Алгебраическое уравнение n-й степени общего вида

Привет, сегодня поговорим про алгебраическое уравнение n-й степени общего вида, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое алгебраическое уравнение n-й степени общего вида , настоятельно рекомендую прочитать все из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Виды алгебраических уравнений



a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0. -  алгебраическое уравнение n-й степени общего вида . 

Пусть коэффициенты a_k - действительные либо комплексные числа. 

1. Для краткости, обозначим левую часть уравнения, которая является полиномом степени n, следующим образом: 

 

Число x = ξ называется корнем уравнения, а так же корнем полинома P_n(x), если P_nξ = 0. Число x = ξ называется корнем кратности m, если P_n(x)=(x=ξ)^mQ_n-m(x), где m - натуральное число, 1 ≤ m ≤ m и Q_n-m(x) - полином степени n - m, такой, что Q_n-m(ξ) ≠ 0. 

2. Основная теорема алгебры. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Алгебраическое уравнение n-ной степени имеет в точности n корней (действительных или косплексных), причем корни кратности m встречаются ровно m раз. 

3. Если алгебраическое уравнение имеет корни x₁, x₂, ..., x_s, кратностей k₁, k₂, ..., k_s (k₁ + k₂ + ... + k_s = n), то левая часть уравнения может быть представлена в виде: 

 

4. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень. 

5. Предположим, алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексный корень ξ = α + iβ. Тогда это уравнение так же должно иметь корень η = α - iβ, причем кратности обоих корней одинаковы. 6. Алгебраическое уравнение степени n с целыми коэффициентами a_k не может иметь других рациональных корней, чем несокращаемые дроби p/q, причем p - делитель a₀, и q - делитель a_n. Если a_n = 1, тогда все рациональные корни алгебраического уравнения - целые делители свободного a₀ и могут быть легко найдены. 

7. Любое уравнение степени ≤ 4 разрешисо в радикалах, что значит, что его корни могут быть выражены при помощи операций сложения, деления, вычитания и умножения, а так же извлечения корня. При n ≥ 4 алгебраические уравнения, в основно, в радикалах неразрешимы. Это утверждение носит название теоремы Руффини - Абеля. 

8. Теорема Виета. Следующие соотношения между корнями алгебраического уравнения (принимая во внимание их кратность) и их коэффициенты имеют место быть: 

Я что-то не договорил про алгебраическое уравнение n-й степени общего вида, тогда сделай замечание в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое алгебраическое уравнение n-й степени общего вида и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про алгебраическое уравнение n-й степени общего вида