Распознавание при неизвестных априорных вероятностях образов

 могут быть неизвестны по многим причинам, в частности, если они являются неизвестными функциями времени или каких-либо неконтролируемых обстоятельств, условий. В этом случае использовать байесовское решающее правило невозможно. Вместо риска потерь ( в частном случае средней вероятности ошибок распознавания) приходится иметь дело с вектором (в частном случае ).

Задача ставится следующим образом: из всех возможных наборов  при условиях  и  необходимо выбрать такой ( и в дальнейшем его использовать при распознавании), при котором максимальная компонента вектора , минимальна.

Алгоритмически одним из наиболее простых является метод Монте-Карло. Случайным образом  раз выбираются векторы  Тот вектор, при котором максимальная компонента  принимает наименьшее значение, принимается для использования. Чем больше , тем выше вероятность "попадания" в ближайшую окрестность оптимального вектора . Возможен, конечно, и полный перебор вариантов, но он приемлем лишь при не очень большом числе возможных . В некоторых частных задачах может быть реализован аналитический подход к поиску . Рассмотрим случай с двумя образами  (рис. 21).

Рис. 21. Область решения задачи определения  
по минимаксному критерию

Решение минимаксной задачи лежит на отрезке прямой  Обозначим через  область объектов первого образа, а через  – второго. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Ясно, что  При этом средняя вероятность ошибок распознавания определяется величиной  Построим график  (рис. 22).

Очевидно, что  при  и =1. Между ними находятся значения, при которых, в том числе максимальное ее значение. Допустим, что мы выбрали =. Тогда  как функция истинного (но неизвестного) значения  лежит на прямой, касательной к  в точке, соответствующей =. При этом если истинное значение  лежит левее точки  (например, =), то фактическая средняя ошибка распознавания () окажется меньше, чем прогнозируемая при =. Зато если истинное значение =, то фактическая средняя ошибка () окажется существенно больше прогнозируемой. Аналогичные рассуждения можно привести и для правого склона кривой, положив, например, =. Лишь выбрав =, что соответствует максимуму кривой, мы гарантируем, что  не превзойдет , каково бы ни было истинное значение.

Рис. 22. Зависимость вероятности ошибки распознавания 
от 

Рассмотрим аналитическую постановку задачи поиска минимаксного решения (при этом следует иметь в виду, что  и  зависят от, поскольку они есть функции от  и , а последние зависят от априорных вероятностей образов).

Обозначим  через . Необходимо найти такое значение , при котором

 где    .

Из этого уравнения видно, что найти аналитическое его решение весьма непросто. Во-первых, необходимо записать в явном виде зависимость  и  от, а во-вторых, уравнение  должно иметь аналитическое решение. В простейших случаях это возможно, но простейшие случаи, к сожалению, крайне редко встречаются на практике.