12. Равномерная метрика на произведении. Пространства отображений. Топологии равномерной и поточечной сходимостей.

38.3. Теорема. Если (Y, ρ) — полное метрическое пространство, то метрическое пространство (Y
X, d0
) полно.
Доказательство. Метрическое пространство (Y, ρ0
) полно (Пример 34.2.3 Лекции 11).
Рассмотрим фундаментальную последовательность (fn), fn : X → Y, n ∈ N, в (Y
X, d0
). Для
любого x ∈ X
ρ
0
(fn(x), fm(x)) ≤ d
0
(fn, fm).
Значит для любой точки x ∈ X последовательность fn(x), n ∈ N, является фундаментальной в Y ,
и сходится к пределу, который обозначим f(x). Покажем, что последовательность (fn) сходится
к f ∈ Y
X, f = (f(x)), x ∈ X.
Для произвольного ε > 0 существует такое k ∈ N, что
ρ
0
(fn(x), fm(x)) <
ε
2
,
для любых n, m ≥ k, и любого x ∈ X. Зафиксировав n и x, и устремляя m к бесконечности
получаем
ρ
0
(fn(x), f(x)) ≤
ε
2
.
Это неравенство выполнено для любых x ∈ X и n ≥ k. Поэтому
d
0
(fn, f) ≤
ε
2
< ε
для любого n ≥ k.
Если X топологическое пространство, то в произведении (Y
X, d0
) можно рассмотреть подмножество непрерывных отображений, обозначаемое C(X, Y ), и подмножество ограниченных отображений (т.е. отображений, для которых diam f(X) = sup{ρ(f(x), f(y)) : x, y ∈ X} < +∞),
обозначаемое B(X, Y ).
38.4. Примеры. Если X дискретное пространство, то C(X, Y ) = Y
X (любое отображение
дискретного пространства непрерывно).
Если X одноточечно, то C(X, Y ) = Y .
38.5. Теорема. Подмножества C(X, Y ) и B(X, Y ) замкнуты в пространстве (Y
X, d0
).
Если (Y, ρ) — полное метрическое пространство, то
(C(X, Y ), d0
|C(X,Y )) и (B(X, Y ), d0
|B(X,Y )) − полные метрические пространства.
Доказательство. Замкнутость подмножества C(X, Y ). Пусть f ∈ Cl(C(X, Y )). Существует
последовательность непрерывных отображений (fn), сходящаяся к f (см. Замечание 12.8 Лекции
2). Докажем непрерывность f в точке x0.
Для любого 0 < ε < 1 существует такое k ∈ N, что
ρ
0
(f(x), fn(x)) = ρ(f(x), fn(x)) < ε/3 для всех n ≥ k и x ∈ X. (38.1)
Поскольку отображение fk непрерывно, существует такая окрестность Ox0, что
x ∈ Ox0 ⇒ ρ
0
(fk(x0), fk(x)) = ρ(fk(x0), fk(x)) < ε/3. (38.2)
Тогда для x ∈ Ox0 имеем
ρ(f(x0), f(x)) ≤ ρ(f(x0), fk(x0)) + ρ(fk(x0), fk(x)) + ρ(fk(x), f(x)) <
(согласно (38.1) и (38.2)) <
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε.
Таким образом, f непрерывно в точке x0, f ∈ C(X, Y ) и C(X, Y ) = Cl(C(X, Y )).
Замкнутость подмножества B(X, Y ). Если f ∈ Cl(B(X, Y )), то существует последовательность
ограниченных отображений (fn), сходящаяся к f. Существует такое k ∈ N, что
ρ
0
(f(x), fk(x)) = ρ(f(x), fk(x)) < 1 для всех x ∈ X.
Тогда, если diam(fk(X)) = sup{ρ(fk(x), fk(y)) : x, y ∈ X} = M, то
diam(f(X)) = sup{ρ(f(x), f(y)) : x, y ∈ X} ≤ sup{ρ(f(x), fk(x)) : x ∈ X}+
+ sup{ρ(fk(x), fk(y)) : x, y ∈ X} + sup{ρ(fk(y), f(y)) : y ∈ X} < M + 2.
65
Таким образом, отображение f ограниченно, и B(X, Y ) = Cl(B(X, Y )).
Второе утверждение теоремы является следствием Примера 34.2.2 Лекции 11.
38.6. Замечание. Легко проверить, что на подмножестве B(X, Y ) произведения Y
X корректно определена метрика
d(f, g) = sup{ρ(f(x), g(x)) : x ∈ X},
и d
0
(f, g) = min{d(f, g), 1}, где d
0 — равномерная метрика на Y
X. (Если Y = R, то метрика d
порождается нормой ||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ X} на линейном пространстве B(X).)
38.7. Следствие. Пространство непрерывных ограниченных функций C
∗
(X) = C(X, R) ∩
B(X, R) — полное мерическое пространство в равномерной метрике, и по эквивалентной метрике d, порожденной нормой ||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ X}.
Топология поточечной сходимости на C(X, Y ) — топология T |C(X,Y ) подпространства тихоновского произведения Y
X.
§ 39. пополнение метрического пространства .
39.1. Определение. Отображение метрических пространств f : (X, ρ) → (Y, d) называется
изометрическим вложением, если для любых точек x, y ∈ X выполнено соотношение ρ(x, y) =
d(f(x), f(y)). Биективное изометрическое вложение называется изометрией.
Любое изометрическое вложение — гомеоморфизм X и f(X).
39.2. Теорема. Любое метрическое пространство (X, ρ) изометрически вкладывается в
полное метрическое пространство.
Доказательство. Покажем, что (X, ρ) изометрически вкладывается в полное метрическое
пространство C
∗
(X) c метрикой d(f, g) = sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ X}.
Пусть x0 фиксированная точка X. Для точки a ∈ X определим функцию φa : X → R,
φa(x) = ρ(x, a) − ρ(x, x0).
Функции φa, a ∈ X, непрерывны. Докажем их ограниченность. Используя неравенство треугольника, для любой точки x ∈ X имеем
|φa(x)| = |ρ(x, a) − ρ(x, x0)| ≤ ρ(a, x0).
Определим отображение Φ : X → C
∗
(X), Φ(a) = φa, и покажем, что оно является изометрическим вложением, т.е. для любой пары точек a, b ∈ X выполнено
ρ(a, b) = d(φa, φb) = sup{|φa(x) − φb(x)| : x ∈ X}.
Так как
sup{|φa(x) − φb(x)| : x ∈ X} = sup{|ρ(x, a) − ρ(x, b)| : x ∈ X},
то d(φa, φb) ≤ ρ(a, b). При x = a получаем равенство
|φa(a) − φb(a)| = ρ(a, b).
Значит, d(φa, φb) = ρ(a, b).
39.3. Определение. Пусть X — метрическое пространство, f — его изометрическое вложение в полное метрическое пространство Y . Замыкание f(X) в Y называется пополнением
пространства X.
39.4. Задача. Проверить корректность определения пополнения метрического пространства,
т.е. установить единственность пополнения с точностью до изометрий.
§ 40. Теорема Стоуна–Вейерштрасса.
40.1. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса. В пространстве C
∗
(I) в топологии
равномерной сходимости подмножество многочленов всюду плотно.
Вещественнозначную функцию p на тихоновском кубе I
A назовем элементарным полиномом,
если существуют конечное подмножество {α1, . . . , αk} ∈ A и многочлены p1(t), . . . , pk(t) такие,
что
p(x) = p1(prα1
(x)) · · · · · pk(prαk
(x)) для любого x ∈ I
A.
Функцию f назовем полиномиальной, если она является конечной суммой элементарных полиномов f = p
1 +· · ·+p
m (другими словами функция f — многочлен от n переменных xα1
, . . . , xαn
,
где n — количество переменных в элементарных полинамах p
1
, . . . , pm).
66
Легко проверить, что
(a) семейство P разделяет точки, т.е. если для любых x, y ∈ X, x 6= y существует f ∈ P
такая, что f(x) 6= f(y).
(b) семейство P содержит все постоянные функции и является кольцом функций, т.е. для
любых f, g ∈ P имеем fg ∈ P и f + g ∈ P.
Обозначим через P замыкание множества полиномиальных функций P в пространстве C
∗
(I
A)
в топологии равномерной сходимости.
40.2. Лемма. P — кольцо функций. Если f ∈ P и inf{f(x) : x ∈ X} > 0, то 1
f
∈ P.
Доказательство. Доказательство первого утверждения провести самостоятельно.
Приведем доказательство второго утверждения. Пусть M = ||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ X},
g(x) = f(x)
2M , δ = inf{g(x) : x ∈ X} > 0. Тогда для любой точки x ∈ X
δ ≤ g(x) ≤
1
2
,
1
g(x)
=
1
1 − (1 − g(x)) =
Xn
j=0
(1 − g(x))j +
(1 − g(x))n+1
g(x)
и
|
(1 − g(x))n+1
g(x)
| ≤ (1 − δ)
n+1
δ
.
Так как f ∈ P, g ∈ P, то Pn
j=0(1 − g(x))j ∈ P и, так как
(1−δ)
n+1
δ → 0 при n → ∞, то 1
g
∈ P.
Значит 1
f
∈ P.
40.3. Теорема. P = C
∗
(I
A).
Доказательство. Зафиксируем f ∈ C
∗
(I
A) и ε > 0. Для любой точки x ∈ I
A существуют ее
окрестности Ox =
T
{pr−1
αs
(Oxαs
) : s = 1, . . . , n(x)}, Oxαs
открыто в Iαs
, и V x =
T
{pr−1
αs
(V xαs
) :
s = 1, . . . , n(x)} такие, что Cl(Ox) ⊂ V x и diam(f(V x)) < ε.
Для любого s = 1, . . . , n(x) существует функция φ
s
x
: Iαs → I такая, что φ
s
x
(Cl(Oxαs
)) =
1, φ
s
x
(Iαs \ V xαs
) = 0. По Теореме Вейерштрасса 40.1 функция φ
s
x принадлежит замыканию
семейства многочленов на отрезке, значит функция
φx = (φ
1
x ◦ prα1
) · · · · · (φ
s
x ◦ prαs
)
принадлежит P, и φx(Cl(Ox)) = 1, φx(X \ V x) = 0.
Пусть {Oxk : k = 1, . . . , n} — конечное подпокрытие покрытия {Ox : x ∈ I
A}. Положим
φ =
Pn
k=1 φxk
. Так как φ(x) > 0 для любого x ∈ I
A, то с учетом Леммы 40.2, функции gk =
φxk
φ
, k = 1, . . . , n, принадлежат P, и фактически являются разбиением единицы, подчиненном
покрытию {V xk : k = 1, . . . , n} (вместо условия Cl (supp gk) ⊂ Vxk
выполнено supp gk ⊂ Vxk
).
Рассмотрим функцию
g(x) = Xn
k=1
f(xk)gk(x).
Она непрерывна, принадлежит P и для любой точки x ∈ I
A
|f(x) − g(x)| = |f(x)
Xn
k=1
gk(x) −
Xn
k=1
f(xk)gk(x)| ≤ Xn
k=1
|f(x) − f(xk)|gk(x) < ε,
так как |f(x) − f(xk)| < ε при x ∈ Oxk и gk(x) = 0 при x 6∈ Oxk, k = 1, . . . , n. Тем самым
||f − g|| < ε и g ∈ P. Значит f ∈ P.
Задание N 12
1. Пусть (Y, ρ) — метрическое пространство. Докажите, что на подмножестве B(X, Y ) произведения Y
X корректно определена метрика
d(f, g) = sup{ρ(f(x), g(x)) : x ∈ X},
и d
0
(f, g) = min{d(f, g), 1}, где d
0 — равномерная метрика на Y
X. (Если Y = R, то метрика d
порождается нормой ||f|| = sup{|f(x)| : x ∈ X} на линейном пространстве B(X).)
2. Будет ли множество
U(f, ) = {h ∈ R
X : ρ(f(x), h(x)) < , x ∈ X}
67
открыто в топологии равномерной сходимости на R
X.
Докажите, что для ε-окрестности Oε(f) точки f в равномерной метрике выполнено
Oε(f) = [
δ<
U(f, δ).
3. Какие из необходимых и достаточных условий верны в следующих утверждениях:
(a) отображения fα семейства отображений {fα : X → Y : α ∈ A}, где Y метрическое пространство, непрерывны тогда и только тогда, когда диагональное произведений отображений fα
в Y
X в топологии равномерной сходимости непрерывно;
(b) отображения fα семейства отображений {fα : Xα → Y : α ∈ A}, где Y метрическое
пространство, непрерывны тогда и только тогда, когда произведение отображений Q
α∈A fα тихоновского произведения Q
α∈A Xα в Y
X в топологии равномерной сходимости непрерывно.
4. Будет ли произведение R
X в топологии равномерной сходимости линейным топологическим пространством (т.е. естественно определенные операции сложения и умножения на скаляры
непрерывны)?
5. Докажите, что пространство R
N в топологии равномерной сходимости не удовлетворяет
второй аксиоме счетности и не сепарабельно.
6. Докажите, что множество C([0, 1], R) не замкнуто в тихоновском произведении R
[0,1]
.
7. В какой из топологий на множестве C(R, R) последовательность функций fn =
x
n
, n ∈ N,
является сходящейся?
8. Семейство непрерывных функций F ⊂ C(X) на метрическом пространстве X называется
равностепенно непрерывным в точке x, если для любого  > 0 существует δ > 0 такое, что
|f(x) − f(t)| <  для любых f ∈ F, t ∈ Oδ(x). Семейство F ⊂ C(X), равностепенно непрерывное
во всех точках X, называется равностепенно непрерывным.
Докажите, что любое конечное подсемейство F ⊂ C(X) равностепенно непрерывно.
Докажите, что любая равномерно сходящаяся последовательность функций fn ∈ C(X) является равностепенно непрерывным семейством.
Будет ли равностепенно непрерывным семейством последовательность функций fn : [0, 1] →
R, fn = x
n, n ∈ N?
9. Какие из семейств отображений C(R, R)
(a) {fn = x + sin(nx) : n ∈ N},
(b) {fn = n + sin(x) : n ∈ N},
(c) {fn = x
1
n : n ∈ N},
(d) {fn = n sin( x
n
) : n ∈ N}
являются равностепенно непрерывными?
10. (Теорема Асколи для отображений в R) Пусть K — метризуемое компактное пространство,
пространство C(K) с топологией равномерной сходимости. Докажите, что подмножество F ⊂
C(K) компактно в том и только том случае, когда оно замкнуто, равностепенно непрерывно и
ограничено.
11. (Теорема Арцела для отображений в R) Пусть K — метризуемое компактное пространство, пространство C(K) с топологией равномерной сходимости, fn ∈ C(K), n ∈ N. Если последовательность (fn) является равностепенно непрерывным семейством и для любой точки x ∈ K
множество {fn(x) : n ∈ N} ограничено, то у последовательности (fn) есть сходящаяся подпоследовательность.
12. Пусть последовательность функций fn ∈ C(X, R) на компактном пространстве X сходится в топологии поточечной сходимости к функции f. Докажите, что если семейство fn, n ∈ N,
равностепенно непрерывно, то f непрерывно, и fn сходится к f в топологии равномерной сходимости.
13. Докажите единственность пополнения метрического пространства (с точностью до изометрий).
14. Найдите пополнение R с метриками ρ? : R × R → R+
a) ρ1(x, y) = |e
x − e
y
|;
b) ρ2(x, y) = |arctg(x) − arctg(y)|.
68
15. Найдите пополнения рациональных и иррациональных чисел с обычной метрикой.
16. Докажите, что R
n не изометрично R
m (с евклидовыми метриками) при n, m ∈ N, n 6= m.
17. Докажите, что семейство P полиномиальных функций на тихоновском кубе I
A
(a) разделяет точки, т.е. если для любых x, y ∈ X, x 6= y существует f ∈ P такая, что
f(x) 6= f(y),
(b) содержит все постоянные функции и является кольцом функций, т.е. для любых f, g ∈ P
имеем fg ∈ P и f + g ∈ P.
(c) замыкание P множества полиномиальных функций P в пространстве C
∗
(I
A) в топологии
равномерной сходимости является кольцом функций.
Дополнительные задачи Задания N 12
18. Будет ли произведение R
X в топологии равномерной сходимости нормированным (евклидовым) топологическим пространством (т.е.топология задается нормой, скалярным произведением)?
19. Существует ли метрика на пространстве рациональных (иррациональных) чисел, пополнением по которой является евклидово пространство R
n, n ∈ N, тихоновское произведение R
N?
20. Докажите, что для любого n ∈ N пространство R
n (с евклидовой метрикой) может быть
изометрично вложено в гильбертово пространство `
2
.
21. Для всякой ли изометрии f гильбертова пространства `
2
существует неподвижная точка
отображения f?