11. Полные метрические пространства. Теорема Бэра о категории. Вполне ограниченные метрические пространства. Критерий компактности метризуемого пространства в терминах метрик

§ 34. полные метрические пространства . теорема бэра о категории .
34.1. Определение. Последовательность (xn) точек метрического пространства (X, ρ) называется последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью, если для
любого  > 0 существует n0 ∈ N такое, что ρ(xn, xm) <  при n, m > n0.
Метрическое пространство (X, ρ) называется полным, если любая последовательность Коши
сходится. (Заметим, что всякая сходящаяся последовательность является последовательностью
Коши.)
34.2. Примеры.
1. Пространства R
n в любой из следующих метрик
(ρ1) ρ1(x, y) = Pn
i=1 |xi − yi
|;
(ρ2) ρ2(x, y) = pPn
i=1(xi − yi)
2;
(ρ∞) ρ∞(x, y) = max{|xi − yi
| : i = 1, . . . , n}
полны, где x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).
В одномерном случае все выше приведенные метрики на R совпадают и полнота R доказывается в курсе математического анализа.
2. Замкнутое подмножество Y полного метрического пространства (X, ρ) полно в метрике ρ|Y
(см. Замечание 12.8 Лекции 2).
3. Метрическое пространство (X, ρ) является полным в том и только том случае, если X полно
в метрике ρ
0
(x, y) = min{ρ(x, y), 1}.
4. Пусть (Xn, ρn) — полные метрические пространства, n ∈ N. Пространство X =
Q
{Xn :
n ∈ N} полно в метрике ρ(x, y) = sup{
ρ
0
n(xn,yn)
n
: n ∈ N}, где x = (xn), y = (yn), ρ
0
n
(xn, yn) =
min{ρn(xn, yn), 1}.
Пусть x
k
, k ∈ N, — последовательность Коши в (X, ρ). Так как ρ
0
(prn(x), prn(y)) = ρ
0
(xn, yn) ≤
nρ(x, y) для любых точек x = (xn), y = (yn), то prn(x
k
) = x
k
n
, k ∈ N, — последовательность
Коши в (Xn, ρ0
n
) для любого фиксированного n ∈ N. Пространство (Xn, ρ0
n
) полно, поэтому у
последовательности x
k
n
, k ∈ N, существует предел x
∗
n
, n ∈ N. Тогда последовательность x
k
, k ∈ N,
сходится к точке x
∗ = (x
∗
n
). Действительно, любая окрестность точки x
∗ имеет по Теореме 26.5
Лекции 7 вид Ox∗ =
TN
n=1 pr−1
n
(Oε(x
∗
n
)); для любого n = 1, . . . , N существует mn ∈ N такое, что
ρ
0
n
(x
k
n
, x∗
n
) <  при k > mn; для m = max{mn : n = 1, . . . , N} имеем x
k ∈ Ox∗ при k > m.
5. Множество, явлющиеся счетным пересечением открытых множеств топологического пространства, называется Gδ-множеством. Если (X, ρ) — полное метрическое пространство, Y —
Gδ-множество X, то на Y существует полная метрика, эквивалентная метрике ρ|Y .
X \ Y =
S
{Fk : k ∈ N}, где множества Fk — замкнуты в X. Определим отображение
f = ∆{fj : j ∈ {0} ∪ N} : Y →
Y{Zj : j ∈ {0} ∪ N},
где X0 = X, f0 = i : Y → X — вложение, Zj = R, fj : Y → R, fj (x) = 1
ρ(x,Fj )
, j ∈ N.
Очевидно, f — вложение в произведение пространств, метизуемых полными метриками. Значит на произведении Q
{Zi
: i ∈ {0} ∪ N} существует полная метрика ρ
0
(Пример 34.2.4). Если
доказать, что образ f(Y ) замкнут в Q
{Zj : j ∈ {0} ∪ N}, то ρ
0
|f(Y ) — полная метрика на пространстве f(Y ), гомеоморфном Y .
Пусть x = (xj ) ∈
Q
{Zj : j ∈ {0} ∪ N} \ f(Y ). Рассмотрим случай x0 ∈ Y . Существует
j ∈ N такое, что fj (x0) 6= xj . Пусть O1 и O2 — дизъюнктные окрестности точек xj и fj (x0)
соответственно. Так как функция fj непрерывна, то существует окрестность V x0, точки x0 такая,
что fj (V x0) ⊂ O2. Тогда
x = (xj ) ∈ pr−1
0
(V x0) ∩ pr−1
j
(O1) ⊂
Y{Zj : j ∈ {0} ∪ N} \ f(Y ).
60
Cлучай x0 6∈ Y . Тогда x0 ∈ Fj для некоторого j ∈ N. Пусть r > 0 такое, что xj + 1 <
1
r
,
O1 = [0, xj + 1). Тогда
x = (xj ) ∈ pr−1
0
(Orx0) ∩ pr−1
j
(O1) ⊂
Y{Zj : j ∈ {0} ∪ N} \ f(Y ).
6. Компактное метризуемое пространство X полно в любой метрике, порождающей его топологию.
34.3. Определение. Подмножество Y нигде не плотно в X, если множество X \Cl(Y ) всюду
плотно в X.
Подмножество Y нигде не плотно в X в том и только том случае, если для любого непустого
открытого подмножества O существует непустое открытое подмножество V ⊂ O такое, что
V ∩ Y = ∅.
34.4. Теорема (Бэра о категории). В полном метрическом пространстве дополнение до
счетного объединения нигде не плотных подмножеств всюду плотно.
Доказательство. Пусть Yn, n ∈ N, — нигде не плотные подмножества, O — непустое открытое
подмножество. Cуществует замкнутый шар Br1
(x1), радиуса r1 ≤ 1 такой, что Br1
(x1) ⊂ O и
Br1
(x1)∩Y1 = ∅, существует замкнутый шар Br2
(x2), радиуса r2 ≤
1
2
такой, что Br2
(x2) ⊂ Br1
(x1),
Br2
(x2) ∩ Y2 = ∅, и т.д.
Brn
(xn), n ∈ N, — последовательность замкнутых вложенных шаров, радиусы которых стремятся к нулю. Так как для любых n < m ρ(xn, xm) ≤ rn, и limn→∞ rn = 0, то (xn) — фундаментальная последовательность. Существует x = limn→∞ xn. Так как любой шар Brk
(xk) замкнут
в X, и точка x является пределом подпоследовательности (xn : n ≥ k) точек из Brk
(xk), то
x ∈ Brk
(xk). Значит x ∈ O, x 6∈ Yn, n ∈ N, и x 6∈
S∞
k=1 Yn.
34.5. Замечание. Пространства, являющиеся счетным объединением нигде не плотных подмножеств, называются множествами первой категории.
§ 35. вполне ограниченные метрические пространства .
35.1. Определение. Метрическое пространство (X, ρ) называется вполне ограниченным, если
для любого ε > 0 из покрытия {Ox : x ∈ X} можно выбрать конечное подпокрытие {Oxj : j =
1, . . . , k}.
Множество E = {xj : j = 1, . . . , k} называется конечной ε-сетью.
35.2. Свойства. 1. Вполне ограниченное метрическое пространство ограничено. Для конечной 1-сети x1, . . . , xn пусть M = max{ρ(x1, xk) : k = 1, . . . , n}. Тогда X = OM+1(x1).
2. Вполне ограниченное пространство сепарабельно. В качестве всюду плотного множества
можно взять объединение A =
S∞
n=1 A 1
n
конечных 1
n
-сетей A 1
n
, n ∈ N.
3. Компактное метризуемое пространство вполне ограничено в любой метрике, порождающей топологию.
35.3. Примеры. 1. Подпространство вполне ограниченого пространства вполне ограничено.
Действительно, пусть yx ∈ Oε
2
(x)∩Y , x ∈ E, (рассматриваем только те шары, конечной ε
2
-сети
{Oε
2
(x) : x ∈ E}, которые пересекаются с Y ). Так как Oε
2
(x) ⊂ Oε(yx), то {Oε(yx) : x ∈ E} —
(конечная) ε-сеть для Y .
2. В n-мерном евклидовом пространстве R
n ограниченность (возможность заключить множество в куб) совпадает с вполне ограниченностью.
Действительно, если куб с ребром a разбить на кубики с ребром a
k
(k
n кубиков), то диаметр
каждого кубика разбиения равен a
√
n
k
, т.е. вершины кубиков образуют конечную a
√
n
k
-сеть.
3. Пусть (Xn, ρn) — вполне ограниченные метрические пространства, n ∈ N. Пространство
X =
Q
{Xn : n ∈ N} вполне ограничено в метрике ρ(x, y) = sup{
ρ
0
n(xn,yn)
n
: n ∈ N}, где x =
(xn), y = (yn), ρ
0
n
(xn, yn) = min{ρn(xn, yn), 1}.
Пусть ε > 0, N такое, что 1
N <
ε
2
. Пусть подмножество XN ⊂ X состоит из точек, у которых
только первые N координат отличны от нуля. Тогда для любой точки x = (xn) ∈ X существует
точка x
0 = (x
0
n
) из XN такая, что ρ(x, x0
) <
ε
2
(у точки x надо обнулить все координаты начиная
с N + 1). Можно считать, что XN =
Q
{Xn : n = 1, . . . , N}. Возьмем в каждом пространстве
(Xn, ρn) конечную ε
2
-сеть An, n = 1, . . . , N. Легко проверить, что Q
{An : n = 1, . . . , N} —
конечная ε
2
-сеть на XN , которая будет ε-сетью для X.
61
4. Сфера {(xn) : P∞
n=1 x
2
n = 1} в гильбертовом пространстве `
2
(`
2 = {(xn) : P∞
n=1 x
2
n < ∞} с
нормой ||x|| =
pP∞
n=1 x
2
n
, где x = (xn)) не вполне ограничена.
Она содержит точки у которых лишь одна координата 1, а остальные 0. Расстояние между
ними √
2. Значит конечное число шаров радиуса меньше 1
2
не может ее покрыть.
35.4. Следствие. Метризуемое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой
в том и только том случае, если оно сепарабельно.
Доказательство. Необходимость пояснена в Свойстве 35.2.2.
Достаточность следует из Следствия 33.2, Свойства 35.2.3 и Примера 35.3.1.
§ 36. критерий компактности метризуемого пространства в терминах метрик .
36.1. Теорема (Критерий компактности метризуемого пространства в терминах
метрик). Метризуемое пространство (X, ρ) компактно в том и только том случае, если X
вполне ограничено и полно в некоторой (а значит и любой) метрике.
Доказательство. Необходимость следует из Свойства 35.2.3 и Примера 34.2.6.
Достаточность. По Теореме 33.3 Лекции 10 достаточно показать, что любая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Рассмотрим произвольную последовательность (xn). Так как X вполне ограничено, то из последовательности (xn) можно следующим
образом выбрать фундаментальную подпоследовательность (xnk
). Пусть An — конечная 1
n
-сеть,
n ∈ N, для X. Тогда {O 1
n
(y) : y ∈ An} — конечное покрытие X, n ∈ N. Существует O1(y1), в котором бесконечное число членов последовательности (xn). В конечном покрытии {O1
2
(y)∩ O1(y1) :
y ∈ A2} множества O1(y1) существует подмножество O1
2
(y2) ∩ O1(y1), в котором бесконечное
число членов последовательности (xn) и т.д. Искомая фундаментальная подпоследовательность
определяется следующим образом xn1 ∈ O1(y1), xn2 ∈ O1
2
(y2) ∩ O1(y1), n2 > n1, и т.д.
Так как X полно, то существует предел x ∈ X фундаментальной последовательности (xnk
).
Значит X компактно.
36.3. Следствие. Подмножество Y метрического пространства (X, ρ) компактно в том
и только том случае, когда Y вполне ограничено и полно в метрике ρ|Y .
В частности, если X полное метрическое пространство, то Y компактно в том и только
том случае, если Y вполне ограничено и замкнуто.
§ 37. Равномерная непрерывность отображений метризуемых компактных пространств.
37.1. Лемма (Теорема Лебега о покрытиях). Пусть X — метризуемый компакт, Ω —
открытое покрытие X, ρ — метрика на X. Тогда существует ε > 0 такое, что покрытие
{Oεx : x ∈ X} (из открытых шаров радиуса ε) вписано в Ω.
Доказательство. Для любой точки x ∈ X существует εx > 0 такое, что O2εx x ⊂ U ∈ Ω.
Выберем из покрытия {Oεx x : x ∈ X} конечное подпокрытие {Oεxk
xk : k = 1, . . . , n}. Тогда
ε = min{εxk
: k = 1, . . . , n} искомое число, называемое числом Лебега покрытия.
Отображение f : X → M на метрических пространств равномерно непрерывно, если для
любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что f(Oδx) ⊂ Oεf(x) для любой точки x ∈ X (образ
множества диаметра 2δ имеет диаметр 2ε).
37.2. Теорема (Равномерная непрерывность отображений метризуемых компактов). Пусть X — метризуемый компакт, f : X → M — непрерывное отображение в метрическое пространство M, ρ — метрика на X. Тогда f равномерно непрерывное отображение
метрических пространств.
Доказательство. Пусть Ω = {Oε
2
t : t ∈ M}, u = f
−1
(Ω) = {f
−1
(Oε
2
t) : t ∈ M}. По Лемме
37.1. существует δ > 0 такое, что покрытие {Oδx : x ∈ X} вписано в u. Тогда для любой точки
x ∈ X
f(Oδx) ⊂ Oε
2
t, и t ∈ Oε
2
f(x).
Значит f(Oδx) ⊂ Oεf(x).
§ 38. равномерная метрика на произведении . пространства отображений в топологии равномерной сходимости. Топология поточечной сходимости.
62
Напомним, что на множестве Y
X (отображений множества X в топологическое пространство
Y или декартовом произведении |X| экземляров пространства Y , или |X| степени Y ) определена
тихоновская топология T (§ 17 Лекции 4).
38.1. Определение. Пусть (Y, ρ) — метрическое пространство, ρ
0
(x, y) = min{ρ(x, y), 1} —
ограниченная метрика на Y . На произведении Y
X определим равномерную метрику
d
0
(f, h) = sup{ρ
0
(f(x), h(x)) : x ∈ X}.
Метрическая топология Td0 на Y
X называется топологией равномерной сходимости.
Проверка корректности определения не составляет труда.
38.2. Предложение. Если (Y, d) метрическое пространство, то тогда Td0 ≥ T (т.е. Td0 ⊃
T ).
Доказательство. Достаточно показать, что тождественное отображение id : (Y
X, Td0 ) →
(Y
X, T ) непрерывно. Непрерывность отображения id эквивалентна непрерывности отображений
prx ◦ id, x ∈ X (см. Следствие 17.3 Лекции 4). Пусть f ∈ Y
X, Oεf(x) — окрестность точки f(x)
в Y . Тогда для окрестности
Oεf = {g ∈ Y
X : ρ
0
(f(x), g(x)) < ε для любой точки x ∈ X}
f(Oεf) ⊂ Oεf(x).
Задание N 11
1. Докажите, что для любых метрик ρ1 и ρ2 на метризуемом компакте X выполнено следующее
условие: для любого  > 0 существуют δ1 > 0 и δ2 > 0 такие, что для любых точек x, y ∈ X
ρ2(x, y) <  как только ρ1(x, y) < δ1, и ρ1(x, y) <  как только ρ2(x, y) < δ2.
2. Докажите, что пространства R
n в любой из метрик Примера 34.2.1 полны.
3. Приведите пример множества и топологически эквивалентных метрик на нем таких, что
одна метрика полна, а другая не полна.
Докажите, что на локально компактном, не компактном метризуемом пространстве существуют полная метрика и не полная матрика.
4. Пусть на множестве X заданы две метрики ρ1 и ρ2. Докажите, что если существуют действительные числа k1 > 0 и k2 > 0 такие, что ρ1(x, y) ≤ k2ρ2(x, y) и ρ2(x, y) ≤ k1ρ1(x, y) для
любых x, y ∈ X, то метрики ρ1 и ρ2 топологически эквивалентны. Кроме того, если одна из
метрик полна (вполне ограничена), то и другая метрика полна (вполне ограничена).
5. Докажите, что гильбертово пространство `
2 полно.
6. Докажите, что метрическое пространство (X, ρ) полно в том и только том случае, если
любая убывающая последовательность непустых замкнутых подмножеств A1 ⊃ A2 ⊃ . . . пространства X таких, что limn→∞ diamAn = 0, имеет непустое пересечение.
Докажите, что не более чем счетное пересечение открытых всюду плотных множеств полного
метрического пространства всюду плотно.
7. Пусть (X, ρ) — полное метрическое пространство, Y ⊂ X. Докажите, что (Y, ρ|Y ) — полное
метрическое пространство в том и только том случае, если Y замкнуто в X.
8. Метрическое пространство (X, ρ) является полным (вполне ограниченным) в том и только
том случае, если (X, ρ0
) полно (вполне ограничено), где ρ
0
(x, y) = min{ρ(x, y), 1}.
9. Докажите, что на счетном произведении полных (вполне ограниченных) метрических пространств существует полная (вполне ограниченная) метрика.
10. Пусть (X, ρ) — полное метрическое пространство, Y ⊂ X. Докажите, что Y метризуемо
полной метрикой в том и только том случае, если Y является Gδ-подмножеством X (т.е. Y
является пересечением счетного числа открытых в X множеств).
Докажите, что на пространстве иррациональных чисел существует полная метрика.
11. Докажите, что на пространстве рациональных чисел любая метрика не является полной.
12. (Принцип сжимающих отображений Банаха.) Отображение f : X → X метрического
пространства называется сжимающим, если существует 0 ≤ α < 1 такое, что ρ(f(x), f(y))) <
αρ(x, y) для любых x, y ∈ X.
63
Докажите, что любое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя
имеет неподвижную точку (т.е. точку, отображающуюся в себя).
13. Докажите, что подмножество Y метрического пространства (X, ρ) вполне ограничено в
том и только том случае, если из любой бесконечной последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность.
14 (Критерий компактности в `
2
). Подмножество X в `
2 компактно в том и только том
случае, если оно замкнуто, ограничено и выполнено условие
lim
N→∞
( sup
x∈X
X∞
n=N
|xn|
2
) = 0.
Докажите, что подмножество {x = (x1, x2, . . .) ∈ `
2
:
P∞
n=1 |anxn|
2 ≤ 1}, где an > 0, an → +∞
компактно.
Дополнительные задачи Задания N 11
15. Проверьте выполнение следующего утверждения. Для любых метрик ρ1 и ρ2 на метризуемом компакте X выполнено следующее условие: существуют числа k1 и k2 такие, что для любых
точек x, y ∈ X
k1ρ1(x, y) ≤ ρ2(x, y) ≤ k2ρ1(x, y).
16. Докажите, что любая метрика на метризуемом пространстве вполне ограничена в том и
только том случае, если пространство компактно.