Линейное уравнение: определение, примеры решений, примеры решений кратко

Лекция

Привет, сегодня поговорим про линейное уравнение , обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое линейное уравнение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

ax + b = 0. - линейное уравнение .

Решение линейного уравнения: x = - b / a

Линейное уравнение: определение, примеры решений, примеры решений

График функциидля рассматриваемого уравнения

3\cdot x+4\cdot y=12

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

5∙8=40

40=40.

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

Линейное уравнение: определение, примеры решений, примеры решений

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятерок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

При a=0, b≠0 линейное уравнение

не имеет решений.

При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

При a=0, b=0 линейное уравнение

имеет бесконечное множество решений.

При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

Линейное уравнение: определение, примеры решений, примеры решений

Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Геометрическая интерпретация

Каждое решение $(x, y)$ линейного уравнения

ax+by+c=0

можно рассматривать как декартовы координаты точки на евклидовой плоскости . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . При такой интерпретации все решения уравнения образуют линию , при условии, что $a$ и $b$ оба не равны нулю. И наоборот, каждая линия является множеством всех решений линейного уравнения.

Термин «линейное уравнение» берет свое начало в этом соответствии между линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение, решения которого образуют линию.

Если $b \neq 0$ , линия является графиком функции x $,$ которая была определена в предыдущем разделе. Если $b = 0$ , линия является вертикальной линией (то есть линией, параллельной оси $y$ ) уравнения $x=-{\frac {c}{a}},$ который не является графиком функции $x$ .

Аналогично, если a ≠ 0 , линия является графиком функции y , а если a = 0 , то имеем горизонтальную линию уравнения $y=-{\frac {c}{b}}.$ Линейное уравнение: определение, примеры решений, примеры решений

Практическое примерение линейных уравнений

Линейные уравнения находят широкое применение в самых разных областях науки, техники, экономики и повседневной жизни. Вот основные сферы, в которых линейные уравнения оказываются полезными:

1. Физика и механика

Законы Ньютона и движение по инерции: В классической механике линейные уравнения часто описывают движение тел с постоянной скоростью или равномерно ускоренное движение, например, $F = ma$ F=ma (сила = масса * ускорение), где связь между силой и ускорением линейна.
Расчет путей и расстояний: Линейные уравнения позволяют вычислить пройденное расстояние при заданной скорости и времени, например, s=vt, где $s$ s — расстояние, $v$ v — скорость, а $t$ t — время.

2. Экономика и финансы

Моделирование доходов и расходов: Линейные уравнения широко применяются для прогнозирования и анализа финансовых потоков. Например, доход может быть линейно связан с количеством проданных товаров y=mx+b, где y — доход, $x$ x — количество, $m$ m — стоимость единицы товара, а $b$ b — фиксированные расходы.
Спрос и предложение: В экономике функции спроса и предложения часто описываются линейными уравнениями, что позволяет находить точки равновесия, где спрос равен предложению, и прогнозировать изменения цен и объемов рынка.

3. Инженерия и технические расчеты

Электрические цепи: В законе Ома $V = IR$ V=IR (напряжение = ток * сопротивление) линейное уравнение связывает напряжение, силу тока и сопротивление, что упрощает анализ и расчет параметров в электрических цепях.
Строительные конструкции: Линейные уравнения используются при расчете нагрузок и напряжений в балках и колоннах. Например, для расчета нагрузки на строительную балку в статическом состоянии применяются уравнения равновесия, которые часто имеют линейный вид.

4. Компьютерная графика и анимация

Простое преобразование объектов: Линейные уравнения описывают преобразования объектов, такие как масштабирование, вращение и перемещение в 2D и 3D-пространствах.
Интерполяция и анимация: В анимации линейные уравнения применяются для создания плавных переходов и движений, когда нужно равномерно изменять положение, размер или угол объекта.

5. Алгоритмы и программирование

Анализ и оптимизация алгоритмов: Линейные уравнения используются в моделировании сложности алгоритмов, например, для оценки временных затрат, где время выполнения может линейно зависеть от количества элементов.
Линейные регрессии и прогнозы: В машинном обучении и анализе данных линейные модели позволяют находить зависимости и делать прогнозы на основе данных, что особенно полезно для анализа больших данных.

6. Социальные науки и психология

Анализ данных и социологические исследования: Линейные уравнения часто применяются в статистике для анализа результатов опросов, анкетирования и моделирования поведения, что помогает находить связи между переменными, такими как уровень дохода и удовлетворенность жизнью.
Регрессии и предсказательные модели: Линейные уравнения в психологии используются для прогнозирования поведения и результатов тестирования на основе линейных связей между факторами.

7. Геометрия и картография

Уравнение прямой на плоскости: Линейные уравнения описывают прямые линии, что важно при построении геометрических объектов и картографических проекций.
Измерения расстояний и углов: Линейные уравнения также применяются в расчетах расстояний между объектами на карте и при определении положения объектов в системе координат.

8. Химия и биология

Расчет концентраций: В химии линейные уравнения используются для расчета концентраций растворов и скоростей реакций. Например, уравнение разбавления $C_1V_1 = C_2V_2$ , где $C$ C — концентрация, а $V$ V — объем, позволяет определить новую концентрацию после разбавления.
Биологическое моделирование: В биологии линейные уравнения помогают моделировать рост популяции и распространение веществ в организме, когда изменения происходят с постоянной скоростью.

9. Ежедневные расчеты и логистика

Планирование маршрутов и времени: В повседневной жизни линейные уравнения помогают рассчитать оптимальные маршруты, предсказывать время в пути и управлять временем.
Расчет стоимости покупок и скидок: Линейные уравнения позволяют быстро рассчитать итоговую стоимость товара с учетом скидки или налога.

Линейные уравнения служат простым и эффективным инструментом для моделирования реальных процессов, обеспечивая быстрые и точные расчеты во многих областях.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

методы решения систем линейных алгебраических уравнений ,
квадратное уравнение , ax² + bx + c a ≠ 0 , теорема виета , уравнение второй степени ,
кубическое уравнение ,
Линейное уравнение над кольцом
Алгебраическое уравнение
Линейное неравенство

Я что-то не договорил про линейное уравнение , тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое линейное уравнение и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про линейное уравнение

Линейное уравнение: определение, примеры решений, примеры решений кратко

Геометрическая интерпретация

Практическое примерение линейных уравнений

1. Физика и механика

2. Экономика и финансы

3. Инженерия и технические расчеты

4. Компьютерная графика и анимация

5. Алгоритмы и программирование

6. Социальные науки и психология

7. Геометрия и картография

8. Химия и биология

9. Ежедневные расчеты и логистика

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

Комментарии

Оставить комментарий

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Термины: СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА