ρj (s, q) = |xs − xq| + |ys| + |yq|, если xs 6= xq.
Проверьте, что они являются метриками. Нарисуйте единичные открытые шары точек в этих
метриках. Сравните топологии, порождаемые этими метриками.
12. Пусть
(ρ1) `
1 = {x = (xi) : P∞
i=1 |xi
| < ∞} — пространство последовательностей действительных
чисел с нормой ||x||1 =
P∞
i=1 |xi
|;
(ρ2) `
2 = {x = (xi) : P∞
i=1 |xi
|
2 < ∞} — пространство последовательностей действительных
чисел с нормой ||x||2 = (P∞
i=1 |xi
|
2
)
1
2 ;
(ρ∞) `∞ = {x = (xi) : supi∈N |xi
| < ∞} — пространство последовательностей действительных
чисел с нормой ||x||∞ = supi∈N |xi
|.
Проверьте, что
нормированные пространства корректно определены. Выпишите формулы для
метрик, задаваемых этими нормами.
13. Докажите, что на пространстве C
[0, 1], R
непрерывных вещественных функций на отрезке [0, 1] нормы
(ρ1) ||f||1 =
R
1
0
|f(x)|dx;
(ρ2) ||f||2 = (R
1
0
|f(x)|
2dx)
1
2 ;
(ρ∞) ||f||∞ = sup{|f(x)| : x ∈ [0, 1]}
корректно определено. Выпишите формулы для метрик, задаваемых этими нормами. Сравните
топологии, порождаемые этими нормами.
14. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство. Доказать, что отображения ρ1 и ρ2 : X × X →
R+, заданные формулами ρ1(x, y) = min{1, ρ(x, y)} и ρ2(x, y) = ρ(x, y)/(1 + ρ(x, y)), являются
метриками на множестве X. Сравните топологии, порождаемые метриками ρ, ρ1 и ρ2.
15. Может ли в метрическом пространстве открытый шар большего радиуса содержаться в
открытом шаре меньшего радиуса?
Дополнительные задачи Задания N 2
16. Пусть на множестве X дано семейство топологий A. Докажите, что существуют: точная
верхняя грань топологий из A (наименьшая топология, большая любой топологии из A); точная
нижняя грань топологий из A (наибольшая топология, меньшая любой топологии из A).
17. Опишите открытые подмножества прямой в топологиях из задачи 4. Каковы мощности их
топологий?
18. Приведите пример топологического пространства, у которого существует пред
база топологии , мощность которой меньше мощности любой его базы.
Верно ли, что на конечном дискретном пространстве из n точек количество элементов в любой
предбазе не менее n?
Докажите, что если мощность любой базы топологического пространства бесконечна (дополнительно ≥ κ), то и мощность любой предбазы бесконечна (дополнительно ≥ κ).
18
19. Пусть p — простое число и разность x − y различных чисел x, y ∈ Q представлена в виде
r
s
p
α, где r, s и α ∈ Z, r, s взаимно просты с p. Положим ρ(x, y) = p
−α для x 6= y, x, y ∈ Q.
Докажите, что ρ — метрика (p-адическая метрика на Q). Сравните евклидову топологию на
множестве рациональных чисел Q и топологию Q, порожденную p-адической метрикой на Q.
20. Пространство Бэра. Пусть X произвольное бесконечное множество. На множестве XN
введем метрику ρ следующим образом: для p = (x1, x2, ...), q = (y1, y2, ...) ∈ B полагаем ρ(p, q) = 0,
если p = q, и ρ(p, q) = 1/k, если k наименьшее натуральное число, для которого xk 6= yk.
Покажите, что метрика корректно определена. Дайте описание открытых шаров.
21. "Метризуемый еж". Пусть Λ некоторое бесконечное множество. Поставим в соответствие
каждому элементу λ ∈ Λ отрезок [0, 1], который обозначим через [0, 1]λ и будем считать, что все
эти отрезки попарно не имеют общих точек за исключением точки 0, которая предполагается
принадлежащей всем отрезкам. Положим X = ∪{[0, 1]λ : λ ∈ Λ} и определим метрику ρ :
X × X → R+. Для p, q ∈ X полагаем ρ(p, q) = |p − q|, если p и q принадлежат одному отрезку
[0, 1]λ для некоторого λ ∈ Λ, и ρ(p, q) = p + q, если p и q не принадлежат одному отрезку [0, 1]λ.
Покажите, что метрика корректно определена. Дайте описание открытых шаров.
22. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство и M ⊂ X. Если sup
ρ(x, y) : x, y ∈ M
= d < ∞,
то множество M называется ограниченным, а число d называется его диаметром и обозначается через diam(M). Докажите, что для любого метрического пространства (X, ρ) расстояние
Хаусдорфа
dρ(A, B) = max{sup{ρ(a, B) : a ∈ A},sup{ρ(b, A) : b ∈ B}}
является метрикой в множестве ограниченных замкнутых подмножеств A, B ⊂ X. Можно ли
отказаться от требования их замкнутости? ограниченности?
23. Докажите метризуемость топологии лексикографического порядка на квадрате R × R линейно упорядоченного множества R. Приведите пример метрики, индуцирующей эту топологию.
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология