Задачи упаковки кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое задачи упаковки, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое задачи упаковки , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математические методы исследования операций .Теория игр и расписаний..

задачи упаковки — это класс задач оптимизации в математике, в которых пытаются упаковать объекты в контейнеры. Цель упаковки — либо упаковать отдельный контейнер как можно плотнее, либо упаковать все объекты, использовав как можно меньше контейнеров. Многие из таких задач могут относиться к упаковке предметов в реальной жизни, вопросам складирования и транспортировки. Каждая задача упаковки имеет двойственную задачу о покрытии , в которой спрашивается, как много требуется некоторых предметов, чтобы полностью покрыть все области контейнера, при этом предметы могут накладываться.

В задаче упаковки задано:

• «контейнеры» (обычно одна двумерная или трехмерная выпуклая область или бесконечная область)
• множество «объектов», некоторые из которых или все должны быть упакованы в один или несколько контейнеров. Множество может содержать различные объекты с заданными размерами, или один объект фиксированных размеров, который может быть использован несколько раз.

Обычно в упаковке объекты не должны пересекаться и объекты не должны пересекать стены контейнера. В некоторых вариантах цель заключается в нахождении конфигурации, которая упаковывает один контейнер с максимальной плотностью. В более общем виде целью является упаковка всех объектов в как можно меньше контейнеров . В некоторых вариантах наложение (объектов друг на друга и/или на границы контейнера) разрешается, но это наложение должно быть минимизировано.

Упаковка бесконечного пространства

Многие из этих задач, если размер контейнера увеличивается во всех направлениях, становятся эквивалентны задачам упаковки объектов как можно плотнее в бесконечном евклидовом пространстве. Эта задача относится к некоторому числу научных дисциплин и получает существенное внимание. Гипотеза Кеплера постулировала оптимальное решение упаковки шаров за сотни лет до того, когда была доказана Томасом Хейлзом . Получили внимание другие формы, включая эллипсоиды , платоновы и архимедовы тела , в том числе тетраэдры и димеры различных сфер .

Шестиугольная упаковка кругов

Шестиугольная упаковка кругов на 2-мерной евклидовой плоскости.

Эти задачи математически отличаются от идей в теореме об упаковке кругов. Связанная задача упаковки кругов имеет дело с упаковкой кругов, возможно различных размеров, на поверхности, например, на плоскости или сфере.

Аналоги круга в других размерностях не могут быть упакованы с абсолютной эффективностью в размерностях, больших единицы (в одномерном пространстве аналог окружности — просто две точки). Таким образом, всегда останется незанятое пространство при упаковке исключительно кругами. Наиболее эффективный путь упаковки кругов, шестиугольная упаковка, дает примерно 91 % эффективности .

Упаковка сфер в высших размерностях

В трехмерном пространстве гранецентрированная решетка дает оптимальную упаковку сфер. Доказано, что 8-мерная решетка E8 и 24-мерная решетка Лича оптимальны в соответствующих пространствах.

Упаковка платоновых тел в трехмерных пространствах

Кубы легко могут быть расположены в трехмерном пространстве так, что они полностью заполнят пространство. Наиболее естественная упаковка — кубические соты . Никакой другой правильный многогранник не может заполнить полностью пространство, но некоторые результаты известны. Тетраэдр может дать упаковку по меньшей мере 85 %. Одна из лучших упаковок правильными додекаэдрами основывается на вышеупомянутой гранецентрированной кубической решетке.

Тетраэдры и октаэдры вместе могут заполнить все пространство в конфигурации, известной как тетраэдрально-октаэдральная мозаика .

Тело	Оптимальная плотность решетчатой упаковки
икосаэдры	0.836357…
додекаэдры	(5+5)/8=0.904508...
октаэдры	18/19 = 0.947368…

Моделирование, совмещающее методы локального улучшения со случайно сгенерированными упаковками, наводит на мысль, что решетчатые упаковки для икосаэдра, додекаэдра и октаэдра являются оптимальными и в более широком классе всех упаковок

Упаковка в 3-мерные контейнеры

Сферы в евклидов шар

Задача нахождения наименьшего шара, в который можно упаковать без перекрытия открытых единичных шаров, имеет простой и полный ответ в -мерном евклидовом пространстве, если , а в бесконечномерном гильбертовом пространстве — без ограничений. Имеет смысл описать его здесь с целью показать общую проблему. В этом случае возможна конфигурация попарно касающихся единичных шаров. Разместим центры в вершинах правильного мерного симплекса с ребром 2. Это легко сделать, начав с ортонормированного базиса. Легкие вычисления показывают, что расстояние от любой вершины до центра тяжести равно . Кроме того, любая другая точка пространства имеет большее расстояние по меньшей мере до одной из вершин. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В терминах включения шаров, открытых единичных шаров, имеющих центры в точках , попадают в шар радиуса , который минимален для такой конфигурации.

Чтобы показать, что такая конфигурация оптимальна, допустим, что — центры непересекающихся открытых единичных шаров, находящихся в шаре с радиусом и центром в точке 0. Рассмотрим отображение из конечного множества в , сопоставляющее в для всех . Поскольку для всех , , это отображение 1-липшицево и по теореме Киршбрауна оно распространяется до глобально определенного 1-липшицева отображения. В частности, существует точка 0, такая что для всех имеем , а следовательно, . Это показывает, что существуют непересекающихся единичных открытых шаров в шаре радиусом тогда и только тогда, когда . Заметим, что в случае бесконечномерного гильбертова пространства отсюда следует существование бесконечного числа непересекающихся единичных открытых шаров внутри шара радиуса тогда и только тогда, когда . Например, единичные шары с центрами в , где — ортонормальный базис, не пересекаются и содержатся в шаре радиуса 1+2 с центром в начале координат. Более того, для максимальное число непересекающихся открытых единичных шаров внутри шара радиуса r равно .

Сферы в параллелепипед

Задача определяет число сферических объектов заданного диаметра d, которые могут быть упакованы в прямоугольный параллелепипед размера a × b × c.

Одинаковые сферы в цилиндр

Задача определяет минимальную высоту h цилиндра с заданным радиусом R, в который упаковано n одинаковых шаров радиуса r (< R) ^[10].

Упаковка в 2-мерные контейнеры

Упаковка кругов

Круги в круге

Оптимальная упаковка 10 кругов в круге

Упаковка n единичных кругов в как можно меньшую окружность. Задача тесно связана с распределением точек в единичной окружности с целью достичь наибольшего минимального расстояния d_n между точками.

Оптимальные решения были доказаны для n≤13 и для n=19.

Круги в квадрате

Оптимальная упаковка 15 кругов в квадрате

Упаковка n единичных кругов в как можно меньший квадрат. Задача тесно связана с распределением точек в единичном квадрате с целью достичь наибольшего минимального расстояния d_n между точками . Для преобразования двух этих формулировок задачи размер квадрата единичных кругов будет L=2+2/d_n.

Оптимальные решения были доказаны для n≤30 .

Круги в равнобедренном прямоугольном треугольнике

Оптимальная упаковка 6 кругов в равнобедренном прямоугольном треугольнике

Упаковка n единичных кругов в как можно меньший равнобедренный прямоугольный треугольник. Хорошие приближения известны для n<300 .

Круги в правильном треугольнике

Оптимальная упаковка 5 кругов в правильном треугольнике

Упаковка n единичных кругов в как можно меньший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n<13, а для n<28 высказаны гипотезы .

Упаковка квадратов ]

Квадраты в квадрате

Оптимальная упаковка 10 квадратов в квадрате

Упаковка n единичных квадратов в как можно меньший квадрат.

Оптимальные решения доказаны для n=1-10, 14-16, 23-25, 34-36, 62-64, 79-81, 98-100 и любого полного квадрата .

Незаполненное пространство асимптотически равно O(a^7/11)

Квадраты в круге

Упаковка n квадратов в как можно меньший круг.

Минимальные решения:

Упаковка прямоугольников

Одинаковые прямоугольники в прямоугольнике

Задача упаковки множественных копий одного прямоугольника размера (l,w) с разрешением поворота на 90° в больший прямоугольник размера (L,W) имеет несколько приложений, таких как загрузка коробок на поддоны и укладка древесно-стружечных плит.

Например, можно упаковать 147 прямоугольников размера 137x95 в прямоугольник размера 1600x1230

Различные прямоугольники в прямоугольнике

Задача упаковки прямоугольников с различной шириной и высотой в прямоугольник минимальной площади (но без ограничения на ширину и высоту такого прямоугольника) имеет важное приложение для сборки изображений в одно большое изображение. WEB-страница, загружающая одно большое изображение, часто обрабатывается быстрее в браузерах, чем при загрузке множества мелких изображений, поскольку требуется запрос каждого изображения с сервера.

Пример быстрого алгоритма, упаковывающего прямоугольники различной высоты и ширины в прямоугольник минимальной площади, — здесь.

Связанные задачи

В задачах замощения не должно быть ни промежутков, ни наложений. Много головоломок такого типа используют упаковку прямоугольников или полимино в прямоугольник большего размера или другую фигуру, близкую к квадрату.

Существует важная теорема о замощении прямоугольников (и прямоугольных параллелепипедов) в прямоугольники (прямоугольные параллелепипеды) без промежутков и наложений:

Прямоугольник a × b может быть упакован в ленту 1 × n тогда и только тогда, когда n делится на a или n делится на b

Теорема де Брейна: прямоугольный параллелепипед может быть упакован гармоническим кирпичом a × a b × a b c, если параллелепипед имеет размеры a p × a b q × a b c r для некоторых натуральных чисел p, q, r (то есть параллелепипед кратен кирпичу.)

Изучение замощений плитками полимино в значительной степени касается двух классов задач — замощение прямоугольника конгруэнтными плитками и замощение набором плиток n-полимино прямоугольника.

Классическая головоломка второго вида — расположить все двенадцать плиток пентамино в прямоугольниках размером 3×20, 4×15, 5×12 или 6×10.

Упаковка неправильных объектов

Упаковка неправильных объектов является задачей, решение которой вряд ли возможно в замкнутой (аналитической) форме. Однако в науке об окружающем мире задача весьма важна. Например, неправильные частички почвы упаковываются различным образом при изменении размеров и формы частичек, что ведет к существенным последствиям для растений по формированию корней и возможности перемещения воды в почве.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Исследование, описанное в статье про задачи упаковки, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое задачи упаковки и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математические методы исследования операций .Теория игр и расписаний.