Лекция 10. Стоун-Чеховская компактификация. Локальная компактность. Одноточечная компактификация Александрова. Метризуемые компактные пространства.

31.3. Теорема. Пусть X — Тихоновское пространство. Существует компактификация
(Y, i) пространства X такая, что любая ограниченная непрерывная функция f : X → R имеет
единственное продолжение ˜f : Y → R (т.е. f = ˜f ◦ i).
Доказательство. Пусть C
∗
(X) = {fα : X → R : α ∈ A} — множество всех ограниченных
непрерывных функций на X. Будем считать, что fα(X) ⊂ [mα, Mα], α ∈ A. Тогда отображение
i = ∆α∈Afα : X →
Y
α∈A
[mα, Mα]
является вложением (Лемма 25.3 Лекции 7) в компактное пространство (Теорема 30.2). Положим
Y = Cl(i(X)) (замыкание i(X) в произведении Q
α∈A[mα, Mα]).
Тогда (Y, i) — компактификация X. Пусть f ∈ C
∗
(X). Так как f = fα для некоторого α ∈ A,
то f = prα ◦ i (см. Определение 17.7 Лекции 4), и отображение prα|Y : Y → [mα, Mα] является
искомым продолжением f. Единственность продолжения вытекает из Предложения 22.4 Лекции
5.
Компактификация, построенная в Теореме 31.3, называется Стоун-Чеховской компактификацией и обозначается βX.
31.4. Задача. Доказать ее единственность(с точностью до эквивалентности).
31.5. Пример. Квадрат прямой Зоргенфрея — Тихоновское пространство. Оно имеет компактификацию, которая нормальна. Тем самым, получен пример нормального пространства,
имеющего всюду плотное не нормальное подпространство.
§ 32. локальная компактность . одноточечная компактификация александрова .
32.1. Определение. Пространство X называется локально компактным, если для произвольной точки x и ее окрестности Ox существует такая окрестность Ux, что Cl(Ux) ⊂ Ox и
пространство Cl(Ux) компактно.
32.2. Примеры. 1. Евклидово пространство R
n, n ∈ N, топологические многообразия являются локально компактными пространствами.
2. Открытое (замкнутое) подмножество локально компактного пространства локально компактно.
3. Прямая в топологии Зариского — компактное, не локально компактное пространство.
4. Хаусдорфово компактное пространство локально компактно.
32.3. Теорема. Пусть X — хаусдорфово пространство. Тогда X — локально компактно в
том и только том случае, если
или X — компактное пространство,
или существует компактификация Y пространства X такая, что Y \ X одноточечно.
Если X — локально компактное, не компактное пространство, то любые две его одноточечные компактификации эквивалентны (название одноточечная компактификация Александрова,
обозначение αX).
Доказательство. Докажем единственность одноточечной компактификации. Пусть (Yj , ij ),
где Yj \ ij (X) = {yj}, j = 1, 2, — компактификации X. Положим f : Y1 → Y2, f|i1(X) = i2 ◦ i
−1
1
,
f(y1) = y2. Отображение f — биекция, кроме того, f|i1(X)
: i1(X) → i2(X) — гомеоморфизм.
Остается проверить непрерывность f. Если O открыто в Y2, то или y2 6∈ O, или y2 ∈ O. В первом
случае O открыто в i2(X). Значит f
−1
(O) открыто в i1(X), и открыто в Y1 (так как i1(X)
открыто в Y1). Во втором случае Y2 \ O — компактное подмножество i2(X). Тогда f
−1
(Y2 \ O)
— компактное подмножество i1(X) (а значит и Y1), которое замкнуто в Y1. Тем самым, f
−1
(O)
открыто в Y1 и f непрерывно. Значит f — гомеоморфизм такой, что f ◦ i1 = i2.
Доказательство первого утверждения. Необходимость. Если X не компактно, то определим
топологию на множестве Y = X ∪ {y} (y 6∈ X). Открытыми множествами являются открытые
подмножества X и множества вида Y \ K, где K — компактное подмножество X. Легко проверяются: корректность определения топологиии и то, что X — всюду плотное подпространство
Y .
56
Хаусдорфовость Y . Рассмотрим случай точек x ∈ X и y. Так как X локально компактно, то
существует окрестность Ox, замыкание которой Cl(Ox) компактно. Тогда Ox и Y \ Cl(Ox) —
дизъюнктные окрестности точек x ∈ X и y соответственно.
Компактность Y . Пусть u ∈ cov(Y ) и y ∈ U ∈ u. Тогда K = Y \U — компактное подмножество
X, поэтому существует конечное подсемейство u
0 ⊂ u, покрывающее K, и {U} ∪ u
0 — искомое
конечное подпокрытие u.
Достаточность следует из пунктов 2 и 4 Примера 32.2.
32.4. Следствие. Пространство X является хаусдорфовым локально компактным в том и
только том случае, если X гомеоморфно открытому подмножеству хаусдорфова компактного
пространства.
Хаусдорфово локально компактное пространство X является тихоновским.
32.5. Пример. Одноточечная компактификация R
n является сферой S
n, n ∈ N. В одномерном случае окружностью S
1
, в двумерном случае (если R
2 рассматривать как комплексные
числа) сфера S
2 называется замкнутой комплексной плоскостью или сферой Римана.
§ 33. метризуемые компактные пространства . характеризации компактности метризуемых пространств .
33.1. Теорема. Метризуемое компактное пространство X удовлетворяет второй аксиоме
счетности.
Доказательство. Пусть ρ — метрика на пространстве X. Из покрытия X открытыми шарами O 1
n
(x) можно выбрать конечное подпокрытие O 1
n
(x
n
1
), . . . , O 1
n
(x
n
k(n)
), n ∈ N. Тогда счетное
множество D =
S∞
n=1{x
n
1
, . . . , xn
k(n)
} всюду плотно в Y . Действительно, если O непустое открытое
подмножество X, то существует открытый шар Oε(x) ⊂ O. Для любого открытого шара O 1
n
(x
n
i
),
где 1
n < ε и x ∈ O 1
n
(x
n
i
) имеем x
n
i ∈ O(x) ⊂ O. По Теореме 21.7 Лекции 5 X удовлетворяет второй
аксиоме счетности.
33.2. Следствие. Пусть X — метризуемое пространство. Тогда X — сепарабельно в том
и только том случае, если существует метризуемая компактификация X (не обязательно
единственная).
Доказательство. Необходимость следует из Теоремы 21.7 Лекции 5 (существует счетная база
X), доказательства Теоремы Урысона 26.6 Лекции 7 (вложение X в гильбертов куб), Теоремы
Тихонова 30.2 Лекции 9 (компактность гильбертова куба) и Предложения 27.11 (компактность
замыкания образа X в гильбертовом кубе). Достаточность следует из Теоремы 33.1 и Теоремы
21.3 Лекции 5 (счетная база на X).
33.3. Теорема. Пусть X — метризуемое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
(a) X — компактно;
(b) любая последовательность точек в X содержит сходящуюся подпоследовательность
(секвенциальная компактность X);
(c) любая непрерывная функция f : X → R ограничена (псевдокомпактность X).
Доказательство. Зафиксируем метрику ρ на пространстве X, порождающую его топологию.
(a) =⇒ (b) Пусть (xn) — последовательность точек в X. Можно считать, что все точки последовательности попарно различны (в противном случае или существует подпоследовательность из
попарно различных точек и можно рассматривать ее, или существует подпоследовательность,
все точки которой совпадают и она очевидно сходящаяся). Если показать, что у множества
A = {xn : n ∈ N} есть предельная точка x
∗
, то тогда, беря по точке xin ∈ O 1
n
(x
∗
), in+1 > in,
n ∈ N, получим сходящуюся к x
∗ подпоследовательность (xin
).
Предположим, что A не имеет предельных точек. Тогда для любой точки x ∈ X существует
окрестность Ox, содержащая лишь конечное число точек A. В силу компактности X из покрытия
{Ox : x ∈ X}, можно выбрать конечное подпокрытие. Получается, что множество A конечно,
что противоречит предположению о нем.
(b) =⇒ (c) Если f : X → R — неограниченная непрерывная функция (считаем, без ограничения общности, что f неограничена сверху), то существует последовательность точек (xn)
такая, что f(xn+1) ≥ f(xn) + 1, n ∈ N. Последовательность (xn) содержит сходящуюся к точке
x
∗ подпоследовательность (xin
). Но тогда по Определению 13.7 Лекции 3 (непрерывность по
57
Гейне) функция f разрывна в точке x
∗
. Полученное противоречие завершает доказательство
импликации.
(c) =⇒ (a) Для любого ε > 0 существует конечное множество точек Aε = {x1, . . . , xn} такое, что для любой точки x ∈ X существует точка xi ∈ Aε, для которой ρ(x, xi) < ε (множество
точек {x1, . . . , xn} называется конечной ε-сетью). Действительно, в противном случае можно построить последовательность точек (xn), попарные расстояния между которыми ≥ ε. Множество
A = {xn : n ∈ N} будет замкнутым подмножеством X и дискретным пространством (открытый
шар Oε
2
(x), x ∈ X, может содержать не более одной точки множества A), на котором функция
f : A → N, f(xn) = n, n ∈ N, непрерывна. По Теореме Брауэра–Титце–Урысона (Следствие 23.4
Лекции 6) существует непрерывное продолжение f на X, которое неограничено. Полученное
противоречие завершает доказательство наличия конечной ε-сети.
Объединение A =
S∞
n=1 A 1
n
конечных 1
n
-сетей, n ∈ N, есть счетное всюду плотное подмножество X. Так как X сепарабельно, то по Следствию 33.2 существует метризуемая компактификация Y пространства X, и пусть ρ
0 — метрика на Y , порождающая его топологию. Если
существует точка y ∈ Y \ X, то она не является изолированной, поэтому функция f : X → R,
f(x) = 1
ρ0(x,y) — непрерывная неограниченная корректно определенная функция на X, что противоречит условию (c). Значит X = Y и X — компактное пространство.
Задание N 10
1. Докажите, что любое отображение f : X → Y тихоновского пространства X в компактное
пространство Y продолжается до отображения его Стоун-Чеховской компактификации βX.
Установите единственность (с точностью до эквивалентности) Стоун-Чеховской компактификации βX тихоновского пространства X.
2. Приведите пример тихоновского пространства, не имеющего метризуемой компактификации.
3. Докажите. а) Евклидовы пространства R
n, n ∈ N, являются локально компактными пространствами.
б) Открытое (замкнутое) подмножество локально компактного пространства локально компактно.
в) Прямая в топологии Зариского — компактное, не локально компактное пространство.
г) Хаусдорфово компактное пространство локально компактно.
4. Докажите, что Q не локально компактное пространство.
5. В каких из топологий из Примера 8.5 Лекции 2 прямая локально компактна?
6. Докажите, что одноточечная компактификация Александрова R
n — сфера S
n, n ∈ N.
7. Докажите, что одноточечная компактификация Александрова счетного дискретного пространства N — сходящаяся последовательность {0} ∪ (
1
n
).
8. Докажите, что гомеоморфизм тихоновских пространств, продолжается до гомеоморфизма
их Стоун-Чеховских компактификаций.
Докажите, что гомеоморфизм хаусдорфовых локально компактных пространств, продолжается до гомеоморфизма их одноточечных компактификаций Александрова.
9. Будет ли непрерывный хаусдорфов образ локально компактного пространства локально
компактным?
10. Докажите, что любое некомпактное метризуемое пространство содержит бесконечное замкнутое дискретное подпространство.
11. Докажите, что на любом некомпактном метризуемом пространстве X существует непрерывная функция f : X → (0, 1], для которой inf{f(x) : x ∈ X} = 0.
Дополнительные задачи Задания N 10
12. Для компактификаций (Y1, i1) и (Y2, i2) считаем Y1 ≤ Y2, если существует отображение
f : Y2 → Y1 такое, что f ◦ i2 = i1. Докажите, что f(Y2 \ i2(X)) = (Y1 \ i2(X)).
58
Докажите, что ≤ — упорядочение на множестве компактификаций, для которой βX — наибольший элемент. Если пространство X локально компактно, то αX — наименьший элемент.
13. Докажите, что хаусдорфово пространство локально компактно в том и только том случае,
если оно является открытым подмножеством любой своей компактификации.
14 (Альтернативное определение локальной компактности пространства). Пространство
X называется локально компактным, если для произвольной точки x существует такая ее
окрестность Ux, что Cl(Ux) является компактным подпространством X.
Будут ли локально компактными открытое (замкнутое) подмножество локально компактного
пространства в этом смысле?
Будет ли локально компактным в этом смысле прямая в топологии Зариского?
Докажите, что для хаусдорфовых пространств оба понятия локальной компактности совпадают.
15. Докажите, что любое компактное пространство псевдокомпактно.
Докажите, что множество T(ω1) счетных трансфинитов (Пример 7.1 Лекции 1) является локально компактным, не компактным хаусдорфовым пространством, которое псевдокомпактно и
секвенциально компактно.
Докажите, что βT(ω1) = αT(ω1) = T = T(ω1) ∪ {ω1}.