7.2 Построение фракталов. Дробная размерность

Привет, Вы узнаете о том , что такое построение фракталов дробная размерность, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое построение фракталов дробная размерность , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Синергетика.

Рассмотрим т.н. множество Кантора и ковер Серпиньского. Эти множества обладают геометрической инвариантностью и известны как "множества средних третей". Отрезок единичной длины [0, 1] делится на три равные части, и средняя из них - интервал (1/3, 2/3) - вырезается. С каждым из остальных отрезков поступают точно так же (рис. 1).

Рис. 1 Построение множества Кантора.

Получаем последовательность отрезков все убывающей длины. На первом этапе имеем один отрезок, на втором - два, на третьем - четыре, на к-ом - 2^kотрезков, длиной 3^-k каждый. При k   получим множество точек, которое называется множеством Кантора. Суммарная длина всех вырезанных отрезков при этом равна единице.

 .

Обобщение канторова множества средних третей на случай плоских фигур приводит к ковру Серпиньского.

Рис. 2 Построение ковра Серпиньского

Возьмем квадрат со стороной, равной единице, и разделим его на девять равных квадратов; при первой итерации (к=1) удаляем центральный квадрат; аналогично поступим с каждым из оставшихся восьми квадратов (к=2) и т. д. (рис. 2). Пересечение полученных при k   множеств - это ковер Серпиньского. Канторово множество, грубо говоря, является как бы "всюду дырявым".

Существует важная количественная характеристика канторова множества - дробная размерность. Рассмотрим некоторое множество А и попытаемся полностью покрыть его отрезками, квадратиками или гиперкубами со стороной  (рис. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 3). Пусть N - минимальное число кубиков или квадратиков, необходимых для покрытия А. Рассмотрим предел

 . (1)

Величина d(А)=dF является метрической размерностью и называется фрактальной размерностью.

Рис. 3 Покрытие объекта (множества точек) кубами с длинной ребра  :а) одномерный объект, б) двумерное пространство.

Найдем фрактальную размерность квадрата со стороной 1. Для того чтобы закрыть этот квадрат необходимо иметь (1/ )² квадратов со стороной  . Следовательно, d равно

 ,как это и ожидалось для плоскости.

Найдем d для множества Кантора (рис. 1). При первом разбиении для покрытия необходимо иметь два отрезка длиной 1/3; при втором разбиении потребуется четыре отрезка длиной 1/9 и вообще при n-ом разбиении нужно иметь 2ⁿ отрезков длиной (1/3)ⁿ. Итак, множество Кантора состоит из N=2ⁿ разделенных интервалов длиной (1/3)ⁿ каждый. Использовав определение (1), получим

 .

Таким образом, множество Кантора - промежуточное между точкой (d=0) и линией (d=1), т. е. оно является фракталом.

Определим фрактальную размерность ковра Серпиньского. Имеем при первом (к=1) и последующих разбиениях

k=1	N=8=8	=(1/3)
k=2	N=8*8=8	=(1/3)
k=3	N=8*8*8=8	=(1/3)
k=n	N=8n	=(1/3)n

отсюда

Следовательно, ковер Серпиньского - это уже не линия с размерностью 1, но еще и не поверхность, размерность которой 2. Это что-то между линией и поверхностью. Самым неожиданным является то, что в природе существуют объекты, представляющие аналог ковра Серпиньского с размерностью 1<d<2. Это фрактальные агрегаты коллоидных частиц.

Рассмотрим теперь другой классический фрактальный объект - снежинку. Снежинка имеет бесконечный периметр, хотя ограничивает конечную область плоскости. Возьмем равносторонний треугольник, разделим каждую из его сторон на три части и по каждой из трех центральных третей построим по равностороннему треугольнику меньших размеров. Итерируя это построение бесконечно много раз, получим фрактальный объект, называемый иногда кривой Коха, размерность которого d = ln4/ln3 ~ 1,26 (рис.4).

Рис 4. Фрактальный объект в форме снежинки (кривая Коха)

Аналогичным способом можно построить много различных фракталов. Приведем некоторые из них.

Прочтение данной статьи про построение фракталов дробная размерность позволяет сделать вывод о значимости данной информации для обеспечения качества и оптимальности процессов. Надеюсь, что теперь ты понял что такое построение фракталов дробная размерность и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Синергетика

Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про построение фракталов дробная размерность