Примеры решения задач к разделу интегральное исчисление

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про ы решения задач к разделу интегральное исчисление, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое ы решения задач к разделу интегральное исчисление , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математический анализ. Интегральное исчисление.

Пример N 1

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Ответ:

   

Пример N 2

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Ответ:

   

Пример N 3

Найти неопределенный интеграл:

.

Решение.

Чтобы проинтегрировать данную функцию, необходимо сделать замену переменной    .

Мы получили неправильную дробь. Выделяем в ней целую часть, деля уголком многочлен, стоящий в числителе, на многочлен знаменателя.

Ответ:

   

Пример N 4

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Мы получили неправильную дробь, выделяем в ней целую часть, деля уголком многочлен, стоящий в числителе, на многочлен знаменателя:

Ответ:

   

Пример N 5

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Ответ:

   

Пример N 6

Найти неопределенный интеграл:

Решение.

Ответ:

   

Пример N 7

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение.

Построим фигуру на плоскости OXY, ограниченную y₁ = 4 - x² - параболой  и   y₂ = 2 - x - прямой (рис. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 16).

Рис. 16

Находим точки пересечения функций y₁ и y₂ :

Так как  4 - x² ≤ 2 - x  на отрезке  [-1; 2],  то площадь S данной фигуры вычисляется следующим образом:

Ответ:   4,5.

Пример N 8

Найти длину дуги кривой   .

Решение.

Ответ:   

Пример N 9

Найти длину дуги кривой    .

Решение.

Дуга задана в явном виде  ,  пределы интегрирования заданы  2 ≤ x ≤ 3,  составим интеграл

Ответ:   

Пример N 10

Найти длину дуги астроиды

.

Решение.

Кривая задана параметрически, следовательно, ее длина L вычисляется следующим образом:

Ответ:   4,5

Пример N 11

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, которая ограничена параболами  y = 3 - x²,  y = x² + 1.

Решение.

Построим фигуру на плоскости ОХУ, ограниченную параболами  y = 3 - x²,  y = x² + 1 (рис. 17).

Рис. 17

Найдем точки пересечения кривых:

.

Тогда 

Ответ:   

Пример N 12

Изменить порядок интегрирования:

Решение.

Строим область интегрирования D, которая состоит из двух областей - D₁ и D₂ (рис. 18):

Область D₁ ограничена полуокружностью    и прямыми  y = 0,  x = 2 .

Область D₂ ограничена прямыми   y = x - 4,  y = 0,  x = 2.

Рис. 18

Область D является правильной в направлении оси ОУ. Наибольшим значением y в области D будет число y = 0, а наименьшим y = -2. Из уравнения    выражаем x через y :

Функция    задает левую границу области D . Из уравнения  y = x - 4  выражаем x через y :  x = y + 4 . Функция   x = y + 4  задает правую границу областиD . Следовательно, область D задается неравенствами:   

Теперь изменяем порядок интегрирования в двукратном интеграле:

Ответ:

   

Пример N 13

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями   _, , ,.

Решение.

Построим фигуру D , ограниченную заданными линиями (рис. 19):

   - окружность с центром в точке    , радиусом    ;

   - окружность с центром в точке  (1; 0)  , радиусом  1; 

   - ось ОХ;

   - прямая с угловым коэффициентом   

Рис. 19

Выражая окружности в полярных координатах:

приходим к выводу, что область D можно задать неравенствами:   

Находим площадь S области D по формуле площади фигур в полярных координатах:

Ответ:   

Пример N 14

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями  _, , , .

Решение.

Тело ограничено параболическими цилиндрами, образующие которых параллельны оси OZ :   _, ;  координатной плоскостью  ;  и плоскостью z= 4 - y.  Изобразим на рисунках тело (рис. 20) и его проекцию (рис. 21) в плоскости ОХУ.

Рис. 20	Рис. 21

Основанием заданного тела является область D, задаваемая неравенствами :    .

Находим объем V тела при помощи двойного интеграла:

Сначала находим внутренний интеграл :

Затем находим внешний интеграл :

Ответ:   

Тебе нравиться ы решения задач к разделу интегральное исчисление? или у тебя есть полезные советы и дополнения? Напиши другим читателям ниже. Надеюсь, что теперь ты понял что такое ы решения задач к разделу интегральное исчисление и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математический анализ. Интегральное исчисление

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про ы решения задач к разделу интегральное исчисление