Расчет переходных процессов в электрических цепях классическим методом с примерами

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про расчет переходных процессов в электрических цепях классическим методом, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое расчет переходных процессов в электрических цепях классическим методом , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Электротехника, Схемотехника, Аналоговые устройства.

Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

.

(1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

,

(2)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

,

(3)

где и - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь апосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная - свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Примеры

Задача 1

Построить переходной процесс при замыкании ключа.
Е = 10 В, С = 10 мкФ, R = 1 кОм
τ = RC = 0,01сек - постоянная времени зарядки конденсатора
Uс пер = Uс уст + Uc cв Uc уст = E = 10 В

переходной процесс проходит по экспоненциальному закону.
τ- постоянная времени, в течении которого свободная составляющая процесса уменьшается в раз по сравнению с начальным условием.

рассчитаем несколько характерных точек:
t = τ Uс пер1 = 10(1 -1/2,7) = 6,3 B
t = 2τ Uс пер2 = 10(1 -1/7,29) = 8,63 B
t =3 τ Uс пер3 = 10(1 -1/19,863) = 9,5 B
t =4 τ Uс пер4 = 10(1 -1/53,14) = 9,85 B
t =5 τ Uс пер5 = 10(1 -1/143,5) = 9,9 B


Задача 2

Построить переходной процесс при размыкании ключа.
Начальные условия Uc = Е = 10 В, С = 10 мкФ, R = 1 кОм
τ = RC = 0,01сек - постоянная времени зарядки конденсатора
Постоянная времени, в течении которого свободная составляющая процесса уменьшается в раз по сравнению с начальным условием.

Uс пер = Uс уст + Uc cв Uc уст = 0 В
Uс пер = Uс св = переходной процесс проходит по экспоненциальному закону.

рассчитаем несколько характерных точек:
t = τ Uс пер1 = 10/2,7= 3,7 B
t = 2τ Uс пер2 = 10/7,29 = 1,37 B
t =3 τ Uс пер3 = 10/19,863 = 0,5 B
t =4 τ Uс пер4 = 10/53,14 = 0,15 B
t =5 τ Uс пер5 = 10/143,5 = 0,1 B



Задача 3

В схеме индуктивная катушка отключается от источника постоянного напряжения и замыкается на резистор
U = 110 В, L = 5 Гн Rк = 4 Ом, R = 6 Ом
Найти ток в катушке при t = 1 сек, ее после отключения от источника и напряжение на R в начальный момент после коммутации

Решение когда источник подключен к катушке (положение ключа 1) ток в цепи определяется по закону Ома I = U/Rк =110/4 = 27,5 А
После коммутации, т.е. переключение ключа (положение ключа 2) электрическое состояние цепи описывается уравнением


Напряжение UR = R I =27,5∙ 6 =165 B

Задача 4


Дано: Е = 100 В; R1 = 20 Ом; R2 = 30 Ом; R3 = 10 Ом; R4= 40 Ом; C = 100 мкФ
Определить входной ток и записать выражение

Решение
1. После замыкания ключа
Запишем уравнения по законам Кирхгофа


2. Расчет установившегося режима
Uс пер = Uс уст + Uc cв

Составим уравнения для установившегося режима:


3. Решим одним из способов, определив параметры переходных характеристик через решение характеристического уравнения. Составим это уравнение:


Заменим jɷ = p где p- корень характеристического уравнения


4. При t = 0:

Uс (0+) = U(R2+R3) /(R1+R2+R3+R4)=40 B

Определяем значение А: 40 = 14,2 + A A= 25,8 B
Выражение напряжения на конденсаторе принимает вид:
5. Записать выражение для входного тока


Определяем значение А: A = - 0,42
выражение для входного тока

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• первый закон коммутации , коммутация в цепи ,
• переходные процессы , виды коротких замыканий ,
• второй закон коммутации ,
• Интеграл Дюамеля
• Время релаксации
• Бифуркационная память
• Время изодрома
• Зона нечувствительности
• Коэффициент демпфирования
• Бифуркация
• переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами ,
• операторный метод расчета переходных процессов ,
• переходные процессы , расчет переходного процесса классическим методом ,

Понравилась статья про расчет переходных процессов в электрических цепях классическим методом? Откомментируйте её Надеюсь, что теперь ты понял что такое расчет переходных процессов в электрических цепях классическим методом и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Электротехника, Схемотехника, Аналоговые устройства