26.6. Теорема Урысона. Всякое нормальное пространство X со счетной базой метризуемо.
Доказательство. Поскольку подпространство метризуемого пространства метризуемо (см.
Пример 10.2.4 и Предложение 11.6 Лекции 2), достаточно, в силу Теоремы 26.5, построить вложение F : X → I
ℵ
0 пространства X в гильбертов куб. Пусть B — счетная база пространства X.
Пару элементов (V, U) базы B назовем нормальной, если
Cl(V ) ⊂ U.
Множество всех нормальных пар, как и множество всех пар элементов базы B счетно. Занумеруем их натуральными числами:
(Vn, Un), n ∈ N.
По Лемме Урысона для каждой нормальной пары (Vn, Un) существует такая непрерывная функция
fn : X → [0, 1],
что
fn(Cl(Vn)) = 1, fn(X \ Un) = 0.
Легко проверить, что семейство функций fn, n ∈ N, удовлетворяет условию Леммы 25.3 (разделяет точки и замкнутые множества). Тогда
F = ∆
n∈N
fn : X → I
N − вложение.
§ 27. Компактные, финально компактные и пара
компактные пространства .
27.1. Лемма об ужатии. Пусть u = {U1, . . . , Uk} — открытое покрытие нормального
пространства X. Тогда существует такое открытое покрытие v = {V1, . . . , Vk} пространства
X, что Cl(Vi) ⊂ Ui
, i = 1, . . . , k.
Доказательство. Множества Vi строим по индукции. Пусть F1 = X \
S
{Ui
: i ≥ 2}. Тогда
F1 ⊂ U1. В силу нормальности пространства X существует такая окрестность OF1, что Cl(OF1) ⊂
U1. Положим V1 = OF1. Из построения вытекает, что семейство
v1 = {V1, U2, . . . Uk} − открытое покрытие X.
Предположим, что мы построили открытые множества V1, . . . , Vm, 1 ≤ m < k, удовлетворяющие
условиям
Cl(Vi) ⊂ Ui
, i = 1, . . . , m;
vm = {V1, . . . , Vm, Um+1, . . . , Uk} − открытое покрытие X.
Положим
Fm+1 = X \ (V1 ∪ . . . ∪ Vm ∪ Um+2 ∪ . . . ∪ Uk).
Тогда множество Fm+1 замкнуто в X и лежит в Um+1. Существует такая окрестность OFm+1, что
Cl(OFm+1) ⊂ Um+1. Полагая Vm+1 = OFm+1, получаем открытое покрытие vm+1 = {V1, . . . , Vm, Vm+1, Um+2, . . . , Ukространства X. Покрытие vk = {V1, . . . , Vk} является искомым.
27.2. Замечание (характеризация нормальности). Пространство X нормально в том и
только том случае, если для любого его открытого покрытия u = {U1, . . . , Uk} существует такое
открытое покрытие v = {V1, . . . , Vk} пространства X, что Cl(Vi) ⊂ Ui
, i = 1, . . . , k.
Необходимость доказана в Лемме 27.1. Для доказательства досточности рассмотрим дизъюнктные замкнутые множества F и T в X. Семейство множеств {UT = X \ F, UF = X \ T} —
открытое покрытие X. Cуществует открытое покрытие {VT , VF } пространства X, что
T ⊂ VT ⊂ Cl(VT ) ⊂ UT ,
F ⊂ VF ⊂ Cl(VF ) ⊂ UF .
Тогда F ⊂ OF = X \ Cl(VT ), T ⊂ OT = X \ Cl(VF ) и
OF ∩ OT = (X \ Cl(VF ))\
(X \ Cl(VT )) = X \ (Cl(VF )
[
Cl(VT )) = ∅.
46
27.3. Определение. Пространство X называется компактным, если из любого его открытого
покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.
27.4. Примеры. 1. Конечные пространства. Пространства, топология которых конечна.
2. Отрезок (Лемма Бореля–Лебега). Замкнутые ораниченные подмножества R
n.
3. Пространство в топологии конечных дополнений. Прямая в топологии Зариского.
27.5. Определение. Пространство X называется финально компактным, если из любого
его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие (везде далее под счетностью
понимается не более чем счетность).
27.6. Примеры. 1. Счетные пространства. Пространства, являющиеся счетным объединением компактных подпространств.
2. Пространства, удовлетворяющие второй аксиоме счетности. Сепарабельные метризуемые
пространства. Пространства R
n.
3. Прямая Зоргенфрея.
Доказательство (финальной компактности прямой Зогенфрея). Пусть u — произвольное
открытое покрытие прямой Зоргенфрея X, и пусть VO — внутренность множества O ∈ u относительно обычной (евклидовой) топологии прямой. Покажем, что множество A = X\
S
{VO : O ∈ u}
— счетно.
Для любого x ∈ A существуют O ∈ u и ax ∈ X, x < ax, такие, что [x, ax) ⊂ O. Тем самым,
если x 6= x
0
, x, x0 ∈ A, то [x, ax) ∩ [x
0
, ax0 ) = ∅ (в противном случае или x
0 ∈ (x, ax), или
x ∈ (x
0
, ax0 ), но интервалы (x, ax) и (x
0
, ax0 ) не содержат точек из A). Так как мощность попарно
непересекающихся полуинтервалов на прямой не более чем счетна, то |A| ≤ ℵ0.
Множество R\A =
S
{VO : O ∈ u} — сепарабельное метризуемое пространство. Поэтому из его
открытого покрытия {VO : O ∈ u} можно выбрать счетное подпокрытие. Так как VO ⊂ O, то из
u можно выбрать счетное подсемейство u
0
, объединение элементов которого содержит X \ A. Из
u можно выбрать счетное подсемейство u
00, объединение элементов которого содержит A. Тогда
u
0 ∪ u
00 — счетное подпокрытие u.
27.7. Определение. Покрытие u вписано в покрытие v, если каждый элемент U ∈ u содержится в некотором множестве V ∈ v.
27.8. Замечание. Пространство X компактно (соотв. финально компактно) тогда и только
тогда, когда в любое его открытое покрытие можно вписать конечное (соотв. счетное) открытое
покрытие.
27.9. Определение. Семейство u подмножеств пространства X называется локально конечным, если для всякой точки x ∈ X существует окрестность Ox, пересекающаяся лишь с конечным
числом элементов семейства u.
Любое подсемейство локально конечного семейства множеств является локально конечным
семейством множеств.
27.10. Определение. Пространство X называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.
27.11. Предложение. Свойства компактности, финальной компактности, паракомпактности наследуются при переходе к замкнутым подпространствам.
Будем говорить, что семейство множеств u вписано в семейство множеств v, если каждый
элемент U ∈ u содержится в некотором множестве V ∈ v.
27.12. Лемма. Пусть F — замкнутое подмножество паракомпактного пространства X
и пусть u такое семейство открытых подмножеств пространства X, что F ⊂
S
{U ∈ u}.
Тогда существует такое локально конечное семейство u0 открытых подмножеств X, что u0
вписано в u и F ⊂
S
{U ∈ u0}.
Доказательство. Семейство u ∪ {X \ F} — открытое покрытие X. Впишем в него локально
конечное покрытие v. Семейство u0 = {V ∈ v : V ∩ F 6= ∅} является искомым.
27.13. Определение. Семейство u подмножеств пространства X называется консервативным, если
Cl[
U ∈ u0
=
[
Cl(U) : U ∈ u0
(27.1)
для всякого подсемейства u0 ⊂ u.
47
27.14. Предложение. Всякое локально конечное семейство консервативно.
Доказательство. Равенство (27.1) складывается из двух включений ⊃ и ⊂. Включение ⊃
вытекает из монотонности операции замыкания. Проверим, что выполнено включение ⊂. Пусть
x ∈ ClS
{U ∈ u0}
. Существует окрестность Ox, пересекающаяся с конечным семейством элементов u0, а именно, с U1, . . . , Uk. Тогда x ∈ Cl(U1 ∪ . . . ∪ Uk) = Cl(U1) ∪ . . . ∪ Cl(Uk) ⊂
S
Cl(U) :
U ∈ u0
.
27.15. Теорема. Всякое хаусдорфово паракомпактное пространство X нормально.
Доказательство. Сначала покажем, что X регулярно. Так как X хаусдорфово, то надо проверить выполнение аксиомы T3. Пусть даны замкнутое множество F ⊂ X и точка x0 ∈ X\F. Для
каждой точки x ∈ F существуют непересекающиеся окрестности Oxx0 и Ox точек x0 и x соответственно. Заметим, что x0 6∈ Cl(Ox). В семейство
Ox : x ∈ F}, для которого F ⊂
S
Ox : x ∈ F
,
в силу Леммы 27.12, можно вписать локально конечное семейство v, открытых в X множеств,
такое, что F ⊂
S
{V ∈ v}.
Но v — локально конечное и, согласно Предложению 27.14, является консервативным семейством множеств. Поэтому
Cl[
{V ∈ v}) = [
{Cl(V ) : V ∈ v} ⊂ X \ {x0},
и Ox0 = X \ ClS
{V ∈ v}) есть окрестность точки x0. Множество OF =
S
{V ∈ v} есть окрестность множества F и, очевидно, Ox0 ∩ OF = ∅. Регулярность пространства X доказана.
Заменяя пару (F, x0) парой непересекающихся замкнутых множеств (F1, F2) и применяя аналогичную процедуру, доказываем нормальность регулярного паракомпактного пространства X.
27.16. Следствие. Всякое хаусдорфово компактное пространство X является хаусдорфовым паракомпактным пространством (следовательно, нормальным).
27.17. Теорема. Всякое регулярное финально компактное пространство X является хаусдорфовым паракомпактным пространством (следовательно, нормальным).
Доказательство. Пусть u — открытое покрытие X. Для произвольного множества U ∈ u и
точки x ∈ U согласно регулярности X существует такая окрестность OU x точки x, что
Cl
O
U x
⊂ U. (27.2)
В силу финальной компактности X из открытого покрытия
Ω =
O
U x : U ∈ u, x ∈ X
(27.3)
можно выделить счетное подпокрытие
Ω1 =
O
Uixi
: i ∈ N
. (27.4)
Из (27.2) и (27.4) вытекает, что семейство
u0 = {Ui
, i ∈ N} (27.5)
является покрытием пространства X. Определим множества Vi
, i ∈ N, следующим образом:
V1 = U1, Vj+1 = Uj+1 \
[
Cl
O
Uixi
: i ≤ j
. (27.6)
Покажем, что v = {Vj : j ∈ N} является открытым локально конечным покрытием, вписанным
в покрытие u0 и, следовательно, в покрытие u.
Начнем с того, что согласно (27.6) семейство v состоит из открытых множеств и вписано в
покрытие u0.
Докажем, что v — открытое покрытие X. Возьмем произвольную точку x ∈ X. Существует
наименьшее такое j, что x ∈ Uj . Тогда x /∈ Cl
OUixi
при i < j и, следовательно, x ∈ Vj согласно
(27.6).
Остается проверить локальную конечность v. Пусть x ∈ X. Поскольку Ω1 — покрытие, x принадлежит некоторому множеству OUixi
. Тогда из (27.6) вытекает, что OUixi является окрестностью точки x, не пересекающейся с множеством Vj при j > i. Значит, покрытие v локально
конечно.
Регулярные
финально компактные пространства называются линделефовыми.
27.18. Теорема (А. Стоун). Всякое метризуемое пространство паракомпактно.
48
27.19. Пример. Прямая Зоргенфрея является примером паракомпактного (финально компактного) пространства, квадрат которого не паракомпактен (не финально компактен).
Задание N 8
1. Докажите, что две метрики на одном и том же множестве топологически эквивалентны
тогда и только тогда, когда всякая сходящаяся последовательность точек этого множества в
одной метрике, сходится и в другой.
2. Пусть на множестве X заданы две метрики ρ1 и ρ2. Докажите, что если существуют действительные числа k1 > 0 и k2 > 0 такие, что ρ1(x, y) ≤ k2ρ2(x, y) и ρ2(x, y) ≤ k1ρ1(x, y) для
любых x, y ∈ X, то метрики ρ1 и ρ2 топологически эквивалентны.
Пусть метрики ρ1 и ρ2 на X топологически эквивалентны. Будут ли они удовлетворять условию задачи?
3. Докажите, что топология гильбертова пространства `
2
сильнее топологии на `
2 как на
подпространстве тихоновского произведения R
ℵ0
.
4. Докажите, что тихоновское произведение R
ℵ0 — линейное топологическое пространство (т.е.
естественно определенные операции сложения и умножения на скаляры непрерывны).
Докажите, что любое подпространство тихоновского произведения R
ℵ0
, содержащее подмножество точек, у которых лишь конечное число координат отлично от нуля, не нормируемо.
5. Докажите компактность пространства, топология которого конечна.
6. Докажите компактность отрезка.
7. Докажите компактность прямой в топологии Зариского.
8. Докажите финальную компактность пространства, являющегося счетным объединением
компактных подпространств.
9. Докажите финальную компактность сепарабельного метризуемого пространства.
10. Приведите пример метризуемого не финально компактного пространства.
Дополнительные задачи Задания N 8
11. Существует ли (бесконечное) метризуемое пространство, любые две метрики на котором
удовлетворяют условию Задачи 2.
12. Докажите, что любое регулярное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, метризуемо.
13. Приведите пример хаусдорфова финально компактного пространства, которое не паракомпактно.
14. Докажите теорему А. Стоуна. Всякое метризуемое пространство паракомпактно.
15. Докажите, что пространство счетных трансфинитов T(ω1) (в топологии линейного порядка) нормальное, не паракомпактное пространство
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология