§ 12. Замыкание, внутренность и
граница подмножества .
12.1. Определение. Пусть X — пространство и M ⊂ X. Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих M
\
{F : F замкнуто в X и M ⊂ F},
замкнутое согласно условию (3’) после Определения 8.1, называется замыканием множества M
в X и обозначается через ClX(M) или Cl(M) (в литературе также распространено обозначение
M).
Cl(M) — наименьшее замкнутое подмножество пространства X, содержащее M.
Объединение всех открытых множеств, содержащихся в M
[
{U : U открыто в X и U ⊂ M},
открытое согласно условию (3) Определения 8.1, называется внутренностью множества M в X
и обозначается через IntX(M) или Int(M).
Int(M) — наибольшее открытое подмножество пространства X, содержащееся в M.
Всегда
Int(M) ⊂ M ⊂ Cl(M).
Подмножество M открыто (соответственно замкнуто) в X в том и только том случае,
если Int(M) = M (соответственно Cl(M) = M).
12.2. Предложение. Пусть X — пространство и M ⊂ X. Тогда
Cl(M) = X \ Int(X \ M).
Доказательство использует законы де Моргана.
Cl(M) = \
{F : F замкнуто в X и M ⊂ F} =
\
{X \ U : U открыто в X и U ⊂ X \ M} =
= X \
[
{U : U открыто в X и U ⊂ X \ M} = X \ Int(X \ M).
12.3. Определение. Пусть X — пространство и M ⊂ X. Множество Cl(M) \ Int(M) называется границей множества M. Обозначение Bd(M).
12.4. Окрестности. Произвольное открытое множество, содержащее множество M ⊂ X,
называется окрестностью множества M в пространстве X.
Окрестности множества M обычно обозначаются символом OM (Ox — окрестность точки x,
ε-шары Oε(x) с центром в точке x — окрестности точки x в метрической топологии). Пересечение
конечного числа окрестностей множества M является его окрестностью.
Если точка x ∈ X имеет окрестность, состоящую из одной точки, то x называется изолированной точкой пространства X. Пространство X дискретно тогда и только тогда, когда все его
точки изолированы.
12.5. Определение. Точка x ∈ M называется внутренней точкой множества M ⊂ X, если
существует окрестность Ox ⊂ M.
Точка x ∈ X называется точкой прикосновения множества M ⊂ X, если Ox ∩ M 6= ∅ для
всякой окрестности Ox точки x.
Точка x ∈ X называется предельной точкой множества M ⊂ X, если ее любая окрестность
Ox содержит точку M, отличную от x.
Точка x ∈ X называется граничной точкой множества M, если она — его
точка прикосновения ,
но не
внутренняя точка .
12.6. Предложение. Множество всех внутренних точек (точек прикосновения, граничных
точек) множества M ⊂ X совпадает с Int(M) (Cl(M), Bd(M) соответственно).
20
Доказательство приведем только первого утверждения. Из Определения 12.1 вытекает, что
всякая внутренняя точка множества M принадлежит Int(M). Наоборот, если x ∈ Int(M), то
Ox = Int(M) ⊂ M.
12.7. Определение. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство и ξ = (xn)n∈N — последовательность точек xn ∈ X. Говорят, что последовательность ξ сходится к точке x ∈ X, если для
всякого ε > 0 существует такое n0 ∈ N, что
xn ∈ Oε(x) для всех n ≥ n0.
12.8. Замечание. Если (X, ρ) — метрическое пространство, τρ — метрическая топология, и
M ⊂ X, то тогда x ∈ Cl(M) тогда и только тогда, когда существует последовательность (xn)n∈N
точек множества M, сходящаяся к x.
§ 13.
непрерывные отображения топологических пространств .
13.1. Определение. Отображение f : X → Y пространства X в пространство Y называется
непрерывным в точке x ∈ X, если для любой окрестности Oy точки y = f(x) найдется такая
окрестность Ox точки x, что f(Ox) ⊂ Oy.
Отображение f : X → Y называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке
x ∈ X.
13.2. Предложение. Для отображения f : X → Y следующие условия равносильны:
1) f непрерывно;
2) прообраз f
−1
(U) всякого открытого в Y множества U открыт в X;
3) прообраз f
−1
(F) всякого замкнутого в Y множества F замкнут в X;
4) f
Cl(Z)
⊂ Cl
f(Z)
для всякого множества Z ⊂ X.
Доказательство. Проверим последовательность импликаций: 1) ⇒ 4) ⇒ 3) ⇒ 2) ⇒ 1).
1) ⇒ 4). Возьмем x ∈ Cl(Z). Надо показать, что f(x) ∈ Cl
f(Z)
, т.е. что f(x) является точкой
прикосновения множества f(Z). В силу непрерывности f, для произвольной окрестности Of(x)
существует такая окрестность Ox, что f(Ox) ⊂ Of(x). Поскольку x ∈ Cl(Z), имеем Ox ∩ Z 6= ∅.
Возьмем точку z ∈ Ox∩Z. Тогда f(z) ∈ f(Ox∩Z) ⊂ f(Ox)∩f(Z) ⊂ Of(x)∩f(Z). Следовательно,
Of(x) ∩ f(Z) 6= ∅, т.е. f(x) ∈ Cl
f(Z)
.
4) ⇒ 3). Предположим, что существует замкнутое множество F ⊂ Y , прообраз f
−1
(F) которого не замкнут в X. Существует точка
x ∈ Cl
f
−1
(F)
\ f
−1
(F). (13.1)
Из 4) вытекает, что f(x) ∈ Cl
f
f
−1
(F)
⊂ Cl(F) = F. С другой стороны, f(x) ∈/ F согласно
(13.1). Получили противоречие.
Импликация 3) ⇒ 2) вытекает из равенства f
−1
(Y \U) = X \f
−1
(U). Наконец, 2) ⇒ 1). Берем
точку x ∈ X и окрестность Of(x). Множество f
−1
Of(x)
открыто согласно 2). Поскольку
x ∈ f
−1
Of(x)
, множество f
−1
Of(x)
и является окрестностью Ox, для которой f(Ox) =
f
f
−1
Of(x)
⊂ Of(x).
Следующее утверждение дополняет Предложение 13.2.
13.3. Предложение. Для непрерывности отображения f : X → Y достаточно, чтобы
были открыты прообразы f
−1
(U) элементов U некоторой предбазы B пространства Y .
Доказательство. Пусть x ∈ X, а Of(x) — произвольная окрестность. Существуют такие
элементы U1, . . . , Uk ∈ B, что f(x) ∈
T
k
i=1
Ui ⊂ Of(x). Множества f
−1
(Ui) открыты по условию.
Полагая Ox =
T
k
i=1
f
−1
(Ui), имеем f(Ox) ⊂ Of(x).
13.4. Правила построения непрерывных отображений. Пусть X, Y, Z — топологические
пространства.
1. Постоянное отображение f = consty0
: X → Y , переводящее все пространство X в точку
y0 ∈ Y непрерывно. Прообраз f
−1
(U) любого открытого множества U ⊂ Y либо пуст, либо равен
X.
21
2. Пусть M — подмножество пространства (X, T ). Обозначим через iM : M → X отображение
тождественного вложения, ставящее в соответствие точке x ∈ M ее саму в X. Отображение
вложения iM : M → X подпространства (M, T |M) в (X, T ) непрерывно.
3. Теорема о сложной функции. Композиция g ◦ f : X → Z непрерывных отображений f :
X → Y и g : Y → Z непрерывна.
4. Ограничение f|M непрерывного отображения f : X → Y на подпространство M ⊂ X
непрерывно.
Утверждение вытекает из пунктов 2 и 3, и равенства f|M = f ◦ iM.
5. Отображение f : X → Y непрерывно, если X представимо в виде объединения открытых
множеств X =
S
α∈A Oα таких, что f|Oα непрерывно для любого α ∈ A.
Очевидна непрерывность отображения в каждой точке пространства X.
6. Пусть пространство X является объединением конечного числа своих замкнутых подмножеств Fi
, i = 1, . . . , k, и пусть f : X → Y — такое отображение, что f|Fi непрерывно для каждого
i. Тогда отображение f непрерывно.
Возьмем произвольное замкнутое множество Φ ⊂ Y . Тогда
f
−1
(Φ) = S
k
i=1
f|Fi
−1
(Φ).
В самом деле, включение ⊃ очевидно. Пусть теперь x ∈ f
−1
(Φ). Тогда x принадлежит некоторому Fi и, значит, x ∈
f|Fi
−1
(Φ).
Из условия 3) Предложения 13.2 и непрерывности отображений f|Fi
вытекает замкнутость
множеств
f|Fi
−1
(Φ). Поэтому замкнуто и f
−1
(Φ). Значит, f непрерывно согласно Предложению 13.2.
7. Произвольному топологическому пространству X можно сопоставить его дискретный дубликат Xd, т.е. пространство на том же множестве X, наделенное дискретной топологией (см. п.
8.1). Тогда тождественное отображение id : Xd → X непрерывно.
Топология пространства Xd порождается метрикой Примера 10.2.3 (x 6= y ⇒ ρ(x, y) = 1). Тем
самым любое пространство является непрерывным образом метризуемого пространства.
8. Пусть T1 ≥ T2 — топологиии на X. Тогда тождественное отображение id : (X, T1) → (X, T2)
непрерывно.
13.5. Непрерывные отображения метрических пространств. Пусть (X, ρ1) и (Y, ρ2) —
метрические пространства. Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X
по Коши, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что
f
Oδ(x0)
⊂ Oε
f(x0)
. (13.2)
Отображение f : X → Y называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке x0 ∈ X.
Из определения метрической топологии следует, что любое непрерывное отображение метрических пространств (X, ρ1) и (Y, ρ2) является непрерывным отображением топологических
пространств (X, Tρ1
) и (Y, Tρ2
).
13.6. Пример. Для любого подмножества M метрического пространства (X, ρ) отображение
ρM : X → R, определяемое формулой ρM(x) = inf{ρ(x, a) : a ∈ M} (расстояние от точки до
множества), непрерывно.
Для любых точек x, x0 ∈ X и a ∈ M, используя неравенства треугольника, имеем
ρ(x
0
, a) ≤ ρ(x, a) + ρ(x, x0
).
Значит,
ρM(x
0
) = inf{ρ(x
0
, a) : a ∈ M} ≤ ρM(x) + ρ(x, x0
), где ρM(x) = inf{ρ(x, a) : a ∈ M}, т.е.
ρ(x, x0
) ≥ ρM(x
0
) − ρM(x). (13.3)
Проводя аналогичные рассуждения, используя неравенство ρ(x, a) ≤ ρ(x
0
, a) + ρ(x, x0
), имеем
ρ(x, x0
) ≥ ρM(x) − ρM(x
0
). (13.4)
Из (13.3) и (13.4) следует неравенство
ρ(x, x0
) ≥ |ρM(x) − ρM(x
0
)|,
позволяющее очевидным образом завершить доказательство.
22
13.7. Определение непрерывности по Гейне. Пусть X и Y — метрические пространства.
Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если для всякой последовательности ξ = (xn : n ∈ N), сходящейся к точке x0, последовательность f(ξ) =
f(xn) : n ∈ N)
сходится к точке f(x0).
13.8. Теорема. Определения непрерывности отображения f : X → Y в точке x0 ∈ X по
Коши и по Гейне равносильны.
Доказательство. Пусть f непрерывно в точке x0 по Коши и пусть ξ = (xn : n ∈ N) —
последовательность, сходящаяся к точке x0. Возьмем произвольное ε > 0. Существует такое
δ > 0, что выполнено условие (13.1). Поскольку ξ сходится к x0, существует такое n0 ∈ N, что
xn ∈ Oδ(x0) для всех n ≥ n0.
Но тогда
f(xn) ∈ f
Oδ(x0)
⊂ Oε
f(x0)
для всех n ≥ n0.
Следовательно, f(ξ) сходится к f(x0).
Наоборот, пусть f непрерывно в точке x0 по Гейне. Возьмем δn = 1/n. Если f не является
непрерывным в точке x0 по Коши, то для некоторого ε > 0 и для каждого n существует такая
точка xn ∈ Oδn
(x0), что f(xn) ∈/ Oε
f(x0)
. Тогда последовательность ξ = (xn : n ∈ N) сходится
к x0, но последовательность f(ξ) =
f(xn) : n ∈ N
не сходится к f(x0), поскольку f(ξ) ∩
Oε
f(x0)
= ∅. Получили противоречие.
§ 14.
гомеоморфизм .
14.1. Определение. Пусть f : X → Y — взаимно однозначное отображение пространства
X на пространство Y . Пусть, кроме того, непрерывны отображение f и обратное к нему отображение f
−1
. Тогда f называется гомеоморфизмом, а пространства X и Y — гомеоморфными.
Обозначение X ≈ Y .
Отношение X ≈ Y — отношение эквивалентности на топологических пространствах.
14.2. Примеры.
1. Все отрезки числовой прямой гомеоморфны отрезку [0, 1].
2. Все интервалы числовой прямой гомеоморфны интервалу (0, 1).
3. Открытый шар в R
n с центром в начале координат и радиусом 1 будем обозначать через
Dn.
Открытый шар Dn гомеоморфен пространству R
n.
Доказательство. Для x = (x1, . . . , xn) ∈ Dn положим
f(x) =
tg
π
2
kxk
·
x
kxk
, если x 6= 0,
0, если x = 0,
где ||x|| =
s
Pn
i=1
|xi
|
2. Ясно, что f : Dn → R
n — биекция.
Обратное отображение f
−1
: R
n → Dn задается следующим образом (самостоятельно проверить, что оно действительно является обратным к f):
f
−1
(x) = 2
π
arctg
kxk
x
kxk
, если x 6= 0,
0, если x = 0.
Непрерывность отображений f и f
−1 доказывается одинаково.
Проверим непрерывность отображения f в точке x0 ∈ R
n, x0 6= 0. Пусть M > 0 и окрестность
Oδ
0 (x0) такие, что
tg
π
2
kxk
kxk < M для любой точки x ∈ Oδ
0 (x0). Для > 0 выберем Oδ
00 (x0) так,
что |
tg
π
2
kxk
kxk −
tg
π
2
kx0k
kx0k
| <
2||x0|| для x ∈ Oδ
00 (x0). Положим, δ = min{δ
0
,
2M , δ00}. Тогда для
x ∈ Oδ(x0) имеем
||f(x) − f(x0)|| = ||tg
π
2
kxk
kxk
· x −
tg
π
2
kx0k
kx0k
· x0|| ≤
||tg
π
2
kxk
kxk
· x −
tg
π
2
kxk
kxk
· x0|| + ||tg
π
2
kxk
kxk
· x0 −
tg
π
2
kx0k
kx0k
· x0|| =
= |
tg
π
2
kxk
kxk
| · ||x − x0|| + |
tg
π
2
kxk
kxk
−
tg
π
2
kx0k
kx0k
| · ||x0|| < M
2M
+
2||x0|| · ||x0|| < .
23
Непрерывность отображения f в точке x0 установлена. (Непрерывность отображения f в точке
0 проверить самостоятельно.)
4. S
n−1 =
(x1, . . . , xn) ∈ R
n : x
2
1 + . . . + x
2
n = 1
— сфера в R
n радиуса 1 с центром в начале
координат.
Множество En−1 =
(x1, . . . , xn) ∈ S
n−1
: xn = 0
— экватор сферы S
n−1
.
Экватор разбивает сферу S
n−1 на две полусферы:
S
n−1
+ =
(x1, . . . , xn) ∈ S
n−1
: xn > 0
;
S
n−1
− =
(x1, . . . , xn) ∈ S
n−1
: xn < 0
.
Полусферы S
n−1
+ и S
n−1
+ гомеоморфны.
5. Открытый шар Dn−1
гомеоморфен полусфере S
n−1
+ .
Гомеоморфизм h : Dn−1 → S
n−1
+ определяется равенством
h
x1, . . . , xn−1
=
x1 . . . , xn−1,
q
1 − x
2
1 − . . . − x
2
n−1
.
Обратное отображение h
−1
задается равенством
h
−1
x1, . . . , xn−1, xn
=
x1, . . . , xn−1
.
Задание N 3
1. Докажите:
(1) ClA = A ∪ BdA;
(2) IntA = A \ BdA;
(3) X \ BdA = IntA ∪ Int(X \ A);
(4) BdA = ClA ∩ Cl(X \ A);
(5) A замкнуто тогда и только тогда, когда BdA ⊂ A;
(6) A открыто тогда и только тогда, когда BdA ∩ A = ∅;
(7) Ad \ A = BdA \ A, где Ad — множество предельных точек A;
(8) A замкнуто тогда и только тогда, когда Ad ⊂ A.
2. Справедливы ли следующие соотношения:
(1) если A ⊂ B, то IntA ⊂ IntB, ClA ⊂ ClB;
(2) Int(A ∩ B) = IntA ∩ IntB; Cl(A ∩ B) = ClA ∩ ClB; Bd(A ∩ B) = BdA ∩ BdB;
(3) Int(A ∪ B) = IntA ∪ IntB; Cl(A ∪ B) = ClA ∪ ClB; Bd(A ∪ B) = BdA ∪ BdB;
(4) Bd(A ∩ B) ⊂ BdA ∪ BdB;
(5) Bd(X \ A) = BdA, Bd(ClA) ⊂ BdA, Bd(IntA) ⊂ BdA;
(6) (A ∪ B)
d = Ad ∪ Bd
?
3. Пусть C : 2X → 2
X — оператор на семействе подмножеств множества X, удовлетворяющий
условиям:
(1) C(∅) = ∅;
(2) M ⊂ C(M);
(3) C(M ∪ N) = C(M) ∪ C(N);
(4) C(C(M)) = C(M).
