Теоремы комплексного анализа

Привет, сегодня поговорим про теоремы комплексного анализа, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое теоремы комплексного анализа , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного).

Теорема Адамара о лакунах

утверждение о невозможности аналитического продолжения степенного ряда, у которого почти все коэффициенты равны нулю, за пределы круга сходимости, даже на точки границы круга.

Теорема Адама́ра о лаку́нах (также теорема Остро́вского — Адама́ра) — утверждение о невозможности аналитического продолжения степенного ряда, у которого почти все коэффициенты равны нулю, за пределы круга сходимости, даже на точки границы круга. Названа в честь математиков Александра Островского и Жака Адамара.

Рассмотрим функцию, определяемую степенным рядом вида , где — некоторая возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда, если существует некоторая положительная постоянная , такая что для всех , то функция будет лакунарной.

Теорема Адамара о трех кругах

В комплексном анализе теорема Адамара о трех кругах описывает поведение голоморфной функции.

Пусть аналитична в кольце . Тогда, если определить вспомогательную функцию , то при будем иметь выполнение неравенства

АТС-теорема

АТС теорема — теорема об аппроксимации тригонометрической суммы более короткой.

В некоторых областях математики и математической физики исследуются суммы вида

Здесь и — вещественные функции вещественного аргумента,

Такие суммы появляются, например, в теории чисел при анализе дзета-функции Римана, при решении задач, связанных с распределением целых точек в различных областях на плоскости и в пространстве, при изучении рядов Фурье, при решении таких дифференциальных уравнений как волновое уравнение, уравнение теплопроводности и т. д.

Теорема Блоха (комплексный анализ)

Теорема Блоха (комплексный анализ) — теорема о свойствах голоморфных функций. Теорема Блоха используется при доказательстве теоремы Ландау.

Какова бы ни была функция семейства , голоморфная при , существует круг плоскости с центром в некоторой точке, который взаимно однозначно отображается на некоторую область, лежащую внутри . Радиус этого круга не зависит от функции, то есть является зависящим только от .

Теорема Боголюбова «об острие клина»

Теорема Боголюбова «об острие клина» утверждает, что функция нескольких комплексных переменных, голоморфная в двух клиновидных областях с общим острием, на котором она непрерывна, является голоморфной и на острие. Данная теорема используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана. Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США (сентябрь 1956 года) и также опубликованы в монографии (дополнение А, теорема 1). Впоследствии другие доказательства и обобщения теоремы были приведены Йостом и Леманом (1957), Дайсоном (1958), Эпштейном (1960) и другими математиками . Важными применениями теоремы об «острие клина» являются: доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля, аксиоматическая квантовая теория поля, теория обобщенных функций, обобщение теоремы Лиувилля .

Одномерный случай Теорема Боголюбова

Для функций одной комплексной переменной теорема «об острие клина» может быть сформулирована следующим образом.

• Теорема: Пусть f есть непрерывная комплекснозначная функция на комплексной плоскости, голоморфная в верхней и нижней полуплоскостях. Тогда она голоморфна на всей комплексной плоскости.

В этом примере клиньями являются верхняя и нижняя полуплоскости, а их общим острием — вещественная ось. Данная теорема может быть доказана с использованием теоремы Мореры.

Общий случай Теорема Боголюбова

В общем случае клином называется произведение конуса и открытого множества.

Пусть C — открытый конус с вершиной в нуле в вещественном пространстве Rⁿ. Пусть E — открытое множество в Rⁿ (острие). Определим клинья и в комплексном пространстве Cⁿ. Клинья и W' имеют общее острие E, где мы отождествляем E с произведением E и вершины конуса.

• Теорема Боголюбова «об острие клина»: Пусть f — непрерывная функция на объединении , голоморфная на обоих клиньях и W' . Тогда f также голоморфна на E (более точно, может быть аналитически продолжена на некоторую окрестность E).

Условия теоремы могут быть ослаблены. Во-первых, не обязательно задавать f целиком на клиньях, достаточно определить f в некоторой окрестности острия. Во-вторых, не обязательно предполагать, что f определена или непрерывна на острие, достаточно предположить, что равны обобщенные функции, заданные пределами f из двух клиньев на острие.

Применение в квантовой теории поля Теорема Боголюбова

В квантовой теории поля распределения Вайтмана есть граничные значения функций Вайтмана , зависящих от переменных комплексификации пространства Минковского. Они определены и голоморфны на клине, в котором мнимая часть каждого лежит в открытом положительном времениподобном конусе. Перестановки переменных дают различных функций Вайтмана, определенных на различных клиньев. Острием является множество пространственно-подобных точек. Из теоремы Боголюбова «об острие клина» следует, что все они являются аналитическими продолжениями одной голоморфной функции, заданной на связной области, содержащей все клиньев. При этом равенство граничных значений на острие следует из аксиомы локальности в квантовой теории поля.

Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Любая целая функция , имеющая не более чем счетное количество нулей , где точка 0 — нуль порядка , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

,

где — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа подобраны таким образом, чтобы ряд

сходился при всех . При соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной ).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции , которая в заданных точках точках () имеет нули кратности , является произведение

,

где — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа подобраны таким образом, чтобы ряд

сходился при всех .

Примеры Теорема Вейерштрасса

Разложение синуса и косинуса в бесконечное произведение.

Замечание Теорема Вейерштрасса

Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

Теорема Виртингера

Теорема Виртингера — теорема о геометрических свойствах многомерного комплексного пространства. Устанавливает вид дифференциальной формы, измеряющей объемы комплексных многообразий. Была доказана Вильгельмом Виртингером в 1936 году.

Пусть — многообразие класса четной вещественной размерности . Объем этого многообразия:

,

причем равенство здесь достигается в том и только том случае, когда — комплексное -мерное многообразие.

Здесь дифференциальная форма , где — евклидов квадрат модуля.

Теорема Гаусса — Люка

Для произвольного не равного тождественно постоянной многочлена с комплексными коэффициентами множество нулей его производной принадлежит выпуклой оболочке нулей многочлена .

Доказательство теоремы опирается на следующее легко проверяемое утверждение: Если все корни многочлена находятся в полуплоскости , тогда в области справедливо неравенство: ,

из которого следует, что все корни производной также должны быть в полуплоскости .

Теорема о гомотопической инвариантности аналитического продолжения

Теорема о гомотопической инвариантности аналитического продолжения — утверждение комплексного анализа о совпадении результатов аналитического продолжения канонического элемента вдоль гомотопных путей.

Формально, если и — жордановы кривые с общими концами, — их гомотопия, и канонический элемент аналитически продолжается вдоль любой кривой из , то результат аналитического продолжения элемента вдоль каждой из кривой совпадает.

Теорема единственности аналитической функции

Пусть — сходящаяся последовательность различных точек области . Если две аналитические функции совпадают во всех точках этой последовательности, то они тождественно равны в .

В частности, если две аналитические функции совпадают на некоторой кусочно-гладкой кривой в , то они совпадают всюду в . Это значит, что значения аналитической функции даже на небольшом участке области полностью определяют поведение функции во всей области ее определения. Задав аналитическую функцию на кривой (например, на вещественной оси), мы однозначно определяем ее расширение (если оно возможно) на более широкую область, которое называется аналитическим продолжением исходной функции.

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость. При этом для их аналитических продолжений будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:

Теорема о нулях аналитической функции.

Нулем функции называется точка , в которой функция обращается в ноль: .

Если нули функции , аналитической в области , имеют предельную точку внутри , то функция всюду в равна нулю.

Следствие: если функция аналитическая в области и не равна тождественно нулю, то в любой ограниченной замкнутой подобласти у нее может быть лишь конечное число нулей.

Теорема Каратеодори — Теплица

Теорема Каратеодори — Теплица — теорема математического анализа, названная в честь математиков Константина Каратеодори и Отто Теплица:

Пусть — единичный круг в комплексной плоскости

Множество всех функций с положительной в вещественной частью и нормировкой отображающих круг в правую полуплоскость называется классом Каратеодори и обозначается через

Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов где на классе

Множество значений системы коэффициентов на классе есть замкнутое выпуклое ограниченное множество точек -мерного комплексного евклидова пространства для которых определители

где

либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки границе тела коэффициентов Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса имеющая вид выпуклой линейной комбинации

с коэффициентами причем и при

Теорема Каратеодори — Фейера

Теорема Каратеодори — Фейера:

Пусть

многочлен, . Существует единственная рациональная функция

вида

регулярная в и имеющая в своем разложении в ряд Маклорена первых коэффициентов, равных соответственно . Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

в классе всех регулярных в круге функций вида

и указанное наименьшее значение равно

Число равно наибольшему положительному корню уравнения -й степени

Если — действительные числа, то являются наибольшим из абсолютных значений корней уравнения -й степени

Интегральная теорема Коши

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексного переменного.

Для любой функции , аналитической в некоторой односвязной области и для любой замкнутой кривой справедливо соотношение

Доказательство

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана) следует, что дифференциальная форма замкнута. Пусть теперь — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции , ограничивающий область . Тогда по теореме Стокса имеем:

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с ее значениями на контуре, окружающем точку.

Эта формула выражает одну из важнейших особенностей комплексного анализа: значение в любой точке внутри области можно определить, зная значения на ее границе.

Пусть — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция голоморфна в , и — точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:

Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Следствия Интегральной формулы Коши

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из ее следствий:

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки из области, где функция голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

,

причем его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке , в котором функция голоморфна, а коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:

.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов функций, голоморфных в круге :

,

где — максимум модуля функции на окружности , а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

получается интегральное представление производных функции :

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области , если это семейство равномерно ограничено в . В сочетании с теоремой Арцела — Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области , можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция голоморфна в области вида , то в ней она представима суммой ряда Лорана:

причем коэффициенты могут быть вычислены по интегральным формулам:

а сам ряд Лорана сходится в к функции равномерно на каждом компакте из .

Формула для коэффициента часто применяется для вычисления интегралов от функции по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция голоморфна в круге , тогда для каждого

а также если — круг радиуса с центром в , тогда

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция голоморфна в области и внутри ее модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция голоморфна в области и внутри ее вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют еще 3 важных результата:

• лемма Шварца: если функция голоморфна в круге , и для всех точек из этого круга , тогда всюду в этом круге ;
• теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке , совпадают в некоторой окрестности этой точки;
• теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции , голоморфной в области имеют предельную точку внутри , тогда функция равна нулю всюду в .

Теорема Коши — Пуанкаре

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

Пусть — комплексное многообразие (комплексной) размерности и — голоморфная форма степени на этом многообразии. Тогда интеграл от по границе любой — мерной цепи равен нулю:

Теорема Лагерра

Теорема Лагерра - теорема о свойствах производной целой функции.

Пусть - целая функция порядка, меньшего чем 2, вещественная при вещественных значениях и с вещественными нулями. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Тогда нули производной также все вещественны и отделены друг от друга нулями функции .

Целая функция есть аналитическая функция, не имеющая особенностей в конечной части плоскости. Целая функция называется функцией конечного порядка, если существует такое положительное число , что при выполняется равенство . Нижняя грань чисел в этом равенстве называется порядком функции.

Теорема Лагранжа об обращении рядов

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Пусть функция аналитична в точке и . Тогда в некоторой окрестности точки обратная к ней функция представима рядом вида

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции по степеням другой голоморфной функции и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть и голоморфны в окрестности некоторой точки , притом и — простой нуль функции . Теперь выберем некую область , в которой и голоморфны, а однолистна в . Тогда имеет место разложение вида:

где коэффициенты вычисляются по следующему выражению:

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида . Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда :

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида справедливо представление в виде ряда

Теорема Ландау

Теорема Ландау - теорема о свойствах голоморфной функции. При доказательстве теоремы Ландау используется теорема Блоха.

Если , где , есть голоморфная функция внутри круга , не принимающая значений и , то имеет место неравенство , где зависит только от и .

Лемма Жордана

Лемма Жордана была предложена Жорданом в 1894 году^[ . Применяется в комплексном анализе совместно с основной теоремой о вычетах при вычислении некоторых интегралов, например, контурных. Имеет три формы

Пусть непрерывна в замкнутой области . Обозначим через полуокружность . Пусть также
Тогда при имеем

Лемма Зальцмана

Лемма Зальцмана — утверждение в теории нормальных семейств мероморфных функций, сформулированное и доказанное американским математиком Лоуренсом Зальцманом (нем. Lawrence Zalcman) в 1975 году. Часто используется как демонстрация принципа Блоха (англ. Bloch’s principle), согласно которому любое утверждение комплексного анализа, содержащее актуальную бесконечность, может быть сформулировано финитными средствами.

Пусть — семейство мероморфных в единичном круге функций, не являющееся нормальным^[en] в нуле. Тогда существует последовательность функций , бесконечно малые числовые последовательности и функция , мероморфная в , такие, что имеет место сходимость равномерно в .

Лемма Шварца

Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя.

Названа в честь Карлa Шварцa.

Пусть — единичный круг на комплексной плоскости . Далее, пусть функция аналитична в и удовлетворяет двум условиям:

1. ;
2. , или, что равносильно, .

Тогда:

1. в ;
2. .

Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид , то есть она сводится к повороту.

Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведет к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.

Теорема Линделефа (комплексный анализ)

Если и — области, ограниченные гладкими жордановыми кривыми, а функция аналитична в и осуществляет конформное отображение , то непрерывно продолжается в и удовлетворяет в каждой точке соотношению , где и — углы наклона касательных к кривым и соответственно в точках и .

Теорема Лиувилля о конформных отображениях

Теорема Лиувилля о конформных отображениях утверждает, что всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде конечного числа суперпозиций изометрий и инверсий.

Теорема была доказана Лиувиллем в 1850 году. В 1967 году Решетняк обобщил теорему на случай, когда отображение предполагается имеющим лишь обобщенные производные (лежащее в соболевском пространстве ). Эта теорема выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитических функций многих комплексных переменных и в теории квазиконформных отображений. Для сравнения, любые две связные односвязные области в с более чем одной точкой границы конформно эквивалентны (это теорема Римана об отображении).

Было бы ошибкой заключать по контрасту между теоремой Лиувилля для и теоремой Римана для , будто конформные отображения пространств высшей размерности не имеют отношения к комплексному анализу и геометрии. Ровно наоборот, богатство структур многомерной комплексной геометрии препятствует существованию конформных преобразований евклидовых областей, отличных от мебиусовых. Так, для трехмерных многообразий их конформное отображение индуцирует КР-голоморфное отображение их твисторов Лебрюна; в случае евклидова пространства подъемы круглых сфер в твисторы Лебрюна задают на них сетку голоморфных кривых, которые должны переводиться друг в друга под этими отображениями, что и определяет на них жесткие условия, сводящиеся в конечном счете к мебиусовости.

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция комплексных переменных ограничена, то есть

то есть константа.

Обобщения

• Если ― целая функция в и для некоторого ,

то есть многочлен по переменным степени не выше .

• Если ― вещественная гармоническая функция во всем числовом пространстве ,

то есть гармонический многочлен по переменным.

Теорема Мергеляна

Теорема Мергеляна — утверждение о возможности равномерного приближения многочленами функций комплексной переменной; установлено доказано советским математиком Сергеем Мергеляном в 1951 году.

Согласно теореме, всякую непрерывную функцию на компакте со связным дополнением до комплексной плоскости (то есть — связно), голоморфную на внутренних точках , возможно равномерно аппроксимировать многочленами.

Теорема является развитием и обобщением теорем Вейерштрасса и Рунге, и широко применяется в различных направлениях комплексного анализа; этот результат увенчал большой цикл работ по теории приближения в комплексном случае. В частности, Лаврентьев в 1936 году доказал утверждение для случая, когда не имеет внутренних точек, а в 1945 году Келдыш установил результат для случая, когда является замкнутой областью со связным дополнением.

Метод доказательства, примененный Мергеляном, конструктивен, и остается единственным известным конструктивным доказательством результата.

Теорема Миттаг-Леффлера

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби.

Пусть мероморфная функция имеет в точках полюсы с главными частями и пусть будут отрезки тейлоровских разложений по степеням . Тогда существует такая последовательность целых чисел и такая целая функция , что для всех имеет место разложение , абсолютно и равномерно сходящееся в любом конечном круге .

Следствие

Любая мероморфная функция представима в виде суммы ряда , где — целая функция, — главные части лорановских разложений в полюсах , занумерованных по возрастанию их модулей, и — некоторые многочлены.

Теорема Миттаг-Леффлера о звезде

Предположим, что — аналитическая функция и — ее звезда Миттаг-Леффлера. Тогда внутри этой звезды функция может быть представлена в виде сходящегося ряда многочленов вида

,

называемого разложением Миттаг-Леффлера, где коэффициенты и степени многочленов определяются однозначно.

Звездой Миттаг-Леффлера для аналитической функции в точке (подразумевается, что аналитична в ), называется множество таких точек , что функция может быть продолжена аналитически вдоль отрезка .