Докажите, что на X существует топология такая, что Cl(M) = C(M) для всех M ∈ 2
X.
4. Найдите замыкания подмножеств лексикографически упорядоченного квадрата I
2
:
(1) C = {(x, 0) : 0 < x < 1};
(2) D = {(x, 1
2
) : 0 < x < 1};
(3) E = {(
1
2
, y) : 0 < y < 1}.
5. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство, M ⊂ X. Докажите, что следующие условия
эквивалентны:
(1) x ∈ Cl(M);
(2) существует последовательность (xn)n∈N точек множества M, сходящаяся к x;
(3) ρ(x, M) = inf{ρ(x, y) : y ∈ M} = 0.
6. Найдите внутренность и границу следующих подмножеств R
2
:
(1) A = {(x, y) : y = 0};
(2) B = {(x, y) : x > 0, y 6= 0};
(3) C = A ∪ B;
24
(4) D = {(x, y) : x ∈ Q};
(5) E = {(x, y) : 0 < x2 − y
2 ≤ 1};
(6) F = {(x, y) : x 6= 0, y ≤
1
x
}.
7. Пусть A ⊂ Y ⊂ X. Докажите, что ClY (A) = ClX(A) ∩ Y . Верна ли аналогичная формула
для внутренностей множества A в X и Y ?
8. Найдите замыкание множества {
1
n
: n ∈ N} на прямой в топологии Зариского.
9. Докажите, что следующие условия на отображение f : X → Y эквивалентны:
(a) отображение f — непрерывно;
(d) для любого подмножества B ⊂ Y выполнено Cl(f
−1B) ⊂ f
−1
(ClB);
(e) для любого подмножества B ⊂ Y выполнено f
−1
(IntB) ⊂ Int(f
−1B).
10. Докажите, что тождественное отображение id : (X, T1) → (X, T2) непрерывно в том и
только том случае, если T1 ≥ T2 (топология T1 на X не слабее топологии T2).
11. Пусть f : X → Y — непрерывное отображение, M ⊂ X. Будет ли образ предельной точки
множества M предельной точкой множества f(M)?
12. Пусть Y — линейно упорядоченное пространство с топологией линейного порядка, f, g :
X → Y — непрерывные отображения.
a) Докажите, что множество {x ∈ X : f(x) ≤ g(x)} замкнуто в X.
b) Докажите, что отображение h(x) = min{f(x), g(x)} непрерывно.
13. Пусть X является счетным объединением замкнутых множеств {Ai
: i ∈ N}, ограничения
f|Ai
отображения f : X → Y на подмножества Ai непрерывны, i ∈ N. Будет ли отображение f
непрерывно?
14. Отображение метрических пространств f : X → Y называется изометрическим вложением, если для любых точек x, y ∈ X выполнено ρ(x, y) = ρ(f(x), f(y)). Докажите, что любое
изометрическое вложение непрерывно.
15. Отображение f метрического пространств X в себя называется сжимающим (липшицевым), если существует 0 < α < 1 (соответственно α > 0) такое, что для любых точек x, y ∈ X
выполнено ρ(f(x), f(y)) ≤ αρ(x, y). Докажите, что любое сжимающее (любое липшицево) отображение метрического пространства X непрерывно.
16. Докажите, что любое непрерывное отображение отрезка [0, 1] в себя имеет неподвижную
точку.
Дополнительные задачи Задания N 3
17. Задайте условия на оператор I : 2X → 2
X такие, чтобы на X существовала топология, для
которой Int(M) = I(M) для всех M ∈ 2
X.
18. Подмножество пространства `
2
, состоящее из всех точек (x1, ..., xk, ...), для которых 0 ≤
xk ≤ 1/2
k
, k ∈ N, называется гильбертовым кубом. Докажите, что гильбертов куб — замкнутое
подмножество `
2
; внутренность гильбертова куба в `
2 — пустое множество.
19. Перечислите все различные множества, которые можно получить из одного множества,
применяя к нему последовательно операции Cl и Int.
20. Для каких n ∈ N на прямой можно построить n попарно дизъюнктных открытых множеств, имеющих одну и ту же границу?
21. Докажите, что на пространстве T (счетных трансфинитов T(ω1) и первого несчетного
трансфинита ω1 Пример 7.1 Лекции 1) с топологией линейного порядка Cl(T(ω1)) = T, и не
существует последовательности точек T(ω1), сходящейся к ω1.
Комментарии
Оставить комментарий
Общая топология
Термины: Общая топология