Основным свойством звезды является возможность разложения функции в функциональный ряд специального вида, сходящийся внутри этой области.

Изображение звезды Миттаг-Леффлера (область, ограниченная синим контуром). Изначальный диск имеет центр в точке .

Теорема о монодромии

Теорема о монодромии дает достаточное условие существования прямого аналитического продолжения аналитической функции, то есть существования иной аналитической на большем множестве функции, совпадающей с изначальной на первоначальной области определения.

Пусть — открытое множество и аналитична на . Далее, если большее множество — односвязная область, обладающая таким свойством, что аналитически продолжается вдоль любого пути в , начинающегося с какой-либо точки , то допускает аналитическое продолжение в .

Теорема Монтеля о компактном семействе функций

Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:

Пусть ― бесконечное семейство голоморфных функций в области комплексной плоскости ; тогда для того чтобы это семейство было предкомпактным, то есть чтобы из любой последовательности можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся локально внутри , необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено локально внутри .

Теорема Монтеля есть следствие теоремы Арцела-Асколи, оценок на производные аналитической функции (неравенства Коши) и сепарабельности всякой области в .Теорема Монтеля обобщается на области в пространстве , .

Следствия

• Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область компактно лежит в области , тогда оператор ограничения на область D функций, голоморфных в G, компактен (в топологии локально-равномерной сходимости функций).
• Теорема Монтеля используется при доказательстве теоремы Римана о конформном отображении (нужное конформное отображение ищется как то, которое максимизирует модуль производной в некоторой точке, а существование такого отображения следует из непрерывности этого функционала и компактности семейства функций со значениями в единичном круге).

Теорема Монтеля о приближении многочленами

Теорема Монтеля о приближении аналитических функций многочленами является одной из основных в теории приближения функций комплексного переменного:

Если ― открытое множество точек комплексной плоскости , являющееся односвязным и не содержащее точку , a ― однозначная функция, аналитическая в , тогда существует последовательность многочленов , сходящаяся к в каждой точке .

Получена Монтелем в 1910.

Теорема Мореры

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Если функция комплексного переменного в области непрерывна, и интеграл от нее по любому замкнутому спрямляемому контуру равен нулю, то есть то — аналитическая функция в .

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области .Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой (итал.) в 1886 году.

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в , т. е. существует такая функция , что

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому ее производная также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определенной функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность аналитичных функций равномерно сходится к функции , то

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определенных рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

и гамма-функции Эйлера

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

Неравенство Шоттки

Неравенство Шоттки (теорема Шоттки) — утверждение о свойствах голоморфной функции. Используется при доказательстве теоремы Пикара.

Пусть функция является голоморфной внутри круга и выпускает значения и . Тогда справедливо неравенство , где зависит только от и .

Теорема Ока об аппроксимации

Теорема Ока об аппроксимации — теорема о необходимых и достаточных условиях аппроксимации голоморфной функции нескольких комплексных переменных. Сформулирована и доказана К. Ока^[en] в 1939 году .

Пусть — область пространства , — некоторое семейство функций, голоморфных в этой области. Любая функция , голоморфная в области , в том и только в том случае может быть представлена как сумма ряда, равномерно сходящегося в этой области и состоящего из функций, принадлежащих к семейству , если оболочка голоморфности этой области выпукла относительно семейства .

Пояснения

Пространство — пространство комплексных переменных. Оболочкой голоморфности области называется область, являющаяся пересечением областей голоморфности всех функций, голоморфных в области .

Теорема Пенлеве

Теорема Пенлеве — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной области. Доказана французским математиком Полем Пенлеве в 1887 г.

Уравнения первого порядка , алгебраические относительно неизвестной функции и ее производной (то есть — многочлен относительно и и аналитическая функция от ), не могут иметь в интегралах подвижных трансцендентных и существенно особых точек.

Пояснения

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменного . Существенно особой точкой называется особая точка, если есть пути, ведущие к ней, вдоль которых функция не стремится к определенному пределу . Особая точка называется трансцендентной, если область неопределенности состоит из одной точки и существенно особой, если область неопределенности состоит не из одной точки . Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой .

Теорема Пика (комплексный анализ)

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.

Пусть — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

Тогда для любых точек и круга расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:

.

Более того, равенство достигается только в том случае, когда есть дробно-линейная функция, отображающая круг на себя.

Замечания

Поскольку

условие

эквивалентно следующему неравенству:

Если и бесконечно близки, оно превращается в

Теорема Пикара (комплексный анализ)

В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Малая теорема Пикара

Областью значений целой функции, отличной от константы, является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

Большая теорема Пикара

Пусть функция голоморфна в проколотой окрестности точки и имеет в точке существенную особенность. Тогда принимает в все значения, кроме, быть может, одного.

Она является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого. При доказательстве используется неравенство Шоттки.

Примечания

• Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.
• Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций. Пусть — риманова поверхность, — сфера Римана, — голоморфная функция, имеющая в точке существенную особенность. Тогда в любой окрестности точки функция принимает почти все значения на , за исключением не более чем двух.

Например, мероморфная функция

имеет существенную особенность в точке и достигает в любой окрестности , но нигде не равна 0 или 1.

Теорема Пуанкаре о скорости роста целой функции

Важность такой характеристики, как род целой функции , состоит в том, что с ее помощью можно оценить скорость роста целой функции. А именно, рассмотрим величину . Утверждение теоремы Пуанкаре состоит в том, что скорость роста этой функции связана с ее родом. А именно, для целой функции рода и произвольного существует такое , что при выполняется неравенство .

Теорема Пуанкаре — Вольтерры

Теорема, доказанная Пуанкаре и Вольтеррой, утверждает следующее:

Множество элементов вида полной аналитической функции с центром в определенной точке не более чем счетно.

Вследствие этого многозначная функция может иметь не более чем счетное множество значений в одной точке. Пример функции, обладающей счетным всюду плотным множеством значений в любой точке, доставляет гиперэллиптический интеграл 1-го рода.

Теорема Пэли — Винера

Теорема Пэли-Винера — совокупность всех целых функций экспоненциального типа , для которых совпадает с множеством функций , допускающих представление , где .

Целой функцией экспоненциального типа называется целая функция , которая при любом удовлетворяет неравенству вида , где числа A, B от z не зависят. Экспоненциальным типом функции называется точная нижняя грань значений константы B, при котором имеет место это неравенство. Экспоненциальный тип находится по формуле . Под понимают совокупность всех измеримых в интервале функций, квадрат модуля которых интегрируем в смысле Лебега.

Теорема Пэли — Винера — Шварца для обобщенных функций

Если обобщенная функция сосредоточена в области , то ее преобразованием Фурье является целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа . Наоборот, пусть — целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа , которая возрастает при не быстрее некоторой степени , и — соответствующий этой функции функционал в пространстве . Тогда преобразование Фурье функционала сосредоточено в области .

Теорема Рауса — Гурвица

Теорема Рауса — Гурвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица .

Условные обозначения

Пусть — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени . При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии где — мнимая единица и — вещественное число). Давайте обозначим (многочлен степени ) и (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем ) через , относительно вещественной и мнимой части мнимой линии.

Введем следующие обозначения:

• — число корней в левой полуплоскости (взятых с учетом кратностей);
• — число корней в правой полуплоскости (взятых с учетом кратностей);
• — изменение аргумента , когда пробегает от до ;
• — число изменений обобщенной цепочки Штурма, полученной из и с помощью алгоритма Евклида;

• — индекс Коши рациональной функции на вещественной прямой.

Пусть — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим в сумму:

.

Обозначим коэффициенты как , а — как . Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена является .

Формулировка

В обозначениях, введенных выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента положительно, тогда имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть , а из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае относится к обобщенной цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечетные и четные коэффициенты:

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут четные или нечетные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами и , определяет последовательность ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если — многочлен Гурвица, и наоборот.

• Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
• Обратите также внимание, что в записи число — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство

Применив метод Гаусса к матрице , мы получим диагональную матрицу . Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу , мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты соответствуют коэффициентам , мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда . Таким образом получаем условия на коэффициенты , накладывая дополнительные условия и .

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица дает способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица дает больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

Теорема Римана об отображении

Теорема Римана об отображении (в комплексном анализе именуемая просто теоремой Римана) — классический результат 2-мерной конформной геометрии и одномерного комплексного анализа.

Пусть — область на расширенной комплексной плоскости, являющаяся односвязной, причем ее граница содержит более одной точки. Тогда существует голоморфная функция на единичном круге , отображающая его на взаимно однозначно.

Голоморфная функция, являющаяся взаимно-однозначной (то есть обратимой), является конформным отображением, так что теорему можно формулировать в терминах конформной эквивалентности. Также, не имеет значения, утверждать существование функции или обратной, . Можно даже требовать существования отображения из любой односвязной области в любую другую односвязную — утверждение теоремы от этого не станет сильнее.

Данная теорема кажется парадоксальной, так как условия на область являются чисто топологическими и никак не оговаривают геометрию ее границы. В самом деле, сравнительно легко строятся конформные отображения круга не только на многоугольники и прочие фигуры обладающие углами, но и области наподобие круга с одним вырезанным радиусом и т. д. При некоторой сноровке даже строится функция на круге, образ которой имеет границу нигде не гладкую. Впрочем, Риман сумел доказать теорему лишь в предположении кусочной гладкости границы.

Единственность отображения

Поскольку единичный круг легко нетождественно конформно отобразить на себя, то искомое конформное отображение единственным быть не может. Однако легко видеть, что весь произвол в построении отображения и относится на счет автоморфизмов единичного круга, которые образуют вещественную 3-мерную группу Ли.

Вариации и обобщения

• Если вместо области на комплексной плоскости рассматривать область на произвольной римановой поверхности, то мы приходим к теореме об униформизации.

• Попытки обобщить данную теорему на вещественную конформную геометрию в размерностях выше 2, как и на комплексную геометрию в размерностях выше 1, используя понятие голоморфного отображения, к особым успехам не привели. Доказано, что и в том и другом случае для эквивалентности областей уже недостаточно чисто топологических условий. Теорема геометризации может рассматриваться как вариант обобщения теоремы на трехмерный случай.

Теорема Римана об устранимой особой точке

Теорема Римана — утверждение из теории функций комплексной переменной о заполнении устранимого разрыва.

Допустим, что и аналитична в . Следующие пять условий равносильны:

1. аналитически продолжаема в точку ;
2. непрерывно продолжаема в точку ;
3. Существует некоторая окрестность , в которой ограничена;
4. ;
5. Точка — устранимая особенность .

Теорема Рунге

Теорема Рунге (также аппроксимационная теорема Рунге) в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году.

Если — компактное пространство, — множество, содержащее хотя бы по одной точке из каждой ограниченной связной компоненты множества и голоморфная в окрестности , то существует последовательность полиномиальных функций с полюсами во множестве , приближающая функцию равномерно.

Учитывая голоморфную функцию f на синем компакте и точку в каждой из дыр, можно аппроксимировать f так же хорошо, как и нужно, рациональными функциями, имеющими полюсы только в этих трех точках.

Обобщения

Всякая голоморфная в произвольной области функция может быть равномерно приближена последовательностью рациональных функций с полюсами вне , это утверждение также фигурирует как теорема Рунге.

Еще более общий результат — теорема Мергеляна, утверждающая о необходимости и достаточности для равномерного приближения многочленами функции, голоморфной внутри компакта и непрерывной на нем, голоморфного продолжения во все ограниченные связные компоненты множества .

Теорема Руше

По теореме Руше (фр.), если функции и голоморфны в односвязной области , а на контуре выполняется неравенство , то в области функции и имеют одинаковое количество нулей, при условии, что каждый ноль подсчитан с учетом кратности.

Или: и голоморфны в односвязной области , , а — стандартный компакт, лежащий в . Если , то

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперед заданному комплексному числу .

Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации^{[K 1]}; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек) .

Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных»^{[K 2]}. Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций»^{[K 3]} . Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций^{[K 4]} .

Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим ; в литературе на европейских языках теорема известна как «теорема Казорати-Вейерштрасса».

Обобщения

Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.

Теорема Стилтьеса

Теорема Стилтьеса — теорема о свойствах нормальных семейств голоморфных функций одного и многих комплексных переменных. Названа в честь Томаса Стилтьеса.

Пусть — последовательность голоморфных функций; — область нормальности первого (второго) рода семейства, образованного из функций семейства . Тогда, если в области существует точка , в окрестности которой последовательность сходится, то область совпадает с областью равномерной сходимости первого (второго) рода последовательности .

Пояснения

Область над пространством называется областью нормальности первого (второго) рода, если:

1. Существует множество функций , голоморфных в области и составляющих в этой области нормальное семейство первого (второго) рода.
2. Не существует области , обладающей по отношению к множеству свойством, указанным в 1).

Теорема Фату

Предположим, что у нас есть функция , аналитическая в единичном круге . В определенных случаях необходимо установить условия, при которых она может быть аналитически продолжена на единичную окружность .

Для этого применяется следующий метод — изучение поведения функции на окружностях вида . Для этого введем вспомогательную функцию . Видно, что поведение функции на зависит от поведения семейства функций при . Пользуясь терминологией функционального анализа, теперь можно сформулировать саму теорему:

Пусть аналитична в и для нее конечна норма Харди:

Тогда будет иметь место поточечная сходимость почти всюду семейства функций к некоторой функции .

Теоремы Фрагмена — Линделефа о росте регулярных функций

Теоремы Фрагмена — Линделефа о росте регулярных функций — утверждения о том, что функция комплексного переменного , регулярная в некоторой бесконечной области и непрерывная в , а также ограниченная на границе области , или ограничена всюду в или внутри достаточно быстро растет — тем "быстрее", чем меньше область .

Теорема Фрагмена — Линделефа о верхней полуплоскости

Пусть функция регулярна в полуплоскости и непрерывна в полуплоскости , причем , . Тогда или при всех , или функция имеет в полуплоскости порядок , не меньший единицы.

Пояснения

Число называется порядком целой функции , если . Иначе говоря, целая функция имеет порядок , если для любого существует константа и последовательность возрастающих к положительных чисел , такие, что

,

,

,

.

Теорема Харди

Теорема Харди — утверждение комплексного анализа, описывающее поведение голоморфных функций: для функции , голоморфной в круге и не тождественно постоянной, функция:

,

задающая ее средние по концентрическим окружностям, строго возрастает при и логарифмически выпукла.

Установлена Годфри Харди.

Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция бесконечно дифференцируема по (или ) когда (или ) является фиксированным, но даже не является непрерывной в начале координат.

Если комплекснозначная функция определена в открытом множестве -мерного комплексного пространства и аналитическая по каждому переменному , когда другие переменные фиксированы, то функция является аналитической в .

При дополнительном предположении непрерывности, это утверждение иногда называется леммой Осгуда, ее доказал Вильям Осгуд

Теорема Чеботарева об устойчивости функции

Теорема Чеботарева об устойчивости функции — обобщение теоремы Эрмита — Билера на случай целых функций. Названа по имени советского математика Николая Чеботарева.

Целая функция тогда и только тогда сильно устойчива, когда соответствующие функции и составляют вещественную пару и хотя бы в одной точке вещественной оси функция положительна.

Пояснения

Здесь целой функцией считается функция комплексного переменного , разлагающаяся в степенной ряд: , сходящийся при всех значениях . Целая функция является устойчивой, если у нее нет корней с положительной вещественной частью. Функции и определяются следующим образом. Подставив в вместо чисто мнимое число получаем комплексное число . Целые функции и составляют вещественную пару, если для любых вещественных и все корни функции вещественны. Если функции и составляют вещественную пару, то корни этих функций перемежаются. Корни многочленов и с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.

Теорема Эрмита

Теорема Эрмита — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка, в которые не входит независимая переменная.

Пояснения

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменного . Если функция при обходе вокруг особой точки меняет свое значение, то особая точка называется критической точкой . Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой .

Теорема Эрмита — Билера

Теорема Эрмита — Билера — утверждение комплексного анализа, определяющие необходимые и достаточные условия устойчивости многочлена. Является частным случаем теоремы Чеботарева.

Многочлен тогда и только тогда устойчив, когда корни многочленов и перемежаются и хотя бы для одного . Для многочлена с вещественными коэффициентами это неравенство равносильно неравенству .

Пояснения

Здесь многочлен при , числа — произвольные комплексные числа. Многочлен называется устойчивым, если вещественные части всех его корней отрицательны. Функции и определяются следующим образом. Подставив в многочлен вместо чисто мнимое число получаем комплексное число . Корни многочленов и с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• комплексное число
• комплексный анализ
• аналитическая функция
• остаток
• голоморфная функция
• Кватернионний анализ
• Многомерный комплексный анализ
• Моногенная функция ^[ru]

На этом все! Теперь вы знаете все про теоремы комплексного анализа, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое теоремы комплексного анализа и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Комплексный анализ и операционное исчисление (теория функций комплексного переменного)